Spanning Trees in Grid Graphs

Paul Raff
Rutgers University
praff@math.rutgers.edu

index_1.gif

Graphics:None

ShowGraph [ GraphProduct [ PathGraph [ 5 ] , ToMathematicaGraph [ G , 5 ] ] ]

Graphics:None

index_4.gif

( 104 64 79 55 48 64 55 79 40 88 95 87 56 88 87 95 30 24 30 24 46 32 46 24 24 24 29 21 41 37 29 39 16 24 32 21 29 41 29 37 39 9 11 14 8 11 14 8 8 9 12 3 9 9 6 3 0 0 3 6 3 6 7 7 3 6 7 7 3 0 3 3 6 3 6 0 0 0 2 1 2 2 1 2 0 0 0 1 2 2 1 2 2 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 3 3 9 3 0 0 0 0 1 2 4 2 1 2 4 2 3 0 0 1 2 1 2 0 0 0 3 1 2 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 22 12 22 21 12 16 9 12 9 19 19 16 12 17 19 22 11 6 4 5 8 6 10 6 9 8 8 8 15 10 11 14 4 6 8 4 6 8 5 6 6 3 4 5 2 2 2 2 3 3 4 1 25 17 32 17 48 32 17 32 19 22 22 22 19 22 22 22 12 24 12 11 12 11 12 24 24 12 16 11 12 16 11 12 16 16 16 11 16 12 11 16 12 9 6 6 8 6 6 8 8 6 6 3 11 6 8 9 12 24 9 8 6 16 10 8 7 12 8 10 4 9 4 4 4 4 4 6 6 8 4 4 8 4 5 6 4 9 12 4 4 8 5 4 6 3 2 2 3 2 2 2 2 3 4 1 22 12 12 9 12 16 21 22 9 19 22 19 12 17 16 19 4 6 11 5 10 6 8 9 6 8 6 4 8 6 5 6 4 6 8 8 8 15 11 10 14 3 2 2 2 4 5 3 2 3 4 1 3 3 0 0 0 0 3 9 1 2 2 4 1 2 2 4 0 0 3 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 1 3 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 43 27 37 24 32 32 24 37 40 48 40 42 19 33 42 40 14 16 14 24 22 11 22 16 16 12 29 21 22 16 11 18 16 24 16 21 29 22 11 16 18 6 11 6 8 11 6 8 8 9 6 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 4 8 1 3 0 0 0 0 1 0 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 16 8 8 8 0 8 8 8 0 11 16 11 16 16 11 16 3 0 3 0 6 8 6 0 0 3 0 0 6 8 8 6 0 0 8 0 0 6 8 8 6 0 0 3 0 0 3 0 0 0 3 0 3 3 2 1 0 0 1 2 0 0 2 4 3 9 4 2 1 0 1 0 2 3 2 0 0 0 0 0 0 2 1 3 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 8 4 1 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 0 3 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 6 3 0 0 0 0 1 2 3 2 1 2 3 2 3 0 0 1 2 1 2 0 0 0 2 1 2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 6 8 5 12 12 5 8 5 8 6 6 5 8 6 6 4 9 4 4 4 4 4 6 6 4 4 3 4 4 3 4 4 6 6 3 4 4 3 4 4 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 3 3 0 0 0 0 3 6 1 2 2 3 1 2 2 3 0 0 3 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 2 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 3 3 2 1 0 0 1 2 3 6 3 2 0 0 2 3 1 0 1 3 2 0 2 0 0 0 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 2 1 0 0 1 2 0 0 2 3 3 6 3 2 1 0 1 0 2 3 2 0 0 0 0 0 0 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 5 12 5 12 8 6 8 5 6 8 6 5 6 8 6 4 6 4 3 4 3 4 9 6 4 6 3 4 6 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 7 5 8 6 12 8 5 12 5 6 6 8 5 6 6 8 4 6 4 3 4 3 4 6 9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 6 4 3 6 4 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 10 5 8 9 9 16 9 8 5 12 10 8 6 9 8 10 4 6 4 3 4 3 4 6 6 8 4 4 8 4 5 6 3 6 8 4 4 8 5 4 6 3 2 2 2 2 2 2 2 3 4 1 1 1 3 1 0 0 0 0 1 2 4 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 6 10 9 8 8 5 9 9 10 12 16 5 9 8 8 5 4 3 5 8 3 4 4 6 4 8 8 8 4 4 6 4 6 4 4 6 4 3 6 6 2 4 2 2 2 2 2 3 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 4 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 3 0 2 1 0 0 3 2 0 3 2 3 6 1 0 0 0 0 1 2 0 0 1 0 0 2 2 3 2 0 0 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 4 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 22 14 24 14 32 24 14 24 19 22 22 22 19 22 22 22 9 16 9 11 12 11 12 16 16 9 16 11 12 16 11 12 16 16 16 11 16 12 11 16 12 6 6 6 8 6 6 8 8 6 6 3 7 5 6 5 8 12 5 6 6 8 6 8 5 12 8 6 3 6 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 6 4 9 6 4 4 4 3 4 6 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 1 1 0 0 1 0 3 1 0 0 4 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 3 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 10 6 9 5 8 8 9 10 9 10 8 8 5 9 16 12 3 4 5 5 4 3 8 6 4 4 6 4 4 6 3 6 4 6 4 8 8 8 4 4 6 2 2 2 2 4 2 3 2 3 2 1 1 1 0 0 0 0 1 3 1 2 0 0 0 0 2 4 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 0 1 0 2 3 2 0 3 6 3 3 2 0 2 0 0 1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 2 3 2 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 3 0 0 2 4 1 2 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 4 1 3 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 5 8 5 9 8 5 8 4 6 6 6 4 6 6 6 4 6 4 3 4 3 4 6 6 4 4 3 4 4 3 4 3 4 4 3 4 4 3 4 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 3 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 6 5 6 4 8 9 4 6 5 8 6 6 5 8 6 6 3 6 3 4 4 4 4 4 4 3 4 3 4 4 3 4 4 6 6 3 4 4 3 4 4 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 2 3 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 3 1 2 0 0 0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 6 4 9 4 8 6 5 6 5 6 8 6 5 6 8 6 3 4 3 3 4 3 4 6 4 3 6 3 4 6 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 6 4 6 5 8 6 4 9 5 6 6 8 5 6 6 8 3 4 3 3 4 3 4 4 6 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 6 4 3 6 4 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 6 4 6 5 6 8 5 6 5 6 6 8 4 9 8 6 3 4 3 3 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 6 3 6 4 4 4 4 3 4 6 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 0 0 1 0 2 1 0 0 3 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5 4 6 4 6 6 4 6 4 6 6 6 4 6 6 6 3 4 3 3 4 3 4 4 4 3 4 3 4 4 3 4 3 4 4 3 4 4 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 )

