Spanning Trees in Grid Graphs

Paul Raff
Rutgers University
praff@math.rutgers.edu

index_1.gif

Graphics:None

ShowGraph [ GraphProduct [ PathGraph [ 5 ] , ToMathematicaGraph [ G , 5 ] ] ]

Graphics:None

index_4.gif

( 111 69 94 61 93 96 61 94 60 105 88 79 45 72 79 88 35 48 35 36 41 24 41 43 43 32 41 29 44 30 24 33 24 36 36 29 41 44 24 30 33 16 15 11 12 15 11 11 11 12 12 4 8 8 6 3 5 4 3 6 4 8 4 3 0 0 3 4 3 4 3 4 3 0 3 2 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 3 9 3 4 2 1 2 1 2 4 2 0 0 0 0 3 2 1 1 2 0 0 3 2 1 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 12 22 21 19 22 12 17 9 19 19 16 9 12 12 16 11 10 6 5 8 4 6 10 14 11 8 8 15 6 8 9 4 6 8 4 6 8 5 6 6 5 4 3 2 2 2 2 3 3 4 1 1 1 3 1 8 4 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 3 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 22 12 17 12 19 22 21 22 9 19 16 12 9 12 16 19 6 10 11 5 6 4 8 14 10 11 6 4 8 6 5 6 4 6 8 8 8 15 8 6 9 5 2 2 2 4 3 3 2 3 4 1 3 3 2 1 4 2 3 9 1 2 0 0 0 0 2 4 1 2 3 1 0 0 2 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 21 13 15 9 16 16 9 15 20 24 16 16 9 15 16 16 5 8 5 12 8 5 8 6 6 4 12 8 8 6 4 6 8 12 8 8 12 8 4 6 6 2 4 2 4 4 2 3 3 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 3 1 0 0 0 0 1 4 8 3 0 0 0 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 3 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 7 10 9 8 8 6 12 9 10 16 24 6 12 8 8 5 4 4 5 12 4 4 4 6 4 8 8 8 4 4 6 4 6 4 4 6 4 4 9 9 2 4 2 2 2 3 2 3 3 2 1 49 28 41 28 48 48 28 41 28 48 48 41 45 48 41 48 15 24 15 16 22 24 22 22 22 16 22 15 24 30 24 22 24 24 36 15 22 24 24 30 22 8 8 11 12 8 11 11 11 8 12 4 11 9 8 6 10 16 6 8 7 10 8 12 9 24 12 8 4 8 4 5 6 8 6 4 4 4 4 4 4 6 4 9 5 12 8 4 4 4 4 6 9 2 2 3 4 2 3 2 2 3 2 1 11 7 12 6 8 8 9 10 9 10 8 8 6 12 24 16 4 4 5 5 4 4 12 6 4 4 6 4 4 9 4 9 4 6 4 8 8 8 4 4 6 2 2 3 2 4 2 3 2 3 2 1 1 1 0 0 0 0 1 3 1 4 0 0 0 0 3 8 0 0 1 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 3 6 3 3 2 1 2 1 2 3 2 0 0 0 0 3 2 1 1 2 0 0 2 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 2 1 3 2 3 6 1 2 0 0 0 0 2 3 1 2 3 1 0 0 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 4 3 0 0 0 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 9 8 5 10 12 5 8 6 10 8 9 9 16 9 8 4 8 4 5 6 8 6 4 4 3 4 3 4 6 4 6 5 8 8 3 4 4 4 6 6 2 2 3 4 2 3 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 3 4 0 0 1 1 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 3 1 4 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 4 2 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 2 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 2 3 3 6 3 2 0 3 2 0 1 0 0 2 1 2 1 0 0 0 0 2 2 3 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 3 1 0 0 0 0 1 2 4 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 6 10 9 8 8 5 9 9 10 12 16 5 9 8 8 5 4 3 5 8 3 4 4 6 4 8 8 8 4 4 6 4 6 4 4 6 4 3 6 6 2 4 2 2 2 2 2 3 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 5 12 5 8 6 5 6 5 6 8 6 6 8 12 8 4 4 3 3 4 4 6 6 4 3 6 3 4 9 4 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 10 5 8 9 8 10 6 9 5 12 10 8 9 8 9 16 4 4 3 3 4 4 6 4 6 5 4 4 8 6 8 6 4 4 8 3 6 8 5 6 4 2 2 3 2 2 2 2 3 2 4 1 7 5 8 6 6 8 5 6 5 6 6 8 5 12 12 8 4 4 3 3 4 4 6 4 4 4 4 4 4 6 4 9 3 6 4 4 4 4 3 4 6 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 1 10 6 9 5 16 12 5 9 9 10 8 8 9 10 8 8 3 8 3 5 4 5 4 6 6 3 6 4 4 6 4 4 8 8 8 4 6 4 4 6 4 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 1 1 1 0 0 2 4 0 0 1 2 0 0 1 3 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 6 9 5 8 8 9 10 9 10 8 8 5 9 16 12 3 4 5 5 4 3 8 6 4 4 6 4 4 6 3 6 4 6 4 8 8 8 4 4 6 2 2 2 2 4 2 3 2 3 2 1 1 1 0 0 0 0 1 3 1 2 0 0 0 0 2 4 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 5 9 6 8 10 9 8 5 12 16 9 9 8 8 10 3 4 4 3 6 4 4 6 4 5 6 3 8 6 5 4 4 4 8 4 4 8 8 6 6 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 1 7 5 6 5 8 6 5 12 5 6 8 12 6 8 6 8 3 4 4 3 6 4 4 4 6 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 6 4 4 9 6 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 1 7 5 6 5 6 8 6 8 5 6 8 12 5 12 8 6 3 4 4 3 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 6 3 6 4 4 4 4 4 6 9 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 1 2 3 2 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 5 8 5 6 6 4 6 4 6 6 6 5 8 9 8 4 4 3 3 4 4 6 4 4 3 4 3 4 6 4 6 3 4 4 3 4 4 3 4 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 0 0 2 3 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 0 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 1 2 0 0 0 0 2 3 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 6 5 6 4 6 6 5 8 4 6 8 9 5 8 6 6 3 4 4 3 6 4 4 4 4 3 4 3 4 4 3 4 3 4 4 3 4 4 4 6 6 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 1 6 4 9 4 8 6 5 6 5 6 8 6 5 6 8 6 3 4 3 3 4 3 4 6 4 3 6 3 4 6 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 1 6 4 6 5 8 6 4 9 5 6 6 8 5 6 6 8 3 4 3 3 4 3 4 4 6 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 6 4 3 6 4 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 6 4 6 5 6 8 5 6 5 6 6 8 4 9 8 6 3 4 3 3 4 3 4 4 4 4 4 4 4 4 3 6 3 6 4 4 4 4 3 4 6 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 1 1 0 0 1 0 2 1 0 0 3 2 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 5 4 6 4 6 6 4 6 4 6 6 6 4 6 6 6 3 4 3 3 4 3 4 4 4 3 4 3 4 4 3 4 3 4 4 3 4 4 3 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 )

