Theorem : Let a(n) be the number of ways of walking n steps, in the, 2, -dimensional Manhattan lattice with unit positive steps Always staying in the region 0 <= x[1] - x[2] The first, 200, terms of this sequence, starting at n=1 are [1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 126, 252, 462, 924, 1716, 3432, 6435, 12870, 24310, 48620, 92378, 184756, 352716, 705432, 1352078, 2704156, 5200300, 10400600, 20058300, 40116600, 77558760, 155117520, 300540195, 601080390, 1166803110, 2333606220, 4537567650, 9075135300, 17672631900, 35345263800, 68923264410, 137846528820, 269128937220, 538257874440, 1052049481860, 2104098963720, 4116715363800, 8233430727600, 16123801841550, 32247603683100, 63205303218876, 126410606437752, 247959266474052, 495918532948104, 973469712824056, 1946939425648112, 3824345300380220, 7648690600760440, 15033633249770520, 30067266499541040, 59132290782430712, 118264581564861424, 232714176627630544, 465428353255261088, 916312070471295267, 1832624140942590534, 3609714217008132870, 7219428434016265740, 14226520737620288370, 28453041475240576740, 56093138908331422716, 112186277816662845432, 221256270138418389602, 442512540276836779204, 873065282167813104916, 1746130564335626209832, 3446310324346630677300, 6892620648693261354600, 13608507434599516007800, 27217014869199032015600, 53753604366668088230810, 107507208733336176461620, 212392290424395860814420, 424784580848791721628840, 839455243105945545123660, 1678910486211891090247320, 3318776542511877736535400, 6637553085023755473070800, 13124252690842425594480900, 26248505381684851188961800, 51913710643776705684835560, 103827421287553411369671120, 205397724721029574666088520, 410795449442059149332177040, 812850570172585125274307760, 1625701140345170250548615520, 3217533506933149454210801550, 6435067013866298908421603100, 12738806129490428451365214300, 25477612258980856902730428600, 50445672272782096667406248628, 100891344545564193334812497256, 199804427433372226016001220056, 399608854866744452032002440112, 791532924062974587678774064068, 1583065848125949175357548128136, 3136262529306125724764953838760, 6272525058612251449529907677520, 12428892245768720464809261509160, 24857784491537440929618523018320, 49263609265046928387789436527216, 98527218530093856775578873054432, 195295022443578894680165266232892, 390590044887157789360330532465784, 774327632846470705223111406467256, 1548655265692941410446222812934512, 3070609578529107968988200404956360, 6141219157058215937976400809912720, 12178349853827309571919303301013360, 24356699707654619143838606602026720, 48307454420181661301946569760686328, 96614908840363322603893139521372656, 191645966716130525165099506263706416, 383291933432261050330199012527412832, 760401738905937245009910944207609328, 1520803477811874490019821888415218656, 3017467217880703353213932318284164000, 6034934435761406706427864636568328000, 11975573020964041433067793888190275875, 23951146041928082866135587776380551750, 47533812913980349072792166510047556550, 95067625827960698145584333020095113100, 188694833082770476622296176145946360850, 377389666165540953244592352291892721700, 749146650746521593754190788877936298300, 1498293301493043187508381577755872596600, 2974552877964129857553404602897688243250, 5949105755928259715106809205795376486500, 11811992587857559144487432770927051864500, 23623985175715118288974865541854103729000, 46910484848920020602392947290253148833300, 93820969697840041204785894580506297666600, 186320517287259800139081846983822365788600, 372641034574519600278163693967644731577200, 740106499224393094996908447741294397438050, 1480212998448786189993816895482588794876100, 2940149106507862980124704792396922948726500, 5880298213015725960249409584793845897453000, 11681132936666374542657610931955342526021500, 23362265873332749085315221863910685052043000, 46413034868354394849492907436302560970058760, 92826069736708789698985814872605121940117520, 184430743818987200586142869023202281749444020, 368861487637974401172285738046404563498888040, 732932566345585498433243089884414262536751560, 1465865132691170996866486179768828525073503120, 2912937122655532109157760998258569504953756200, 5825874245311064218315521996517139009907512400, 