index_5.gif

( ⁠ 3 0 0 1 3 1 1 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 3 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 ⁠ )

index_6.gif

x 52 - 475 ⁢ x 51 + 81813 ⁢ x 50 - 7644492 ⁢ x 49 + 456473352 ⁢ x 48 - 19022305738 ⁢ x 47 + 584266651305 ⁢ x 46 - 13725922609977 ⁢ x 45 + 253306554414736 ⁢ x 44 - 3746831403291771 ⁢ x 43 + 45124515873889947 ⁢ x 42 - 448081957079831154 ⁢ x 41 + 3706608119112408373 ⁢ x 40 - 25763315566496132715 ⁢ x 39 + 151559440437378571748 ⁢ x 38 - 759284710299255961473 ⁢ x 37 + 3256620149001504261303 ⁢ x 36 - 12012865746314631276174 ⁢ x 35 + 38259552443400964452521 ⁢ x 34 - 105559608272317322220129 ⁢ x 33 + 253018054842290462700912 ⁢ x 32 - 528120726632128128430091 ⁢ x 31 + 961816006325050104260499 ⁢ x 30 - 1530758726031357181960758 ⁢ x 29 + 2131551627740551229648523 ⁢ x 28 - 2599109659163455499439053 ⁢ x 27 + 2776579825573428086577934 ⁢ x 26 - 2599109659163455499439053 ⁢ x 25 + 2131551627740551229648523 ⁢ x 24 - 1530758726031357181960758 ⁢ x 23 + 961816006325050104260499 ⁢ x 22 - 528120726632128128430091 ⁢ x 21 + 253018054842290462700912 ⁢ x 20 - 105559608272317322220129 ⁢ x 19 + 38259552443400964452521 ⁢ x 18 - 12012865746314631276174 ⁢ x 17 + 3256620149001504261303 ⁢ x 16 - 759284710299255961473 ⁢ x 15 + 151559440437378571748 ⁢ x 14 - 25763315566496132715 ⁢ x 13 + 3706608119112408373 ⁢ x 12 - 448081957079831154 ⁢ x 11 + 45124515873889947 ⁢ x 10 - 3746831403291771 ⁢ x 9 + 253306554414736 ⁢ x 8 - 13725922609977 ⁢ x 7 + 584266651305 ⁢ x 6 - 19022305738 ⁢ x 5 + 456473352 ⁢ x 4 - 7644492 ⁢ x 3 + 81813 ⁢ x 2 - 475 ⁢ x + 1

Factor [ char ] // TraditionalForm

( x - 1 ) 2 ⁢ ( x 2 - 3 ⁢ x + 1 ) ⁢ ( x 8 - 17 ⁢ x 7 + 107 ⁢ x 6 - 314 ⁢ x 5 + 450 ⁢ x 4 - 314 ⁢ x 3 + 107 ⁢ x 2 - 17 ⁢ x + 1 ) ⁢ ( x 12 - 65 ⁢ x 11 + 1457 ⁢ x 10 - 13870 ⁢ x 9 + 60455 ⁢ x 8 - 138945 ⁢ x 7 + 181938 ⁢ x 6 - 138945 ⁢ x 5 + 60455 ⁢ x 4 - 13870 ⁢ x 3 + 1457 ⁢ x 2 - 65 ⁢ x + 1 ) ⁢ ( x 12 - 53 ⁢ x 11 + 991 ⁢ x 10 - 8540 ⁢ x 9 + 37243 ⁢ x 8 - 88091 ⁢ x 7 + 117046 ⁢ x 6 - 88091 ⁢ x 5 + 37243 ⁢ x 4 - 8540 ⁢ x 3 + 991 ⁢ x 2 - 53 ⁢ x + 1 ) ⁢ ( x 16 - 335 ⁢ x 15 + 26224 ⁢ x 14 - 744035 ⁢ x 13 + 10084457 ⁢ x 12 - 72968360 ⁢ x 11 + 295849710 ⁢ x 10 - 685799270 ⁢ x 9 + 909474816 ⁢ x 8 - 685799270 ⁢ x 7 + 295849710 ⁢ x 6 - 72968360 ⁢ x 5 + 10084457 ⁢ x 4 - 744035 ⁢ x 3 + 26224 ⁢ x 2 - 335 ⁢ x + 1 )