index_5.gif

( ⁠ 4 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 4 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 ⁠ )

index_6.gif

x 52 - 484 ⁢ x 51 + 82416 ⁢ x 50 - 7640350 ⁢ x 49 + 455693981 ⁢ x 48 - 19072706154 ⁢ x 47 + 590520298336 ⁢ x 46 - 14010318581758 ⁢ x 45 + 261211292798550 ⁢ x 44 - 3900288467541830 ⁢ x 43 + 47338547029158832 ⁢ x 42 - 472694116141250094 ⁢ x 41 + 3922434900872559862 ⁢ x 40 - 27280801909660820838 ⁢ x 39 + 160212750300695131136 ⁢ x 38 - 799614765158102851650 ⁢ x 37 + 3410907599224593358955 ⁢ x 36 - 12497595147289393786222 ⁢ x 35 + 39504236961488016114192 ⁢ x 34 - 108135791069483570211440 ⁢ x 33 + 257172005901566668065623 ⁢ x 32 - 532858877826113118487476 ⁢ x 31 + 964135170334683737644192 ⁢ x 30 - 1526194237750238489535548 ⁢ x 29 + 2116654252814607276384852 ⁢ x 28 - 2574535126075647156955052 ⁢ x 27 + 2748016487294304686155936 ⁢ x 26 - 2574535126075647156955052 ⁢ x 25 + 2116654252814607276384852 ⁢ x 24 - 1526194237750238489535548 ⁢ x 23 + 964135170334683737644192 ⁢ x 22 - 532858877826113118487476 ⁢ x 21 + 257172005901566668065623 ⁢ x 20 - 108135791069483570211440 ⁢ x 19 + 39504236961488016114192 ⁢ x 18 - 12497595147289393786222 ⁢ x 17 + 3410907599224593358955 ⁢ x 16 - 799614765158102851650 ⁢ x 15 + 160212750300695131136 ⁢ x 14 - 27280801909660820838 ⁢ x 13 + 3922434900872559862 ⁢ x 12 - 472694116141250094 ⁢ x 11 + 47338547029158832 ⁢ x 10 - 3900288467541830 ⁢ x 9 + 261211292798550 ⁢ x 8 - 14010318581758 ⁢ x 7 + 590520298336 ⁢ x 6 - 19072706154 ⁢ x 5 + 455693981 ⁢ x 4 - 7640350 ⁢ x 3 + 82416 ⁢ x 2 - 484 ⁢ x + 1

Factor [ char ] // TraditionalForm

( x - 1 ) 4 ⁢ ( x 2 - 4 ⁢ x + 1 ) ⁢ ( x 6 - 14 ⁢ x 5 + 65 ⁢ x 4 - 114 ⁢ x 3 + 65 ⁢ x 2 - 14 ⁢ x + 1 ) ⁢ ( x 12 - 62 ⁢ x 11 + 1342 ⁢ x 10 - 12878 ⁢ x 9 + 58519 ⁢ x 8 - 139904 ⁢ x 7 + 186112 ⁢ x 6 - 139904 ⁢ x 5 + 58519 ⁢ x 4 - 12878 ⁢ x 3 + 1342 ⁢ x 2 - 62 ⁢ x + 1 ) ⁢ ( x 12 - 56 ⁢ x 11 + 1106 ⁢ x 10 - 9568 ⁢ x 9 + 39179 ⁢ x 8 - 87096 ⁢ x 7 + 112872 ⁢ x 6 - 87096 ⁢ x 5 + 39179 ⁢ x 4 - 9568 ⁢ x 3 + 1106 ⁢ x 2 - 56 ⁢ x + 1 ) ⁢ ( x 16 - 344 ⁢ x 15 + 25540 ⁢ x 14 - 745448 ⁢ x 13 + 10445708 ⁢ x 12 - 76194968 ⁢ x 11 + 303860988 ⁢ x 10 - 687124520 ⁢ x 9 + 899525622 ⁢ x 8 - 687124520 ⁢ x 7 + 303860988 ⁢ x 6 - 76194968 ⁢ x 5 + 10445708 ⁢ x 4 - 745448 ⁢ x 3 + 25540 ⁢ x 2 - 344 ⁢ x + 1 )