11578003247010595978171353841179630690575689200, 23156006494021191956342707682359261381151378400, 46022562906867119013231131518689031995038364570, 92045125813734238026462263037378063990076729140, 182953892049521139780992893197751460523485844340, 365907784099042279561985786395502921046971688680, 727353278148096238641508331493499708910443722620, 1454706556296192477283016662986999417820887445240, 2891886527576768177731298185456083180005378656200, 5783773055153536355462596370912166360010757312400, 11498691669174292516217304689789664072878529418700, 22997383338348585032434609379579328145757058837400, 45724209225657774946840576295869487725093446394360, 91448418451315549893681152591738975450186892788720, 181833483199708825951389268525434474441650682172920, 363666966399417651902778537050868948883301364345840, 723153852725278779071042378273566990308173977377360, 1446307705450557558142084756547133980616347954754720, 2876180096066449689487100368133505075089328319114500, 5752360192132899378974200736267010150178656638229000, 11440087123680035843577904835047874118894631741197000, 22880174247360071687155809670095748237789263482394000, 45506124336416142577787665899412654828491979592761400, 91012248672832285155575331798825309656983959185522800, 181024362744864215529221264347114077449605457281094800, 362048725489728431058442528694228154899210914562189600, 720162138745872857431467203815692960288647797444355400, 1440324277491745714862934407631385920577295594888710800, 2865161197160999540318740488298993497922577258649586000, 5730322394321999080637480976597986995845154517299172000, 11399683912108657745523499389615144342798339305690906000, 22799367824217315491046998779230288685596678611381812000, 45358742302916553976925081781837100648187076395275394400, 90717484605833107953850163563674201296374152790550788800, 180489995413688787699847721256893462995911074822866673550, 360979990827377575399695442513786925991822149645733347100, 718238538450349196413827014486194605323934792594087999900, 1436477076900698392827654028972389210647869585188175999800, 2858296224445267210218291180098121388534026215425452244500, 5716592448890534420436582360196242777068052430850904489000, 11375441539711467483090977019784442697802084130077052367000, 22750883079422934966181954039568885395604168260154104734000, 45274257328051640582702088538742081937252294837706668420660, 90548514656103281165404177077484163874504589675413336841320] Assuming that The connective constants for the number of steps with i mod, 2, for i from 1 to M are is, 4, as it should The estimated critical expoents for each of these moduli are, [-0.5000000000, -0.5000000000] The estimated asymptotics are [.2820947918*4^n/n^.5000000000*(1.-.1250000000/n+.7812499959e-2/n^2+.4882815787\ e-2/n^3-.6410286864e-3/n^4-.1518340007e-2/n^5), .5641895835*4^n/n^.5000000000*( 1.-.1250000000/n+.7812499959e-2/n^2+.4882815787e-2/n^3-.6410286864e-3/n^4-.\ 1518340007e-2/n^5)] Theorem : Let a(n) be the number of ways of walking n steps, in the, 2, -dimensional Manhattan lattice with unit positive steps Always staying in the region 0 <= 2 x[1] - x[2] The first, 200, terms of this sequence, starting at n=1 are [1, 2, 4, 7, 14, 28, 53, 106, 212, 412, 824, 1648, 3241, 6482, 12964, 25655, 51310, 102620, 203812, 407624, 815248, 1622744, 3245488, 6490976, 12938689, 25877378, 51754756, 103262837, 206525674, 413051348, 824671981, 1649343962, 3298687924, 6588961208, 13177922416, 26355844832, 52661622556, 105323245112, 210646490224, 420992149876, 841984299752, 1683968599504, 3366114432488, 6732228864976, 13464457729952, 26917790704240, 53835581408480, 107671162816960, 215273996878961, 430547993757922, 861095987515844, 1721769944486353, 3443539888972706, 6887079777945412, 13771539924848159, 27543079849696318, 55086159699392636, 110155986476494972, 220311972952989944, 440623945905979888, 881145651702062081, 1762291303404124162, 3524582606808248324, 7048522901165278903, 14097045802330557806, 28194091604661115612, 56384134694478192104, 112768269388956384208, 225536538777912768416, 451047483152084405152, 902094966304168810304, 1804189932608337620608, 3608217614978673424316, 7216435229957346848632, 