index_7.gif

1 3
2 1005
3 250848
4 60075885
5 14263332015
6 3379514561280
7 800337094071879
8 189513130911442365
9 44873808170614072416
10 10625354802279238810125
11 2515898969449422698378427
12 595720806457312484163072000
13 141056237447350542048435569739
14 33399641919037960212116652645645
15 7908449095370705958482892822591840
16 1872581962152955248485760704500800285
17 443394546946813694098793372608928834391
18 104988047635865071351145457806587661157120
19 24859327256165573864938138047262880306966943
20 5886252440556257729626671696928436656604362125
21 1393761280700634794876956281960660816376922544864
22 330018212300130914635429230718652707397200357786605
23 78142521217849087338427432217078197478254959775907571
24 18502777709518116710631337553435941017529009012334592000
25 4381133058318058042708854772888728385544743284813893325075
26 1037375424167445881587701897915074090992123322115713613355245
27 245632295650871473674003220222794944416247769549421695231567072
28 58161417034859541181211643864728919600986809480146958797294047565
29 13771602885277386280278108248465924567360174574620388636570922925247
30 3260873886826173136821875242174025846150056032153576740786306960352000
31 772117711668292774823982393606012087456876621456312358574633998805107767
32 182823924310710580305526209805354680631686236437511498766329756300849935965
33 43289496918998110014130353011356088361791340935994945423762627975175153641312
34 10250193187600017741096258706193203166452425686817835350728321665370958368824845
35 2427065867263801537386559445596793303515103297430225606979283802208021250890180395
36 574686605044975426429824358343129500199197226567239262468092532787572753445084672000
37 136075702959989999977581816074390312055928686606702029360379555405317721865438134297051
38 32220338482756715337855280486118701823008997793404210815451307469630693316992175875457805
39 7629210721392767921977621661287211696064040633821441828747238646526108586386454562838947424
40 1806463214610973679398721020393727663803958356782870787166699854931687288093062741828070464125
41 427738787787325906613514539066992683745773431456219182165470488093250446972345671675699326283623
42 101281038605135403187379015190248454799241254225165740734652185674852166172926988679033079370904320
43 23981572571424565549410245192460354212469012770017942879250719818896963821402281948183586708528768911
44 5678415534823929973729944425785182269676846757110337896414083747023229607796815883114106465900857991085
45 1344549148730588866609136150164101647276644861299313710201188780256581403002530684367825752764534700800480
46 318365643068107348002922122784297490536702181920960459065067848609574070279630994794484536434675736143224045
47 75383397313413237520593757885912033416589804214829481314162617434441195820511216037572867668640702456836530659
48 17849465588522183443848002851827944916837519604908774524523965811088748466402714846514182915177118095065874432000
49 4226440212971767062085831611823156011576625658772305344917395091678149252780221232021900314937707458508376523791907
50 1000746873077882216768904707043674109407638875982778344814853967966881158615234319745298329231113455018989319435878125
51 236959297543445211377789287710614614986430033261837806111825719677190212839394793734102203525640156272255734853263134176
52 56107803284550657486484059204092888149818529221043434179996681433763382668817009023530990205982308828718402260539053694765
53 13285343187855496598484248805453615739581400512179193871731538944049039719402853253356825222352816508914425444516519108330959
54 3145736123796848122474225318532113954061599000230883231062699117315416886454396977162358433450169528265363667733050325413671680
55 744855109923416535642081512168828333818827982013086128020675461256130585180335620251358600438563576995031995027698004213310679335
56 176368618646048439657184739505141580029012724757530554391513354133657345789368968941548459518261585473007555972665240209056804473085
57 41760993821084837460556622599102119215834953314260975359712915422876741621361764741642097107618651924439223924127450785703739180155488
58 9888270477553916425433936266498793170985818926368443484676341342744156564011371888003022192432256417720632666512174519190174826206760205
59 2341368920868376826565984761259193776637938385678607369959429713838138814018292659965767533047874122728183489054871527034107034553675239323
60 554395072025218722111148175787685274295757287670464451733058529206975192244821156071162359352662740713621403975687415088650872317603520000000
61 131271024034885856112872063570255678789340004162922957200609101816004517703999462044943070653576378686550992743527794486542533261266776024504683
62 31082674830096099361273543786849920054107898438204146353684745455907939839241464701476836226428845337647853957343186756238452628985893284243105805
63 7359831933182265276301677981065158987283907363437892141511162769302974602727628623148616148703705265238062902056689644870200963133609212735477050208
64 1742679044862688535468021765416439730698257398088805704836887587161645255056239281209857113681317617878147204974665084889347125309831200675762439710685
65 412635815732604069546774618167375768109866205324057936595472110149175861463553744478333215753285152869271126598203206938485773007692529869388424892120695
66 97704919863042012876549302946698571073459828171999373760409346030211442598861364119848783566084557838853729819025895615850683287887181504556818137819226880
67 23134810410227734142553779293058115153082300784035004325793175400517383130007608900266097895565682837674792202399732427081301108222038167220366686614313052799
68 5477917114792438724629794220750927064561752938558116279680719475823471644504983975434551967211836018929579343658474716808803860813275733937846989231653573781965
69 1297074641392772412965449129702655534478593775069924713890065414546843770720146011659042586774005759828309325021533546127170041077897632213012433393577750468882656
70 307124512855637887800309822605032722332132997709181001715783234777144986940247565462186583649036021111297705104529667863629062328747494556511862281941717016009446125
71 72721694948509757050299559662279418770752501331751695926286260266135029539677174381662854688346934297002450194889289876123155807210816968107065276602199618227345652947
72 17219221178447298525720426032562093993311427265229493804308193845477614408856334840801805488875830810652488076367146364965751880350908358920426810756685250506572685312000
73 4077209396758759192481099858257226237042397464029831449108354863234133862637550599733834957957470966038907446747102252372664413584953056657091284668031377907819713335808819
74 965411634634506803096305510520887407912038625271124780951082330933427481482393992831576153315557983993316518474015853511949007768307281352540719473379016899574798348171211245
75 228592533174429035296621592141047799296890487701857809880058512957731027585472792308143323902512832996297519373165409472154729080418401632368747782072802004439293275282112319200
76 54126700309433685019521095605715139164673098862880312242763703129989778248757845938180322461743176182864806393127023309262790529429396793303583384798358750794739519164357618441485
77 12816252769515100333295911835244638963408455185337797321279307115988065891150210889907363704595357742640529654765690284434406619860479872530920515831764059641465984672083791660411871
78 3034663744752151787810835203123050407069152646497871902479950984426023089249291422085606302742340663030018467846692205355777983546011275754850780053101912191454768436375291671433265920
79 718555119763105311752994059807487326405059720582956586396419526143047647480688551115670775584799693360953907978602133731635202417175155222254593410345673428787226830368217310902110634263
80 170141242511842056013669607839103400602054961397322311787191860410227041883070565382011456040936975666172758078541518574385278977473222535082058761039729158150434490649456856099937072372125
81 40286460436072181885725872951034333428846305316977475504564324428800950273291692129585177974906379659867533882335671743989462882558158658034415586269402281713716514401899652478965865375102304
82 9539126848413877905015128482547725175895923708697541592815353206175808915001193590754866361427116763413888844496089869843826179184238911174913507954579139017828676837129590280171237918385179405
83 2258697836572763875514629118657731092682742868417566025245417407331414189986033380373647124633340522499644631623580695377822054545474962840651372211602399793626686489256597736202249890822326510091
84 534820010050162377643230984053177891785857818229435066495509992972329895523668517571881917010933182551613451500903321960933507922673559337208481163674764264968999710185820262380315477860291558912000
85 126635992879891909794409320688330079752725499435043818290679802956438109310869425292297983152628421869644705913074065675931577365320497619208807180046866408272349684381071936819412825047678447950165755
86 29985180792266741311318200996698967422276686963762745249709624428950004112413599611591772182177022737468058281647142603944235223347628495827261229178478572346322334216137706647717139322923892849980229645
87 7099964604831467696287680860792215568984932289413270021490522883007073625522875117043223856063072856718008210400532894134280203221737763451063759895139683355176483960419511404681214863383963472017537140832
88 1681147021893574977434362190848258315438459415023010478854043530482807739137889103235909935583985159750716907817004061420560548647823187568520854856282091984746802559556591311619628464630552263444291723151165
89 398066112512503611766647129821224416962860769230678749142875002880264290491923291551951945987835738552852928538199626114052137794080481626616928581265220840261637157920459578587614889333311710594101015936750727