index_7.gif

1 4
2 1376
3 361860
4 92544256
5 23575404820
6 6002044445280
7 1527898117755412
8 388939442019315712
9 99007542753465378420
10 25203122804459545322080
11 6415645979596681028789108
12 1633151297922105531036929280
13 415731036835959295502046104100
14 105827485262836457484100780941664
15 26939188186309924045769638788238500
16 6857574460223163592368077361942560768
17 1745647535930546991378831721859470570852
18 444367806339513138851509939588079308525920
19 113117191899633621811629426901958050842031844
20 28794838241459306685500914260948141231955406080
21 7329944241256321823378308825662312301081887360180
22 1865892842647335115825988187893896054225353739315808
23 474977160214499601179542934337701123719449216158031796
24 120909034843256961587824741136172021739936836381048975360
25 30778310898414548087254857782681292276367963323853604134100
26 7834852234057796347794994024407312957505936696572998761327200
27 1994420997699470929314436613375972038513031236689730564736052180
28 507694975889089641060341720040188431126860707896656004182903045376
29 129237602712936824290717793165710485637002979199902255993905473938628
30 32898410951846153729013771703035738642429331785921319539387358872348000
31 8374539765803091619444593221096167652351066009821895532524416073910098756
32 2131802547900316304069732471760051455248511487976907439415011248903860256768
33 542666490377393232125638336788974730277013594932062643540760168165558027316420
34 138139866691015754365376284767995870294437758068577728397296457134511690380772704
35 35164549696335111525320497132503113232021185840901234115977801357577868518301793860
36 8951402552833384075480906562902209715908605723127402186030810594744293720659471760640
37 2278647340995895470337314644897131627643838128612987012385188938544774493222158756769364
38 580046945043731605241894962265267113140929163578007800466096189045856949893328861710203488
39 147655344642983018224261462833705197230288347607987450091017658456931287100889966701093916500
40 37586786703952666071022558912423824247988930782523884272875254591124634449048801404878255042560
41 9568001335436735334133596312222266187702850288266850005996403735255273060307840577347399176647988
42 2435607232828232392467783970492463227494373332342928624517825713439818071239702188100880950573873760
43 620002274731541154598918481762621312779991042364188314287613436408629567207372931161874825843284318772
44 157826276540456832028982021468468073253495979008761369042973137558639323983944912761267561214808431570176
45 40175874479509487999257735583344620397425088843889884489146928975711751390281568808091016356765266725254500
46 10227073245180100214975187971706459693309343177453049357813358918372416987553446919059181091326635606600126816
47 2603378980975838981605267074380706270569704715908733002894575838543505340028502737981236631390481738401954753508
48 662709844361483655402147563951454943120197296652797652328786149527416008095816537149127794425082632460171500257280
49 168697811967814224597133262185684142851838573035131888927489511705740110181067039906465469668713661130650656219915812
50 42943306191788967794177351475425503218598982571989396501359304515653776510611215111692924418180642058229012163897090400
51 10931543955256402010433083079102366756118371792149305296298563220740002093677169834058350887447784670672805828660747123620
52 2782707337716621392528811720259300367403501366780675613046988034873425080435515753445993359059285624379361485380208441478400
53 708359236268588196049347507148279929504227731654126155473397366328681061175595719650220699690660845956333933828283279018769908
54 180318210544825852679120992278598452439180010944123664870175341530853213755881635579082007794165819755336607321993268920730980960
55 45901366692647429607740775679490567906039212944553600472275401254788075789979959082558977746708019382016077025651138652571194269940
56 11684540667783043088326969544627208588220558812834961287273066358499768293425648378085949029352232627820283708780761333360084651421696
57 2974388356043115427987373027916740197766774936643768776818135614604291868379709067594828586448368275967344108814465257681125267726921620
58 757153091773477696316056586086924529700817153350691005820440700916784594646935483886582398144097724761169512984881760896431095839044096608
59 192739056154987957420845360327256543792767235672425213145599534806955305498412266089982263627187057992530747326949330009441094178717471231636
60 49063187050459152572662747556119203003825201099896000795096947157344262539721415399260105873452013133856091772313245984773036262406449335328000
61 12489405995703513017831457024562531601372917423536767947765576265077919756784440667836531854065625400124163451376870019763699835364999735744404484
62 3179272923405718465010431137445444188350661258059992068268090838203188671036776461659992361161760882586572821418825290420522450007055118686406239584
63 809308010723482343527013390337905895886399281421696279406876009731406817919619903638774062661916416132984680237521746582716388737226883236076317982340
64 206015485930528250286765922786954555802213533270123020149247640149620658061231157850380399385424113024875816469740403173606463919665777761186808894324736
65 52442802839984546234930546397584867535394318166202169991000918603334310628858064156457530476158704660465528247028307412776940541610393253418843977142362500
66 13349712800914971481995174528879748683670269252232915403374626411670876308226939697454207774802232306796334131836357209272991651264003597761303559871569569120
67 3398270538870488202248025092907542422388775082226687205471624290683504202421113438195846934017930642999654703614882642808188706932740673196442066005373794799364
68 865055512996775267163432337439928706681879996434786602511113695384689023838490620739242146917162352029619636110141749999122338641656488051813694758851664723369216
69 220206435010568578642035125512277496499372792333107279091389605928525946926136611284460236439092493192306823649250924286083276979672834002070509854542977933022614420
70 56055216447414891105156130756340587353666680572043372547102254662558221433025470090033620685657180950828716595272638155597511592199460480483526128346988741044893479520
71 14269280054489447217067026426072074781584111622562871287415033733183919322208110052318252719171904215823186487768489766324549668151860955934148410293333195621987973190804
72 3632353350458615358636916163770687183768553386878985194723215620307718780171573447693718148931628081437369460914362041703887140694913092297295398287571312267272416915435520
73 924643066237724609541289424803256477687107132729621489330616257109895271989064621891039814709614345168192221867013514478535462736223199392174735467398823333497210387545246708
74 235374898158945532207939511537092355906282274764742663651979055729232437946394202027670392774379603025882317801150935368510249674626825395337143983780964393599063624919570068064
75 59916463667170746897581360057673810388416140721460331269590420223793898848379993778192634674379815309166615676433917883184974459341190022269969100255803024500456622753212130912500
76 15252189789393449950842929139442663474708073622074890042978901005250833116652461645692033934287986885844662050578487385894829879264642157650589357882235243728210633053995379132026112
77 3882560470589644821462419290047205481453897887041816060608791446216106817141934928250764283118972232303272682120089529640706123922410959059338790630280434574794933211187881645545699492
78 988335184385661844384960302295229635614451478632298926390520493053538013142445374853285358607723017468004308464315560072075911329514432954551284082895718681267005630815524143267688604000
79 251588209403031528623484127959702830804551273505001002619222279540506357645380934456553322869569745771072192998630044712007443626541713801220374124454397345547582963428988151063776091984676
80 64043684886082570588610975573534347358353894927725086163201744473705556469383903975142698360291376374887162564982417685122633698518393962992676472630763069326874659874388955452295881301360640
81 16302805220960480598107410186659575077807637870275444752148974425242366738391730111599377676027102953926004375290965566596675925809777093668743049139623512658252537376861528534892204216389607140
82 4150002588785044639186408091863940094321050179350328281440624729823146817750280458423036035365539553692856058039237046335118762398088179865858359191481246330119571069835954986508507455559947391328
83 1056414601873523861226482277058026909155372939423405454799512364699949637621252713459268187474742478905538212350862092450017330455797396011146227093134775102746288623394351691850670337495649381947492
84 268918340934895586256995520702304145478610559330670617261146157540754674798086322238440073340483051569829133371690020555949257873844183361780367465442630532892686065324317562006987466337558537912986880
85 68455201170945844855154202450073361180857143626566635464135752176813664123051024464975821417714397926517510919968544682823966056504864501932462877588314725370694812402195014753816567296515412917332004660
86 17425790115554673967191790878519579762444596222612759991399409560711141678832405502492122297962284806882540457257677250622948131852579063204304023631461156772800341601792559688077786671491677672410638228064
87 4435866902108284836508892833336139578118429866231412284924645949562208443646718607906903495978424778497813214268097723029947235979547323887779562507286927651944692190442452643816855921429811269869169308297780
88 1129183528708730986627735255324450391053201295287361806077008001609271687071219048430951716655883677614273332158946533135891185173368755663591241619217044368860793301991768490967023777407057010454905230715531264
89 287442222601650066864107409600733430253444448431995433415259381983319303598716001076912838899707440735703555618863920389555229593736240808609986409931845638382123237286744014136902315938917434873420886853127326292