90 94255069822708392745962231823875051652053582525507405346971330106276269229891670345788469446860292516134103001900542181510040207306103087586966566157259325576479839751163947580556788425686307456436380564339168000
91 22317946461731477806120289566769059728652461612027891356253957863925095300749651681615992971514985387368127753795459272153749059501462969521650372558593991617968244307794111101280890589115423593089711804850780018287
92 5284498066847860230252361392344118950998204703696250287784149417307278455613461555826962813840320869657754860866480235615116350033151145557182540191143915072757204528982840227736668092233230620814407098301846233616365
93 1251276405129982309578860755932867500863969079694341307176506704601074506762364950195113644545088786581470718846881626770339868838004885812209865074860886923484077994663006990292319571205432551105744582962845250337603552
94 296280294217030250045638801236451950231988285304691656166181168557012171157312723891795454728269537322418514734610769271900214695792735846312311691051923411115669709572159064641728963031287765416029869008030665779555838445
95 70153974278937380766019168186888012038389474509838714078579910810261522177609713354091639177140763008856208447081095091835885607126610138065149830344258675294206952685972388767636373968271376124895113571527929049717640651715
96 16611229984551953348837829925778758787289938741891897350323099526637248137209709593673950247958639587065918067428051667223788312319624183115539612751634877912376027010650644071042291513474547317658935703520289082318522417152000
97 3933247751617721079524189835233954849016432825013951148493410273969793550430386303349757422244615880542053713693605107457668872963584477062760923630297538444450618318130266984601715901863498710581752754351855197521166546749758531
98 931324043432846054461276611991837828656853540000765326256014945466361054413455272311162981450265788140695683280951770574625905284489121001579199655831571762796775149243924753642123730620088580733402457367775782703984020594134593005
99 220521189777420948598423833425440363132528559879554029668836032027125139180726723614086506230915257600156534143603656210924355564793938572121357633768570284651341109902010108229709384551025259294494680719098883886104867012415498069984
100 52215547836176727608464414865728143685163423460414447201374212156227140038100887616213773526857593448995231177465586656669766121311520197502158343431708694548122079246320096883570545049207416719524181248643608029256315644357587224678125
101 12363725402461171248680638405219160791027926511400714526170876615037277440352398075915042134155812800746620339191037708660547866909475328557135746939537386139148752403275798551942199924217980158370349634403522712156043368656839725914264303
102 2927513205588849594706581232322288755491212660246297308527256788185971427265885936238432306587407582990496411350140360118956101378111339773886211816182104366482280028104208629693511585740024584636862904876286044695413475315666997516712907520
103 693183752462753502456281305494432307893872096051731619422538899539292543192008423056378694864109916329295120129131363013508905423118611400225880737421040457918818679469566721104280968514316000898647676014592635030220421982204710923233788135431
104 164133747974569368820051510439442192435412560584195814180185041273950653358561842322622129640066687945211210950542669198383555241746002275401610419695960433370878974330279180812236417213826557241715084587400116330428263440168961222678559377613885
105 38863991154534456478885767924344087884569421476605976539541565132979566877416312149271273780995628305181084338192216760099496731225294512003103309276798266851350258643876740453880656860753400736942985069609597430292885580314956132881987821542785120
106 9202311085309238503864332239916771529309830826855893648930130724529925309027707129024684219818057702678528794692628621222319146670061620671133907869334932254613145168428716805446705471014592047632174313425113355413139090229888857936600593827609746445
107 2178945774613911733157028777882429118352736617740846395760692898375220760686837039498379000545069771182060511895576415847201925560533324364330835149402426008214072613168812777013551214664139162310922967038756436790616709898880259887288217617742739411579
108 515936121338835668721315191515862953216389954471458196601495750721639844165910601654631198866951866350076044031034319034732634456366779403149995698422848678869562891413393528318448107519705397550079847596777680139675196667310387107774998012620763643392000
109 122164619424422385385404464971929632616064005785870642756680396940615903605475194411343245016237229502196741063892971160921992711752000034482975805656171079452373386181260088903910169014858975789286363243428118295733469968363078155090201804258602458013173387
110 28926438025673046875773916384733577646538516407437519221715726897530555293481975244236887317236476647569409705809039596671384767521262130712477238634567996056409715734819511770457573018901784943143261225668958039684270293989847092517266188236432838367966650125
111 6849272897467300715002995581373235913635194705263675099233053222623777657978153069732451540962080773096048594953223743223681528930203825044897069923705774234874788141474253555191457185846062173554648850478854718146940446453583191342948774879089491835824812227936
112 1621787624952089957820274817280232411492150181893030108315907992687616864125045879615878579962958940458597223315210612151060461146321238188725392757073855228993407253224813986351533112188871226577798923165266044251902852528027366384161804052216721362024054791339165
113 384010849008560427001931304893804533222324742727961347016907684488035415307973521705366546437804776803243193650432855050369962549146569443664136230458019539459875878798126019700629104136627853393131215616863811391613235675235559392699105706933655623130307071719110039
114 90927030079312457775153273384147271957247466641787288907196607958395121501142461738408250429624669608876944077371149070004048726497085792274991680530170109412957234503856490121867615366357195415570990859428086128857276580174466490156162381265508468124539308961001358080
115 21529925053914003115832732913131483882318193031003845191983744748966822438354609477863264473865605586511442181382906002263858533736785308194240725995699889603410868287911378226038588033112987140076548448498353776852808884736849552108300391865065368980031784388316418082655
116 5097908426381310850745306975583118849259454872218307795682504593976634384345853181364744319011580766323043820388193028846182178270829279587698928582279550006421795780334998197546371114376014566413973009137090362304082529748977482791878966620515325643131783786776564701302285
117 1207095252709437485655028656567114287093255876156812067207575433238216747372178255431263765402885846251766271733870687670126056717908013763258762109323796524297138713333771675682459562806702674209946860651738776571785305458972212154766289731084150170769124642690875277839804128
118 285818972654232386937617574017760827396691270657124090544804312257270228091770675956324404235679437119979052629508155038730951204002006496598964953201569174864991627203000470704045955397923498631035631549195785159686525923283790056083624704977369172649119485640203138063695783405
119 67676916917496332940939536957484901090889633578571599590211407184893815565887737883994580408112951634347478433399480205437770647894780406043602990665365136467827423812667825572599297946120933150182793649696750564941070011351631768780116705545395596640360974194521547855002924542643
120 16024706270981268233185140249980329741052382641642816837372020833947247409027012628805507655589306265347877808764460560243741153985838121551662236136389327233415196005449374153473833356456302570091521483094786225450099466422670581226374965177673875043290900770947375941378616320000000
121 3794369229087012916005751217742736467579550328230891169568946252084154299073770949960987241302724763416761470604933754057240678603822378956573780989665511932580914253088001327689830695960596998440131927616667056172677698629999903357777394989296191878470614659669736057213529512594433363
122 898440046462128508395334918371025255499174559559782328827590722337609332987195583255636355630505276207898441498203885981360586570488261798718151179478151908743364097208278863746441476554168680372422346222819770477961573193601432447122300041619349939862246589328198003198525416297431674605
123 212734836372551911828191997545331045289462426049743812211797990548315130042777711229586918323616086770655226094393929934257499723364734768186104857458557510040663638509674317755724341578029709487792593430346682175613130614772646856304828338865690128398487087936030982250532607871195507513568
124 50371875991798963010764838569932307665756162897214437184371199800006038664521683498361268979221955937715435400890075611581257678352895002979073807024369047571599022863087183800780587409267872149056067948190219800776154003471023979917437753310515860241357201815164713701006497332756414698977485
125 11927176264115391254363726133359842863944691787433901759221593149615539671824018135678543145235470118533004094975795004107711356637364961038756516045883647981382045977668875531966213573475484885673789869477408782400257986677863805986762662038835500683457977301358141659391478016768975823725125375
126 2824146030583385606207514635488772905072885380343366070194829427988335461768937021314424671471965861860702139109967945447068862119379815668754955597073220689203801707935996503190115797169000032860734282295456903790646040394926250820622814010950771694216254388786375452274265874491828025227194868480
127 668708219401118939274904765933317810614234870613018702285182476655447256841721913987479255738592144173677237677307609117631575552235720719459991784433597705046908280387451225458128470114967514772633334861481373773949051470608650655057043301488588722204678829583684159280666031388546220117503097993719
128 158338371264124290851364429414573207761801872466851167112026592512308410282118831920770815231551874597843927438977935022769853357870799157150302286543592930708236956081206670626201614305122685440920857800237495126492537689895184914508495051339517962110039379606907038209791194968409278981019272073913565
129 37491747651956123078423077229995386386383862057079009256463103474645986441896053017625160941988226502649957258806401045773274812226473964337578702524503420485905355604960941036229738586261838483533959159897689990916808119150393840082054314204489570733658688989171532608966379725424104648899353611999404896
130 8877387905255281949774220286764270551323075482699513793357820368496374396737771854598763375700516774218571612711272855267547098538182206128999423266956517335891306481422854530124453715379212302457900254147896987189220275238757210123107813384381067718119091791438977394289543934069951076967437003082669786125
131 2102009667619774806356530753173811395422465120873819118701635333738138328838328905762108992671766973132820292510152198326665195729262195061938679569287972833781403821235413497979024406058998976672763300123164543935556324489544095169546641536360934121656551400588454098550883219426819136008667451147394698335467
132 497719001346256647656282856244562494392568839136496244684404911372181663163242846405679376853384583662471713457476591876587366641245608778402609658549010756414939136202880209737427901614326770866605307698741968339691413081965444925414045027806494614443718182691349292773485467515082234737714916400299706097152000
133 117851125100498345331359131345794076787371828952559931240506179552790576373654916095497876021271709744617245400995822058520260035801267411739996415597746858363426795542058577096075306783081834309115920913589400621743108307629629908888380046063350071905338092657695296403137534134053914358566900694269434191192527899
134 27905078266825084045206485546497911945837006991660465800990137556533180264982196169338345225956914067222006419755660722540265946096316593848904687627799559182311945384049130906195168666264758838111551953709540171315403482667559894474867331586650955757521823354046764486170901052580911572451291643882213572799780120845
135 6607432830306860202970247341060694925829079805361956579825647591325709070229983094335678547935726819329972543913641183844668605703050410238762240532397701354727132528130707104651883878806208744517606047527039705372324871048638822530700147939078405817882277353068415817861685643688531166005716225501329533731414086142560
136 1564524141074346390496717153531997662144411158206965765408751414164379381418090867820411447843200208662572553081109100497153274859414065694965691159074321649462366214044357102502128212693446526947557244671027099827852456799706289385969508647224164301944503677045777861179399359808052285730784354980541842314623521507314685
137 370451860937153770994036797970985387403681199681431327375164244181746671246088753979678056770347189842797194565698766173666390325840258410309362967986207185385232989121775847605306519639106214210214029258850595158139815028559413691797726597311231661319171505688716204089073613900868968162752968802940358542244285002243581351
138 87716499649255914475427975176874825381592354869749695718295474063545386181129407168614316931426126587644703077653368061232914359537893565624285352510040765614101407238465450382261285942810007977561993488906216166242568601113403132565993227819389018894423797307475923328478931763746961335823753444440876039796804067237208830720
139 20769727789336742017957750871017827632108618999570165230370578670272629311702843921498806198316520927623087789019185003681359966024349554180587278210005112025939743897123208675497904649993888171660300502217878797199835567452106243378758400226837445143756010444710385799330987181936412920793252953498679330991490397555636151605583
140 4917907054751086981706142328190663831250309314025264011081447510145365576109829933074731379821205539082415452311268764735727712206395123902294140122278399126892543946285881654674612550724846168435139387957554293179314837856425748303031026755945705057765534845263547089543716328300259552064154577060748796036035179111383721624494125
141 1164474086732499135005333290501891650068394106490856644559030841500952745139410583026058088408814516946080311802296765999373645992064879270485446274179153359919124249379411294280296100940745105718231230795124247501198456087499644684470017106198292215508413376925122538560798998892318110740560914879969074212952268230104589767598859744
142 275727028505242859838725376574965032363096501384502809296043531650714236299115663086813574674986637933322380273209040951727470459227953415425974299190399983724020958389728432285077676531788044248828192743832064988783638644859427653226103926689000574688185652847985601251830804761904383064138539279590795524942855630719313724912889236205
143 65287321645479796401623005652540561939394061407556559555334093811607335065522746160639924025993913695222424391421421351796741073639372965752047303461737927345761235156217642590245234856411174692167776458384956521696056298841400553043284558174418162141791288703817904133917883627939700564946134487072129142088436842570708091493211366024611
144 15458892045323318550772264692961839462672208103244663105943606760821627299460270238495543080842290418762629204342065926349530711046234048057045823768141692387617541639569993387530309463879603614596414032798087156939650098518836881944241148560237306133668868136750364253994262870832246838133877894280323091386254848531126903282006914629632000
145 3660394349865419894766254471186025525066527956149946200496918837148435503496081966166265837047600399524301585468321389431443227531551334293307725076270191238171483108623234343423241265168741644203375307996253657731247786440214323347976198290702204663418718880608314351185904755418190322006423197061034279796866280668013950446454572419432782435
146 866717146173489838530521340793799632809562255178633401888729657983326088052796748882199782940840072054387577360306042659022206469736109734797971373233681355398441237796825839714013694747321583982699026101461301085760980266354364497260515418890791059247594287572876164919066786985233675188672215417464402312377284042824382284789778657903008248045
147 205223410286035858296298087458455062304357063861944270217828345293932121075865158309874444590666567985690358970847618662117114651405162081647380796704915575697725233259434924485335144479020055157792593101832175975852294975653748846608437473778542615436177332975857371807588125012410976942692561196752788586441914018487797151200865484622751660122592
148 48593302111736652303948590055830752347403301108699942147748577388111222254957289970227272497671951265821272602708173220802339799599923939425363682653498454550575367905994556661588780939648282802208606184520329772636277229761184215290195601924621646772885079438516212566936835649373223623122593273172595978511521221179167774792702225335609619718446765
149 11506041181322196270603693532123570152176853600231091640778583753578798902782176719174474853007386974249873383001242708648399208542874106167409240042768261304411871323140928937906382460431570486714326483788922357198832394938423205569039672619797551098962082928963597152765349383747302353948114897295535324059859281754442940088931406945975572923593864207
150 2724428633433137491585259105344894908843190208784967442202528543790843732882767585460813807734967086373072053283233121777277235500073924856843058497663575491376043211602639294909841545725197294341492366968404197260562409239627342754386532930606241088133554066557766862787898647214992738464510848876201446201821508957415474548778337585496433294314808800000
151 645096889686032599065323910807426259316720333370720653333503671151097891561650522586446206801326652683398408325195170983710357439375401893992576708754129086418127028195275043805452736219399655938207684967424334255409649884946585134403033162207767668723550097765737230168084276367541348930104969242757390374863655107470774492425468923947562577274864108376807
152 152747622740328390217198591516704750518863240017393780406551396819419238315950975018204956945980262234364133329583919241610682138737099098844719216261993980175190237667285411036332584140103005671669167498329187757571520492519033490840461514256875938325572107063006990357228119485523539606315215484657405290474112479811952383676020236092023192026423975911888765
153 36167956512977835098715889584664538597399041170754807383312791336690184466749228096712551827909709598253047922741980215031256399971045675447445301824743207570602149234102244603971491696615508327913082259965849010403743249271170032813549186313309833729151722133285705521660756346820967724162876468781960032483953924222206016660294016573827571598802262325081693792
154 8563937394616394195127033025310869435306772104242422531558788143360714524324259054203315117158129751642219515503215201129358669723072945873332927786779139614052400835358241451377929766803889807138357650174606561029004650984880544954649387916962309284974119441739854196274717369583047585829530187547348285201626494507876316123379249901856264520229096392564131596045
155 2027790087410459821288000498749724673800216588572692155828560751204000213673375250659421810492052020989752617996134607258736511569531817155879920788003757302144913090011764383763957553234009014252942567848182251879515548522136520920456867238339696343771183600216747153733279173577648867551464157232438321557427072802705611219888237264823513604298329097600620636659035