90 73170595597209491107603821414826840116840672704012884623223328480427160280685294118095785196131735794703588556792830299275999237498459982697861318208889857356694284115513741178745330299152489326286353646580158012000
91 18626129493404629016240764460956278828276730285807837449783001628227526984026397452793799744383202366430978043594429224971505807828228032980236490302689101437138217601608440530939212881725756078191022088361457346857300
92 4741422385228045940410525292044226878081645939389479598197484115740013356438628955518708420457711555591699987602084260715781811338788785599679468992726151703551687555641998487956709097371610591114859404878109066998086912
93 1206964992007705861010711175071288268633103462420145491369765720261302042919997743324036126122519576667695940347565939529866023030633435972593827097458412366635027245161354088683489793051899072546718936779500737320272636740
94 307242083403226722460199830517405114653356846216978351065408558556317636373401241454901593129553625365220552163090495407661012066423519448878836633835963334418638951273774970889955057207050483370908976355054336207499363763552
95 78210800179822153339422570976506133480242468434970330002119595300267133137060889866256697204463220784997273902727421923869438553237087954582303501678604209852543333144561715913108491789404923407708944317488967094840764446599620
96 19909151757508970419884697785132055751853603178342600607169490399671451799064282327725311765916387380918629122153884555166339868429644168871339430468577863312524314003595118501747533120385649140254958168319116302615558488016814080
97 5068025423498791482447235827927723473499929942139042420076267508724241368857453907482888592588336563806526275055523960674006169151434556617205142727053278467387574366598889290212995832659243081421062247197561618122778256823049936452
98 1290104269939212752012159429835010721882005638230010262342999203503891537371263217340151215902478638725467293336375714051318561389421283424715034965506816139271707171423687630476952922475483150951198777012769759381175805581372277089632
99 328405816513518128726896563264043802171842022045035922673260164257903894575224264986243995477578096736130975171397486739706571952380131587130618061494071973409032967123427088739454899783497139920454470901863090703773471679155670627645380
100 83598188792129368184977300001350289471772894724515850880696336152857004661425417557297622308211853556771435217731058165815008289260941262013465317610009282278677002877609839317525767932642601105200096196298443620201106079554231332671110400
101 21280552346845632270227217869843535387758489817477328656328348815643518159835127738509178355901021128106934183656342304219581919653672200465419461383495101586078918069913496871081040582128777011839167627559876870068082248685040537830674452692
102 5417125834064402005756828194073645490346530337141495478934180689715147518578091277764147784667274794465496759690876504873020926753690651715098351247031926552122200665936920804161259935497722050755234709276105087358978157416092288826986467347040
103 1378970424441907068331722004197080285643846875239726889794894168187045679379971781938871372062838992926099576434448035735854823033159006092275745355631124494964343462086801189164787163204838964246200152686632450461517159987135714465821382247195092
104 351027369445242697365676222371368532726242151967808162271032188060726738264965537272634829911229030987263405829001954198251020737444464527463895359042934609628821560088826463043963483110539570200853952695107018501159524587055908870914632880261836800
105 89356676485296075865823544477528144535606907341819626851250371584035141474802720784107401529005700914244709997259918274992882362431457309376558459174186363446181135830423864079973757655087736744878533762127519333454132125562734599101380553059945720500
106 22746419018883361503821551706922039606268546585124049413873836631887145817640995858392717104631697680248615179068741703645265955357495584663894711605179022182012397445881548457209861991078964280542681175741367812018439924132807719726198093975243453057632
107 5790273301713033670068374123337265457138426746159920012464340552679543847275705891371814126311191594144781897580848135331405894390582628446047673168606738497063133709697796447620619906057777802759871125938567092705276609088075854980648208500073599625646004
108 1473957939519951497998305974995755253341398578611113820170454150422677307926293708766855403200772262782785005777058538312411556252911800706154634441494690460604829518766009642494339972772723784925925322976919807711128400967269725640354517232947065603475303680
109 375207161090506470188658452368300055367169953507750205752192466968047456940897343913273179058028350013890614415655668947077745299526679289160431775460863459742905641662064810245458336025502735830673318390057716025926266907784480767771881524465587643403148301284
110 95511825649141373259093172638046203079908159985277556982556493978981137974693526006377474630855418049253010429675785865698873421224384945890062102781871001287804324849170684680258856007532544905289326676813445510252936849107383707546047780985536448236410347737440
111 24313258873626542186154810039454078798917315284970271103803301425792054780132166933084432873080488569411837606418567968966165893832932012642727210089802834315443936975577503382260642009792614337828702817077831508603674937502159474358601426469982232241760153758548580
112 6189124258052478577597223916654769677860960899788381800628137083005365576135127571124061484692490517141653512450058104690746146388836996285713937281454477441969961119823613772208913864131595965277768716566613460589372562393094503123930581584721183917836608869896486912
113 1575488472389224720591611119531039463783021941149397336240275020259503288230781289789467931168109948714504899165658589466895805651784927357908488607479270200201101813173431347173582977443864082240983174806508540068132170060159352971839409965568582633131549551105648189348
114 401052527488338276401453535413069446491150529661911871800563190885847068814511934707879324803060913904624676231919806597425106218366412930595086371531449206064364420429453238627902344187551319352254872178879618364169825793298550416103269960971991184751680681389995377779040
115 102090959485641989274422689504042646543662699105734278285279050696947962456338357695744093563909371543198628219133952535732182748663974936880098050750901450331736338957132629646139815011663128335002871560537846589359116309004732037167711050958536733979547714929424486009228580
116 25988027239155248205659843189065189001830010280491623709120341170845143393580486477842356734907387672513272325489029233588780153682748545532672382315411923902784715474462864396919352056385126359919370173817664914210134262237169827978725769302767712822949227384162992809902116096
117 6615449234543239290253667348688485134139731939542466451797858491169577645178106973543808585977219438498965836060359001963308228254616473364469500839858762302739020268364622555723537676953240907275999451380719991137486794399444451059810145616614660351063552803907618144256111376500
118 1684012725247601495926950261180911673505568067214841700890683550958705796429421303897512331185930053579804475843105487681988628731517811504092882249888126633134394665768831880134391537157174159943894559194785549960133604483096141248242338257585048753133297690061405484759140907762272
119 428678198297996178774806694668616771884853885704091458498131254401405066026267253340886570852369977832645179159377380536751717785354603338825812369699918342457006005309420744101798729205925558616059464634145698309916125864464934264810711742112337290849171125236260479958477646439693172
120 109123283298822487080489757229497580806372747333251496763997740153010681606883968936115546863929963118425551115852070793911885938188984934166415350303418363675761637259840938463783041858101826112784184671573581679141406809916112487983236050419125631400819822046796711376830430231092736000
121 27778158546885758901642207461805163918269639271813038033206948969459341435155338854605846735980652221272837155586228137559238517255379328658461555191203926406526863828002323339888485805223225432696541352281609823206892073773916315865260048287845253491054002950912230072566950017560452410644
122 7071140722030022497310122852029315388538363349185892017765122931782979634738491738915439635978516044218721133260122957868409421090844264863635303572853232839795999081206799307826522419241422253744932427423770855824085207649445799987391177285775680262052672120793814546979950299808400454779488
123 1800012445978242882029823085333040285236285726044173158729135468741687159167713332597087868177145624255116956468419170798388729562297320345701850649919123003435611497707178878705884881284263209918930564103962955563298805930511898460225057376698669790724810160734493401594016692349562831354649620
124 458206806093148521719696081449136604228905396930894006152174049758127613497367950670733875825249952611080021628219188465215774329718471897820081826361578108831342662670429301781087064769824695371507610005279303250674128436776629847398529143394077053794705692315942962866222445383216639082657389824
125 116640014139447766795029623402771920357304341562322564839416535300597177852795574705396662624606556243288038817010778676512301583315053849128335577675246619627384635783870399267866253559281389306986504155957817158794189290080424455253197250436308702310084265304446433410335395901448689224304978170500
126 29691599333609301247499236789914981354310267363572191679395355634212167824683402646799524490068980495100197483603630770144676235317156633472827456787524745682869951877733174307204235892744844572240020280201559867298404124418693894813564448686588426963471525894802585115921459439790188726873612704826720