156 480145107224281236460424015678264606270434892205179075087524709362845156605262018664817530035550843403903160829961689870328588326662825429113818477695476741905799867151070949656579948113223075340705583832920895181285237636695815978951194917917524033273486853882793534591347658170794483033056918344681164382288696464865500425416699917282728220984618721929601901420032000
157 113689935374830232637817461768642484832415568458925285209752669835368764261057266222391912078273439165554599704264191516102557979643825307280176213577927886511088394930135033934597000153820356346160497572309969261139946368158574192757944023103496330797252862506177228584132052872328497186741995961830349209995243052809086730867229203825057688494856837592646781374378372011
158 26919781564066782868040285294227134544160723700515452653721164375760934298118059263963984705788883914293659521318266053366006986011201050616442302581702897122543248146604482968747171788599687807589113854865230627951576915851145112797692544116897173629019277820453311968067548666459817700147045025469066425590584788653719643865238271467812971315387540161540311400482059592205
159 6374131861961681285616943286353781848445267831495946112736003261278481086954739291347243841379616280977543890344105280028172769786336606448679652817724210899251126477464392873228627499060678128012046858278617447976001832888773154623608089057611216634183260064430127734852437869316768992496394828455299494259523063029088161246948338071754292021788782155605335808381205609672544
160 1509282565944311677589534664721358955352437932362370173085167629274601868731615225367007608128084358498816084248886837228237850722010755528555189325415981218622831509012162299153936069199894123904082468376993973004258506122733802769941517062192652395818458314564810189742899528193615617268458090782023099000353099132464745193090230721646086446295401721971075457850975233725004125
161 357371625374941066595187334728273128394125416666562819890121169643946863417299995505170482846018103322548956241443229022658430291850164526953586630804816765812565121194823160857132388460946456150660355958506639623567058111839880048038849494016666153126051743824143167175963129213838328957781803453123837565466292393383247965973397799541170908170807824203732696914060000145456588983
162 84619329411799175407511516898788857366675238269779857221947698467794291426185866111976547701154345752908994162446524287000778717494012142037572277846732166881001105176002565098899377295951656503481614727496434877585397704092339811921250966245317623134172086064145430949711289524055560152771863869093691787542861052193420052869001600636918065372782981349479225924077777541940109566720
163 20036372229021042750120612446568383059127662292806501544751378633166930771372039756949299330980467609381807616946170632171270428018497679062527956816592200300319687757163686842420608278501688021216968188201394889106073479199998453211609524107713907478440880731419257433775910275966001649759281783728648577572137125781257449647734581524490355792510891428645278800351426402485340402853951
164 4744261327647761973463333567494343550079483110140588466639237938762464607071310386105371244455543462024440531739155144165668953039025316031640049488225799696376491076389085717105185655381557459125986061592463192330737470617396800353249323806491633788508368815898663926930382531525147071070851345624735772978386085274988933106023334138226941376331850106315857632655784440712981485131268685
165 1123357825844994514600604761689707227789233784090246232174068452507866109180656789062424951245322615220572411995203330025470376577784998679640081112071595750503572175506801568759836366900498132082425678217096655006832342037430911482206601832644897542796957730852783855212854743481453306696012800348760277849861176248000848684521104362057137987261728684812570104914851534642938436281896385760
166 265991419472010442022989576296928234053896829854802282392813147366082431266283490010690337905854885790731730168496498970768207303064854865993834005259772476364446048253545448935788088753407686370079055480878388287252099455444698408084939736300986145146825652293857167058015547033511292432656075598331708758237485180255952098830505941576983274210553606004728052203277176550539996518485267012845
167 62982100275587154506999522086895312418059485704659792436018845817911395754041135915079745124962978067411493284113850878727350719629053530188237858355901131112833882886547249680310117438814757238817765864061577110573615076660955689027006279815348070144925441254668274731067221645767338983433513908606952407872276355939369476895334550052509452630764091820410327559411470935817042123587676920932499
168 14913056079019591725728564467913352912455348694023958915709392970476783385148939516502927014896969261166636275579485444807154622189507239921571969486033573374001927343374738024415509229651778989451648288194536716157966005363932144441054450070232071335446551318176414844873945600027849136776564849095252057079539565697124145728835332909857817673717859151798803684174208789663549971925133803773952000
169 3531149971862539139960095534657667874795669897751593148297601469260587597593057789214595232127078816612873219923720252847892256095907678478168716761684192635114816565365005207544690251766163130905267370920219344166924816246329641936967523918246691510619963564053637910320450736796578498993996355248603242048668198842805293393424103219337190194214580898684895337127871349409949701112080811484661802867
170 836114345558374939235081547911851310345936086689360670486844796280378957979698688166409316596369633258955687398563997972858391791334679428296933490518406286261095926646828566419196875011177600491658162937312501175595407567237885589043750068033644734881013385263557853810952696208537966220997677480585628200386222964826696040562179116376411676368971249071856541322107673429167421399014265151424485126125
171 197977204145699121053320171085677615696306267657973684116857546082518037036063431402460091253804145862646553313040901766765828180670301649461515195109244065890981278422530496626466190796361823173626567501155598333962599386233382176136949577797591957680333422052541223215439754056167919397824666562659744345976998456253523789309965257462560967482951488259660923125307174961351017512868569757586529385513696
172 46877527660612722276676732993736001587611147697227386960107321424174952951065127483503147381149012753904438974438238210551155439944875495692840410668291217360519610020873882502519478334608381750071982106071338052470142278622531960141922085891060541889831063805266294441884352402804297848716498794977161312252380828672267673162933639104690991612085505775044205102287766502417424005721317336947373487939175565
173 11099775901241050428444039797456174348409259304747130196016913915153974052241096709152534854580274580834345954305710945426566486647534062507342505436297952699329036727939754945940694017900886026153540643020696662173911177326766569823901321536936031144451184201530849066858967386567966289050420641240066817470416457223762077549848984448361738209178940290202733961900641719877935548057078004790561345315265689119
174 2628232144616502091589005641997935778097769383722271640295637332801469902161612461479005044629721438902935709494538150953299829373799596818887935985506361433280930222137809533759316078268485556088036142579859577613665072621150758161549280384406021189703947564757812633203673568033921470708035811717880043037694467311240521270205109351633125311197726654124789007593463022158109217902100084248595551893583314420480
175 622319249276296505531401510338592124308177390855421714868940667244006589395794669494365875033835761987346793682017252696873293176530358923266151618209259429907858550846133025069028232967039649428813236527965981211813623296560988952053552589591511873028485979283295417896830760150796088762467740306907915660330016618337968189221314480724051981913453763844185081908194106828362947251446031691932989964967289601461975
176 147354277213713678945382911744452088932893401769906636706881679323420434819361873873368041595227013334204381513777171888074945960387646644639660295991362502263794398440857754751429661081862682375590020126064959077671960603488313528644166587276484481821306797273618798217995939271641618535765282742650182205151532408243764767562491816643376809699933636630401831482081687304455825841051280609106130072792464604162963485
177 34890906939527661429406885687334098372971363159085866347170509233662580472446637332300103925555586097062561867646382736569744490942721489785483923619464063455164282925482203141542372574256096532234835191659545273918275122092730602760443504594059237508782622451529127696186253552136474121792261625982053213766858332924853495810704360061643996759483248874157565590528619205727132104396044460453745019090505158071362236768
178 8261554466431756999832169229144518880034767650708548026907532594712761752429108589243431222769782957603327774174453894533381976541167306554001930430170923773035701038603473442957088397275211895080138063535855666204213257444327234185316816127851966148276596938128778161490433860896059198116059423743204270400927610933407609482572396465669736162984171090754476075922981745268821718185656509223603211496967348072102227470605
179 1956191116502473398083087450799825608547647094188826799610433130602771507461405476717907915094564573705612329561748954206604865017691300459480157061131179003233601746567933058608323973741289277897360716221059313746389084777699844707510311041931353938374453245068357408395778236438003246804613477766289260138233972850392412968098809493454455779299723172527484154023419839851397029487376034623981943961531976971337633862229963
180 463191727396064010939343861427276557655365945776639524698959762648578970815799450924775550915352404328521282646051758548410101469762365850261927950775625722382157714869058883527759104806152072935385217478645206683178364442099785900682316730010180220542577920046372206341106183814892799202467900127973415535130381461477297328174369706847072115275930804003019579086583066355291625024239642951353665934452063480153574845120000000
181 109675672544584119124189239352625938840527396407173059116031654563299913698832481732456984362179542805800845439782944327097306713674128938271019303681283645676269005924218216534074441162149096216938669685950727380862934988593931427849001229806488796609306823287074259747797837044822765873034203633919581002769192193862204688388664500646965068326420794090419704567924660506796645419223378928551593304225378332807987222089755466043
182 25969274571739809375849441999829893785138421152605009497549638291534721171897182745727483904679142922951406086170041056464385938937916097813867068547231857258329577492419224536025804147556871982813713443555582946769170934789017182419701224365078386962383164377544712406361419736158243439109035845984142831764730036777185120018727110991062042751704053630093433780244268244427292728659866103540519320434957530219440245298679789307405
183 6149068486525679227166416435015668461551866926746035906906964198993123106072403112465350484580171449525602226472587125283232122265200484571115722732619469304956739343888957638186607142426061874376986696841687520765646961551974048107716537715506307959858580126007005702163601468255779669813321173092605020190812875642753590795445571530720275831545110571583062843784776147295945078448978046338713501342420559841981265448318864868600928
184 1455991508254520320938084899576991018437325594537838641784870589661806932610442626110948361047317776308156102531204876895253319319152584954351097449602283763741265602674776672756220903962652921764129823124105475323822649466182174742697641706683783779591404246531117201799372767445763549568375363188552487433141792095260161647705678988328961349559555656477947364216267152746516706491561903346405993475177574602385325790267059480777476285
185 344753238113153013935859290600079946011624000689366647778372271799725146465978972605919977076538124376174672374938306311370656858994511112383550951336612408064113653502422294159236634594841246984225687183897676590680237631464578736713973727257557048083987083001767839726619498838823619138207534819723567816846341903804476102348181056333013303536405487656683353817574353550417843993097504559000423286353936908253653135486799571751482426055
186 81631516746955848357461010216683095835274436177318644756143694692464140623609717957987939176786718095802121349787892421489725107275582899136936457345702682843242392827571192855519452788925247747649159773036126626723270633815727312911270169982919238431286247270793098727552667014783811973529106213219189878176472635145912874941198153086156400713022658939360588191688103957978711905968386903749661900482625412169073028266579858145915660686080
187 19328910622795683902606782897498045049348297738230177511529855071821545747499501054012218776572446589119238380649911965782414824342280038015966986057573017845794817055122492749009292344324270307630212387157095121223877120095047836854477227158298686081241912489642051325053755157008594103468076520318198918618371159181286148835872427479393861181908647853171996194279754888803956097051233188759764842958709662325908459222483916171530866197614639
188 4576746834462758458447354034739268415221167268493888759708898148200840986903230990961769290279357166358547099196545121687547317471474744027977195062847900554680464064697875480137902795957301399027857944428265926149842521234455904336825026620442175857476920449967770836117604969123955651242022799185204269539111017744269328541383526483711234316917476863416690731425852355542307725230521296942360623132326785068960494584045023319673841818069037165
189 1083693333552970620930374949866581592904775309237719963283391486099425971776308547918258354798823527007484470411761251489595629273049452975262415161433365210648745016757380692572939197399126198120948915334586583236559680617350761818818374171961758748743418251142709938063419607750690098657377410562803641098379830369446179365970430049084014196151671464470656267578811811446970243964364474885934418472546758204405176132387553324480855983871785479136
190 256599563765253794073797204585865334491880869620000323402464108686681108624153025419992039786419546388725108346668263246404717606284868716322932765702190509762925559712719392704936508013640903434171725856512449154451646435386996997737584031058995543381931435469079411807029514714645510193468548113930789125268696143920540199309875246909150129665912554543910066838438333990094679942290014587859818468358962160411726520374414989815004861026584429830125
191 60758273660913080065555153487171239811986450350638204599214803247577571937593330515792315147062046897742897292510988744184304559791495681124591574505000751943319670050887019648367390543760384074034698809993755230659712944438925092819442447508631888035537843120311518037325115904816965801400497846973324522372114540836140745743166740679461496582257548818834128940369256730775742268758551440128950379340468186446409248624936087517080517138089507533145987
192 14386492962363641319720628417484022722936393291782317306827456640530197232948849405528178257463040577487054667143270911593697351577090661373472315211713315402605727337583234720715236846740574182432117690628416005905240007654559281698897571897259628041580854563699011331309429020734831107435748062885825306825305157751650076526772870690109940320368562145732831032558838931704784031821086403513830165080518529509333475264500107989247515697555290919534592000
193 3406469066439044723499191247795982878067353102840237975716979292326597671816365355044577891939378513284569231137520578373765237006111524845116343236173039161889550625878595968074149142950467796911255279994203293105544731476949597672999830401243797381146875650476441466021543208533059666911708918375048141592655528985703125813539409703008567886458727227865657256646762380844533297639110217535820114014408963443543784613235564410227415868338695294294797006979
194 806592095166159417512343400030033117524828822245496640483517581802449668241380859037596913391299548677086958580567628743609905585571763353779468991049245013099327094313725874045369769999439767179009797514410522006182243874442014091359868444826870978337777785128831079708206874087205389214275012646843391039706097241143375425639380850369710506688658784430221068602830448152527496325226670723747675133664721897845261036918202063481669778027266125271579408574445
195 190986853335682984347812341854176588581931695757972841283862180246368785676700472699438831711484860618553422712329674166137913485562025040168734528233047985920617481503763457580737483464136540793463776729614704517490855370837933496328758627786049951769461348893826062998076034707709045358992771837008070701796000392441166220023207817819774018150439403089065761569296241961679630540978977210865524471420337384769750374233905034608615331950849891350907224132221920
196 45222335261730485716599905765431840243526378854022087424338584763551016205590842813182606985350768151064882998406708972861734881473846763797816648810919240382362482660937454603582240926526095980235083208998038438499254040458372517964461879021044622325555098189273865532824507282766272625427197522731614642103920219647138626101176947326039410396670079623970824772649903409492150642790646783828756505169571598011043150855510175407143199047743811791687391309047819885
197 10707855387982688135489663259911401374103538584518944098218444691244252840308664158236986979307763906563819168231171116796610876388313657001770649926351382207439808129152438205532976401558271279848154313810137108118905430124720953863204362908822084246596006917486585936571159251830685638223485759693635264013746463948503114691683063668107320449052277136825682115662110808370617769529745512212556179232747913357324182851465201355410830597015996350759973042495526422831
198 2535432244848700796075079062209323629039817545092258718104641793223406499412205228111829447302712569895379525063808357425642129749384088623446070941154326022486070076750443100830477544810070077889864071742763482433517674066058514998439710487534571835489856874830062439622551082771491708530732667908302610784865225128307949739134274808422984025597157816826658562356275133065260516093038101370220800261513623518554151946809442843236019657249059986383753426484162581451520
199 600345861546941109164817127955547294083963243638792184243246429952097068584201444620381934586148750037813117339184763237616930559121459028595928900185772149152397404061920558478128382614256972091045997680167645365121368415111326509978389502253858693582581844283557349706137465166587523530732038928354377806513071378654127918285701765516467668460559731388333742143836801472967657186613920611495627093561885256441184962249482599135738838304073214684768684391674227524200903
200 142151364608067596693707208210520493168184027285198560957906287346430901726855566350385015204188429576367805388615956468908508702971470590454635477269644800137353378684486695966112978677685834257413352264432618117046933823985379587542788303366707569302594955177938159006756690615500829134944337258840794363625325585766583762534696950094590962671460937675985467062612688404330728369358008581242052158132770110594288073343357589148479046859513253390203472855985218730314728125