127 7558221571660743994826255356078030843331174766990445411211514566161307643304319817073357385023991983857977538063937572987514497775382471105880646353773975686666205247124364081278567330014912615671980188880987258890489050568431674552649358759350351985632424885149377906375436255186431168546243752878447876
128 1924002566667179332659478872912363373356085792895500483992247922193471812699152678931533064659263947892952512778164795964592780275358508673450662514395923092926178719409495706970312541980923569691140177985613776378503919117232099046627948085261656190679485488836556972274839958611836102407769486728913485824
129 489769430737727395247025524429578269135516905937780445023663666909046143050946419554259591948008567562390900658442969216877567376245162039454745552563413053776071977888513911061075297149952885854009632777499629379609308530621799223847044914087185764275468094477084336263311875449921697337589376587489007362820
130 124674519380021081341779655179243219988721494890918043124759724395755489983995431558124589118885204549163580407287010990221160714702477667269968504579325098376575076109311805266851092059492602303852513630678700642318923454933628470824055999279781405068911048261953257950698425405931032421258430127514530531100000
131 31736843516807721738965044844144483526772971794629437767345963172833902816475015884995460849047230618254355517752973856302409518235520717121347429080943308816919284076836427595873556690810624104627970861501773733962668316377690048641065791932079762252917357443656564019233289531917106205751009875652886100417869956
132 8078853974485399825271324964748974044810150092000762696822580180117823948892528312961582546308568031619548030151678673432431335960430112984929519233315720379327449182473574269256529520409105929547809802272215369073250752211302043408139744986285504523930463333368195464628667748435589021524481463000714838738416016640
133 2056533489428238150205683594234965058521035645205732279823757414063075728139461698758830914283052957178106162510620587608620024067614383198724904841919207401819936021490379611558302886433955570241795556706912978554407825994396457367646412232213633693698851211321010964857400188854913623442968570048808546571464779687444
134 523506181259982693010875658363401060087104972234925179830952996002600102864481681093104278599631766940777546830813489565539813201696329164039874954953486446976635712388011843266072422221772924414099207302139994799320471826506438976037878283086913824800654972753251921127631904110172119304518905247819719525369597271556704
135 133262464835233122295699520972887647484619844788806103066012146571541870270121720804132059335955999008251608127041716386976649665975450650015270342160263281851286898162592330861229521804819140404271678409246356529261413302934275038272328056430497845271192911612348307830160062304033601177771362913266615836118531840147060500
136 33922970099836050186402838856518628908605480561361292867776611799208021812195639928035016116148324560027219027310548438997154373139393641796991809774308605463642642594969674027911312601511590103319581226790569882395257970443580846205076113793590775135324837372548901402407633961666603398130371453008532875201623484312221331456
137 8635349059595964874184994484920412643571865687527995322351895096095113317320713961750253212267252730049078922252426777583711428632033886363460666768196133401525428025419992961575065642084510204376265951571088021274236154413173107511725781811167851180914886441838842093143159707003471686861384867153185322150725697108833425494388
138 2198193529682275914035544900978957532995077963020573601735185918117801345028657157046358774224292647994453676336420626147045493906972183832172328030550340355145697076818342100404609939589510760203345210477344624479306276445776937346882354485541712544853709785526748102648597659266004073232207063846249171781245538409749151069274720
139 559566817807722469710024205332846787519593372939393116254013311705032609407654998806373990873270293673824668368613592435875770115064388801439425409805558164882172918278032096600007500243390048081568330634553619941713498791903306717082211952522149125000805666354505987237977554167175019226390255960600649778461520966645450735962345076
140 142441973085380757236591456277732146680151290791068529287159501503436704057077182940354831554997069402531833413579138016008564213151225821675619145947702907131094396545776952274866275463536085172980432858114744664092386184380223455439559704510208459573063410826756899714657023984269185137315210285543733442714358773184777639909154458880
141 36259683474348292090582901313726532791835642938064526889062257769205143982861130726069165876743148864636378375518141954728232745550485983618065914603567633711848470879138655600384039609458672821872931279554784764173649332920176816755173382274724644495882688799888108043854438979308839872191152802834883720482819512536509496132896777389860
142 9230177153414233568723422076334376539959554033294649291023617146745603544167794291728463445093447134568545029074847397345332042877845093418874400937518327242936109708679591674880822611432145888514626122144282459163054975730100314609752493833081162931367019222318428622306606641916084835853252980018281087055507859717758382787219755552629088
143 2349611527736628822569398197249704131421221989262664566309842946317644910921104403962762345117164424906347601997443948131060959656930822517007259237931383135697635160027203884224759975690248846301549842201159280653180602713259544923153057132069315310843410489409675444882611650774813956998964731246982136980785820154949592781729510364250388900
144 598111416445648911401030345560525342870819117821451312722133989961905391351534200381776945875212306080307532667834213040016129931398936233896050921573230552108072814935036042147310014635722551614014719690550004349508189119057047635165906076843753728170547506593135331041307765120634550556037803675575209361225726943526508337301414716758490808320
145 152253792705565802674083661302619932816717146435516082070486999213274590744365477863064743194735990396976273055226564493190496211607154321923070991506481103162033681321236354839830023714409934842854016367067546814648377023163638794232573748195107521012834397759028684135341888220389173830533265416392132096982549967764235208559251731498627911690340
146 38757356498872157776411729799228256686360246235708120683953139313357366542423089497935961905356288871863045639836687510243488485158401054093849723465964827262293181236449867908245376705726158177986654691387708990478134863045264339278510470491645470208977015349124795439214574802721202294304102924555243686418131623366121412013539066247390527518822752
147 9865978745669406190401233175809247752716710467780370648206502239468820201373337915943540971784742682944385239353410515223026987348686643222853975421834478897660518069039697832668646895728343383589617146098959491311598812233842935933257107453788681632947182118348148237226223516135950177090798241004849461598278268655311038179890112509260559040760273380
148 2511459640257792085048644354819991780069853426380918982994513005508517931440704628493892011570293184446222229653778302018612223069928363424086427610685120461301423332830404322168879814822539833460252506940477885246555694533843660726215245178646791290607280597392580265710152909016205615945469226721213145231708859574599744072530150806689182521819261955328
149 639311079745878738958777734230497471192865542152906990284952174102969441436371865509064914656732925567106992257699881423085899395311364560039747700439940355620774460460645526567907278490024442470775562683811955151268245806644626422444528714340812548144864154021424705305218366580284577444886978226989535590723459626322316024908309259553935141450963142850996
150 162741479151895850946527030568062841880097765667647583077645792813810430753710203442885711878739045393831035024015220558805867855262649673108841754657533409849040949003815023440306637001362565537883891777359837430859437118920519012205704240206275361640780810427616861390203502186335650924912829045012054336384296310960292981215443211265986417715552077706300000
151 41427076544761984775676379246326307055054230520203969213479247332041597955717651486826718860742619076533315406905294016962708724987255765777174877291887071112005065280064129580214220508791514238649776607254466719695351397011485121236392058497321781646335457445662616873023037572474316327943886099462099961559357644400582786413712385449114357506784452711936726196
152 10545576210744276908892678033990449945355641318474551711252430929655740628542090078945699583627027182756485740304421064074040176682167225926753050523605020443613206056360639223525689815839132792796557076242485689632981851580727198190307851366781310639505970872490037706458286756730724902938420751058713226453097780992530281533406570501725151026306567559312507809792
153 2684456324028900005085950844759514951433766615232457570291058382580387753625952897292356983629134383185152537968055192759584685398308719392652642470925680784878538687159591114193631423321394154533649293125973340576277466538039766800228840876277945583972610363942611622012942167912978560754170280813618002640382982796469950416006241098359958412157804406540460665903060
154 683348696326016492126483067002221375622404274505780459069041531650590307727880696419142538315666875745892511055856090713280129168669484557428575935838504337374403634119518543157175278757119991044846473539884916885890461430805385690246630545621019835857745965398131576292830871541459368132787811368666986539684544779119808421051313806714755335047208382724659304788101728
155 173951588107655538769540145957958530529962760515517790724745661065436266244230365772722029157679193483962465311286644584402484592482841061637263013669843122759947647500611593081230279991601594056387634586298560874116234188967217512174724889928681465892519954426884194829604058253167622663366647285597342591207788729871604104533358079332254903319585098221307639355267450580
156 44280694713931540309757467496047524271862809219459933726664809252603513757884370002394221019321422245551885464176302448136809193314744014304201094603379173433269420738359557098913333746238952578064248814920302785820329971083348978129534303922485276830430082918391886202983365715397907684075835674405523978313505827644644622995340460035216351981853747305604516365035784224000
157 11271986336422021594065055465631604653708772927905411878638827021506786633160374201148939932535709844383682692268497707466695521739336760532875320475190479919641749108464050602387456769117008576539574292991286955415871912260181471726532864499840566642273988384579833794043379726859995211817996384306651572248715234281933661363385646882628807679349806151086748840532508916208068
158 2869369525237146086945732637507554584646133888348533389424468262163941100490291506557551634685991490407732901086881048775429891451623879684357145664481630303805484178244697669388401381280614076893287074846057882544367600336603299228469396361900815651079145344405090160567805404729628435887920949106853727365406956549658821451691365353781591780642124314852743592017463703530038624
159 730419752706431263934477293452768599976834157015534422534995200861625069123832359277549719579903053570406618497384966710496946198489457066547384165993611184094704578632512495720918903278198934899678764303644276372089482707988310816438837924174799859008152032529361132023126199231503796076559179059423535170258041863536467523104266541566218034703741680519335034604527588980829673540
160 185933882147727455610032467976609252381817168838213070709478108552254417361790290115488172825786698866021595495282115313535942486674263577880257240133247764377745398452973183055630539585708673636384382284325391227465617603808160434359796882945157822684269156298392511427750508245186119640888129283099440248937071111326889839605368491681794999054429030552985416980599084198899760496640
161 47330878446848176603799405495342726756796326214277162626247269651110746138707284593901652238166182482791369519904959973639952461016188247374982902774162897666449028172556955507608489739022714220980406048853843831803268063164638883944149035807169936065602361414584761076157574873705802464652598285027778966762144960631351317604965102104850260498924764615652971469754334142125314005561284
162 12048433715649699636174978460937875804503821292486693778219133332681616009845097595463269994821843502706197099744436047284405522613506932464360512699438780060430033774232359634940284919382074064818321476457547338217999116228357554300678637875497333394365776728175296078223671412487967567081899472016544299513975823642177192307437723855070057035807305830153878464979714110760209381901780320
163 3067020088448646422683064704211754961302086826937939751522274178019211073544684321118257492980761836738334363245028245934520349029398125133649937732689330908000051120903598711292152242807837910949966146075321707842898822557185515266041270389451898178419286220847002157076419991261783940371589751248994286086040816635547931880167401090580126264948975174967096208311630517328127439428056305988
164 780733201090636605544836773289089367216572205603399375401819928764789335728466641954358072667540306691681610313101992759100474708736416507615283266942683844397593152505508419457148609705243154470072482948093760211086437383112950965178227020725603049595008894478557847429074646217465049756888477469867305468015115852414537955778517351124637058781518216560431990539580575877841571796517011553536
165 198741551638662670923020357136464100554805220952816466646343426105415913487181457789835017388329823439434343476015914411044859326604121797175608032947030788584140367132534914162182917535952487804215162388173428434752658123910843932922753804494756791757410673413640014310934481926651482471856050856365499622093625468961071961988737496886945527770890254821060607242234665223457931996603459870364500
166 50591167754319454466464304955045625564607426516545903536636297878954195251026370969992745890996370924522799403153665971838640307091069362205119880178226687268054530665808764254276069350278155012075565914212752817774013005442195090063428342926845216329089126322567328688590595611782910955938135176444437286135134106975831369013069896647002937065962943064730845628824781963542377512274510121578977888
167 12878365060765584579196369864506120458195812588788759816496597727805614041872044229845488340400387454356907214600358765815576133157004928540601225206269142671706902663993387710273472315288964425971590380534788048269196468913343010616552295171930284798543383803858176567142848155033971755844809074226391188639809087025747780287657902431917751397435645158460844471644497557284489401384376622944386634836
168 3278285400403459840593684218050556819546238172751572852825578247133654378507623615737281443824951588005314320223800232433367056304927903448197545025606137195623483474426246136390312416792610778483573636972711493825992213687432862614489688797484656265279099640504895531075406333620932529028681645921389841377493609334877472079336815003404435024806727883175621094752077246113363651274317793450819372462080
169 834512386920920472446754305699424320230256577892631561129074445383274815003345729081614192101673647858943218133818387860929663173272063790666324916656031212014059525284771921340015762193106031294451952365435312163284549553790824326335023400949656274940053898316647660889527993382750157899052942731352582977655885331957880673487601219356514330749925505603585683517823752530237631153598222076370389353627700
170 212431450854994052410638177019247014254366424872348851248360927130246041519450964846315848237182081426238856639941968796593833714802999348207068781089609973477142646150329572548700195291683604511602752362334492175881569231884363748743119770018568315530662294422934390035264741114423396496946909572920969591699130520206708931167436809178490335561260007532084914897865440667004979977420663391129278219198913120
171 54076035322689656667998003630468958518351979898876429137587299981946094977284969620575522067018070718070604392647649915793447857453818728478535529354183475433008519315826211659927696935158295125865833886435637882402503630529149576308516279155902789008679599648486072444938402951690657710251136405286269995143332964454043115409665582730033221824339675082158873406586158889835493840674389390739208585109719934260
172 13765464503732329469111106774364388141359762535438859004920284187324949938302399107835679431703623783708424116468228671592830773112822819369664331917690740612479372985284260453101102899600337653012694029480874866756811393507567533043323073730552591415967403444805894567857232890413433393421039916459409825604200493727574671604244258043138907192779860928342316550810119377256761915447942741078778725121244548377856
173 3504103284805863849474681822499258414980933904473281546948544778785414359824668921847409065252787724556530310721950216249864208742816730359334976398867626338793576082357106040917941464342214039550366706915416310008933230965305932586936119595398901091526083666613596470525658483430212246275489285333813541242590877142804907853179656289614444305055969400169061503496128656661653540903567354194273682999165541436707428
174 891996040326719223445733465332597417845728558068891937083590391367280489639508899780532939398480584648158233981344923263547482761974104572809307572670955412088484552799082697677601053588848327243750866970644723231935108616324668770821769214373157361890339811539168149983395342325483204811057781282400901836214039994383147667133348357803851030889627554554374031776844674534153225888070776572082894327818244634696880480
175 227064350359931672510073727117300762933376009535840171254318487633414512309078709606823828861674487518305940372516307595926515113408747505494077165387529184386827666857460872445931567444923647553399487450055909696371085522893837441515413893595846273271495967655559485236209087242669655889927259901958435788903800147693847748844099707696309921726019741378661494001916966128125985425519589273137027798349675866386412419300
176 57800950759257990549920466760569090182507953551005285864896996726655019440248145354454323503913337666131800500095997676920964161664885749292334521402313106429069971831564858891855593281088492682712930228890598325463962686363563025431087024857560282458148594915146879320546599743829248392824715768535441698664021741519333972659020880666207222678087655177609636792111355783627850366570158734982127864051777282694108693069824
177 14713669950294931988463529327510110999839630688023835113906068906385671915151111382749881441935448332871828478096968972189215095814035498626803935225112317657906673894232587432179954468486835287374035367118228494197703181114165224572402907554890684935664465267440904677199205177527183860709207596054262414672952444388248080033195268695999566480154553139471093248685285185429831654003428835862733724891798179539731523683350820
178 3745476165399173532241046146899672604001696734158910107619730278511204406549605587046789780696321254621633628019699353752661883741089272751373212694779840105311006114493839545081867377668244393271115442473776482925127429810894806928494868079514882955942426582020979652552506185761558630060862615697428283521181695976940316538474051031751438957830479859050082198887568924193901532719380822192443206443482917291204540026295214432
179 953439335866854711347400857465646302914337469134438578594965766745829566207034816679761018864655131321218064038232676633571439814964506471430268090402943551856780930895675848882568985684717665020386198837456409103718064514840613916203449775035535427889999221459208153693375537135326788513664185203565325725038195673698016696698821957170320834829488007767146251626340633313254404076063697768757115841967077983893337217794278342308