index_8.gif

a ( n ) "\\!\\(\\*\nStyleBox[\\\"a\\\",\nFontSlant->\\\"Italic\\\"]\\)\\!\\(\\*\nStyleBox[\\\"(\\\",\nFontSlant->\\\"Italic\\\"]\\)\\!\\(\\*\nStyleBox[\\\"n\\\",\nFontSlant->\\\"Italic\\\"]\\)\\!\\(\\*\nStyleBox[\\\")\\\",\nFontSlant->\\\"Italic\\\"]\\)" = 335 a (n-1)
- 26224 a (n-2)
+ 744035 a (n-3)
- 10084457 a (n-4)
+ 72968360 a (n-5)
- 295849710 a (n-6)
+ 685799270 a (n-7)
- 909474816 a (n-8)
+ 685799270 a (n-9)
- 295849710 a (n-10)
+ 72968360 a (n-11)
- 10084457 a (n-12)
+ 744035 a (n-13)
- 26224 a (n-14)
+ 335 a (n-15)
- a (n-16)

GeneratingFunctionFromPolynomialAndSequence [ rec , seq ] // TraditionalForm

- ( 3 ⁢ x ⁢ ( x 14 - 2385 ⁢ x 12 + 54940 ⁢ x 11 - 451104 ⁢ x 10 + 1542340 ⁢ x 9 - 2024890 ⁢ x 8 + 2024890 ⁢ x 6 - 1542340 ⁢ x 5 + 451104 ⁢ x 4 - 54940 ⁢ x 3 + 2385 ⁢ x 2 - 1 ) ) / ( x 16 - 335 ⁢ x 15 + 26224 ⁢ x 14 - 744035 ⁢ x 13 + 10084457 ⁢ x 12 - 72968360 ⁢ x 11 + 295849710 ⁢ x 10 - 685799270 ⁢ x 9 + 909474816 ⁢ x 8 - 685799270 ⁢ x 7 + 295849710 ⁢ x 6 - 72968360 ⁢ x 5 + 10084457 ⁢ x 4 - 744035 ⁢ x 3 + 26224 ⁢ x 2 - 335 ⁢ x + 1 )

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0