180 242705206770778499969126788577284708029052080722397334461112680647225947758213217580106331125360792890379149085286152111202027950555657294697191462776512383623155076016222801573569377574035800958351226683398629213647660083127472052654623881633065242303695495827476112064551902354253658695049814297886506542701237236539925877460301446784049965756161675639424697897836297113191756639103165158746437911304522181819611691661285786144000
181 61782449263109056228047773998976947871515590861519400000028362218352172837611296383928256165412572050190274128211104705601653157854469136105806386447740746491025188449733016917850182954282761022689660062171697981473072576592306622743555815907425875690387530839364107733648555370781908618292517795398152452794707689638651705599541424888015786780115598501245754845241344287631383375460966116308460203928471524394851229178705867477619444
182 15727190560660921364194092746728243472144070504824713234687414621583786536468512149777110891535417030889791673876588319459509524679659136506632917466222660870579864416576334462572436923160673684316153986547215093027223076834533110992960832754275069679231807289726087403754367687015559061934235198853731117217292543457128474738714619146377810253874791209699334820156306136191382321947476647304139528692543844538998969203974890904915669600
183 4003475515805327197122142790311244493873141010752268527474568822295576294173117556563256498455829101413940216806836630836547568217180117838709986867474189326786016460156209218249482225153164591614422174021438872255197814055339490643596641001864570108702150286572246767952647806395301632404294898320095064492687006970004271539601109304125267334423958781551914310966136128963077389976162758544766450084156727236218947632887356509377642952180
184 1019115025269915452932657561778199040902628340804751106923289509528129349632143480879595839622953433489381515090266290073429117275243114870424917262967930819945817531274508173448499474751055126691554586647599398814114175568857988658788903833125806772352356042416002007276630580796549327929842111826417624086964140257613483231104403963267116863533097564494799277987961704121159823587760999934032830596596203289445015331713173740681954209640448
185 259423451106576744344630997082324137829638786177330688591266227750747541880674104932842050818597188789390666557060150126260265586143072273549352707648732747920950016269325132862955646886344726218765617792033278262264891715252521035272280108432050263893571594571454201023721232917463893224227359472943448568215009522368888432485838003237288514287969025085058696160477005824024529165763425875598755824327603459355842000326482260333963432535952020
186 66038205026190917575091576110286605052324263727743765722317949065742535795803477816482516031544278566803893343520978261485888772965488727199686203305888994684574483950743422333495059139866732575244038952466885440511375827451070562290079353053756309256745620603805288971876526858449534671126663839695870124787722126129082542803323912738712183199344488640055627739326164183761970206822486719353331240634263015593699851955299498657300499370852954720
187 16810525434300911744095022949547293139470380369431596648983850809932195478408741516100844234451775932537435419159718941284934177245820969972619815894157357024887316393653491162286647003127198341554075688026395499201196882922437026038455537002570840480863153192033478903005233711641049488244994881562459298257966888933682002893055973782311915168430851383645652060711876692251532395710371171272080219748523822703514832256226595304175035621489794992532
188 4279246615882434448529022098621357436169888565221006624271863213717085556229903555104251743518112893814501861837044944082022567316676668426739401092109036652486872651791438932886603547042026875004626065903544408819320792840028651935607245816973399357818256298052528621295688313039118613906140044302468487479834945795932957713694887190558031588271032930207353818757698244979529249778940069002620486826705632191652556398360196864451535503276029685390592
189 1089314648201107496017762964785308802892511807870287312505476917393484115915138959045627380887669537944197998915028147350023317019158928127797281129375147157634709102107983316036816191311138240666324454343752988503571979238745414770521216731853735470600920523014237193419746744219532884317758195909347270575733823356007674624577323337445548080675405195608823988132155778511223226651697758519959371103587425381053900823209917738840708422410876243890104580
190 277293296997983237031253988530686361738912866902472047225889096632484848790931331174985101517510950821120937074591632548204315640209389926542755525180063098166085113973532275158088818789100787792328425056649641842906658044851120765617029982267150902320651366024138174694170902043762407709929118138667962410061198730216373812653477834549820039265515004015925721343223104619558892557223877627631788710806331042165317306893079866415353933662838791884731327840
191 70587109690474062562389667106011750619375238392858397568979113215625758820340579461166254508303450397495724625235899946838207853582759317060569948103640747912234904130136663845645024444147336736351689681138241807727568503690922596228034173092410606159319987849343657297221188999549344701881921751679424204579770380215534922833218159143077652294615791444209088632257625072332814983880767098773361117480376531151991873338277054498391511721612506350758270540676
192 17968483581812853848303406314102835482622056754787616450522419273360269908872722296449511544348871314005015427214252109899271260078861259130507486907883190156959427935848842595058515771152821399949429717343632409733584691478638186057907117294329868260336242140459631471610970039651295815570110917948469690743864915288801717501289492753093847449945552809923414306804372978736374659880045839977900303257169680008881427917957836404109850702971816352341236970946560
193 4574013635714140217137054033613151478206867267002591676880796982504355521222983608598563194286481427659401971504394728624413920251558449853272716643153851449537257929284465245127895416048822394881977811560844630553046888080086195633353267628250137997463499490389875738769242743362972725579688567803103748314624288258780874044220078451351986564518867877741381014357561579654867684736855644042537297259122506531919666181343918473502634566383744413279313485804995716
194 1164349826430266373255520780518998394410373442120571074302903001002633294427898628118570572946985219910230015141607712233512687367592704188910205136225159695140443396931294508143201655535439767823311222756190889743040799092060738702887803245578899357107153532037289434919704042287838513036154082805507358498050940367867683706823425984483221500384177959303372419327703731723880407366879364112487406964263291615087225341144598408432065004174849780516062375804469405024
195 296394070127542263929771658351941425662470697275396559933680138933912229991007167578593743989102445929344711726157646289599946946153403192365153990731679896015811270024707716754057333037825332229625426249514788330853526097025421509818229707075105543141345611676254412260230804989021304346172304315520110872073583182316293986479110497016749478830566992002547268346044853386786809391232181849591443055573966501465163057408126376930924865803223950739129911204169691562500
196 75449356209468889087868833945287441123355306016736519988039906639701004378029002425676807891681292584520696522684956190513769251999928636725656425291823659291206774355800673698009843032356057644021914564814138978930837203076124361233147200939674862496414248924566805724569442185073292004114991237464365910814203959896089396673324207944951516026192597171788580782454614140779729252644645445480542688968505303445796760897047937114649318876559263352748920871109501181385984
197 19206205272506695931372906193383367897081865598199381364564949592183945729007680957715608195299661582512501707103336805454023902837944770935262465283384793212079813300196607282995092503338422251504118205518657361052437381550343938038944510672325526854053878732534088851106660218724636909871253833840811273440472387358352533477190745278829245092725901162476441586377822870188947054397444988533684415180667436826322574431200524494994371675244568887949620687736584707928742036
198 4889085069799042259475829369922047280472460463568261037137505320142550416354495517389109988995361361713753243317594661192009663776015477157533234847145512790150662899914876168599959910639870271004884971361524783974509284813692961014683166342275069597896490578512794615322608432989571483519934537179207213914220129305160170369782263736100664662303046954855699717627272796486308597240725717819853910764151641087667800873074149180519602077692660234637882112186613623143565464160
199 1244553647145945991369122572511901207809784206932936000299216378849794142720480716914030361139254317894378290302051267253643835165938892681172145850030324287471843360301856582998542476798374054873255445574654687564283177088364924607072873215597566113799340774339843009235345246851143956872234360858273254664768812267093215554787127224850638670604794145827223516919502109475484485590285439899589251195984665935336644631407245375614817763943246862644168868176393801730038584850836
200 316810560362767705952995913689457038915270726051160232359781616083087924235698218726697663417389699303878137962508213554418599811132656992620354157884027890358614530559655086880629525419315637173898733381698167842040763034875302356682114669355990948452170934223181044749144212173192769710208116937045422974239275194462205261335489499755273710528143710459406353677952047339476331693771445228655989854261406463817379782504833429638953838045155819106812389938074846540771249351372800

index_8.gif

a ( n ) "\\!\\(\\*\nStyleBox[\\\"a\\\",\nFontSlant->\\\"Italic\\\"]\\)\\!\\(\\*\nStyleBox[\\\"(\\\",\nFontSlant->\\\"Italic\\\"]\\)\\!\\(\\*\nStyleBox[\\\"n\\\",\nFontSlant->\\\"Italic\\\"]\\)\\!\\(\\*\nStyleBox[\\\")\\\",\nFontSlant->\\\"Italic\\\"]\\)" = 344 a (n-1)
- 25540 a (n-2)
+ 745448 a (n-3)
- 10445708 a (n-4)
+ 76194968 a (n-5)
- 303860988 a (n-6)
+ 687124520 a (n-7)
- 899525622 a (n-8)
+ 687124520 a (n-9)
- 303860988 a (n-10)
+ 76194968 a (n-11)
- 10445708 a (n-12)
+ 745448 a (n-13)
- 25540 a (n-14)
+ 344 a (n-15)
- a (n-16)

GeneratingFunctionFromPolynomialAndSequence [ rec , seq ] // TraditionalForm

- ( 4 ⁢ x ⁢ ( x 14 - 2331 ⁢ x 12 + 56416 ⁢ x 11 - 467115 ⁢ x 10 + 1546624 ⁢ x 9 - 1949983 ⁢ x 8 + 1949983 ⁢ x 6 - 1546624 ⁢ x 5 + 467115 ⁢ x 4 - 56416 ⁢ x 3 + 2331 ⁢ x 2 - 1 ) ) / ( x 16 - 344 ⁢ x 15 + 25540 ⁢ x 14 - 745448 ⁢ x 13 + 10445708 ⁢ x 12 - 76194968 ⁢ x 11 + 303860988 ⁢ x 10 - 687124520 ⁢ x 9 + 899525622 ⁢ x 8 - 687124520 ⁢ x 7 + 303860988 ⁢ x 6 - 76194968 ⁢ x 5 + 10445708 ⁢ x 4 - 745448 ⁢ x 3 + 25540 ⁢ x 2 - 344 ⁢ x + 1 )

Spikey Created with Wolfram Mathematica 7.0