14432870459914693697264, 28864709771846227612300, 57729419543692455224600, 115458839087384910449200, 230911109657356049803772, 461822219314712099607544, 923644438629424199215088, 1847246944905257455684672, 3694493889810514911369344, 7388987779621029822738688, 14777707334055461942163560, 29555414668110923884327120, 59110829336221847768654240, 118219939742478152687024440, 236439879484956305374048880, 472879758969912610748097760, 945748482973030031657322896, 1891496965946060063314645792, 3782993931892120126629291584, 7565916907761191613219380704, 15131833815522383226438761408, 30263667631044766452877522816, 60526878312123794187810277841, 121053756624247588375620555682, 242107513248495176751241111364, 484212079572720128093538557449, 968424159145440256187077114898, 1936848318290880512374154229796, 3873677605932701384959094252867, 7747355211865402769918188505734, 15494710423730805539836377011468, 30989297795361373537566881236756, 61978595590722747075133762473512, 123957191181445494150267524947024, 247913585755059427682632761571643, 495827171510118855365265523143286, 991654343020237710730531046286572, 1983303523160529252915846721229557, 3966607046321058505831693442459114, 7933214092642117011663386884918228, 15866394688321521082909012795951748, 31732789376643042165818025591903496, 63465578753286084331636051183806992, 126930939955704305651990246772861304, 253861879911408611303980493545722608, 507723759822817222607960987091445216, 1015446105363557346880542429617373241, 2030892210727114693761084859234746482, 4061784421454229387522169718469492964, 8123559640308390250671636158856632957, 16247119280616780501343272317713265914, 32494238561233561002686544635426531828, 64988417189567516069332374644686479181, 129976834379135032138664749289372958362, 259953668758270064277329498578745916724, 519906946871305167008436921390465371048, 1039813893742610334016873842780930742096, 2079627787485220668033747685561861484192, 4159253026698600914030150395263485230384, 8318506053397201828060300790526970460768, 16637012106794403656120601581053940921536, 33274007577947510608376894678671560609872, 66548015155895021216753789357343121219744, 133096030311790042433507578714686242439488, 266191951943612118462246645625941370847776, 532383903887224236924493291251882741695552, 1064767807774448473848986582503765483391104, 2129534905052085091179452927708056337763008, 4259069810104170182358905855416112675526016, 8518139620208340364717811710832225351052032, 17036274592430771722198164678557771637392764, 34072549184861543444396329357115543274785528, 68145098369723086888792658714231086549571056, 136290166313391228297307951444674790353335612, 272580332626782456594615902889349580706671224, 545160665253564913189231805778699161413342448, 1090321131213457452794975549772899501744350756, 2180642262426914905589951099545799003488701512, 4361284524853829811179902199091598006977403024, 8722567743543077007143294405585304254536835408, 17445135487086154014286588811170608509073670816, 34890270974172308028573177622341217018147341632, 69780533382919180061207318562453951537034529644, 139561066765838360122414637124907903074069059288, 279122133531676720244829274249815806148138118576, 558244210863227351973894906124558502559903277172, 1116488421726454703947789812249117005119806554344, 2232976843452909407895579624498234010239613108688, 4465953317967172526248327590591298982046767642176, 8931906635934345052496655181182597964093535284352, 17863813271868690104993310362365195928187070568704, 35727624120526595784419304780630397081097364077888, 71455248241053191568838609561260794162194728155776, 142910496482106383137677219122521588324389456311552, 285820977040639117607787165978369649034946071209384, 571641954081278235215574331956739298069892142418768, 1143283908162556470431148663913478596139784284837536, 2286567711637636756372776107638963954671921536765192, 4573135423275273512745552215277927909343843073530384, 9146270846550547025491104430555855818687686147060768, 18292541004533335132841140464136926761545764621427816, 36585082009066670265682280928273853523091529242855632, 73170164018133340531364561856547707046183058485711264, 146340323505312335240464865068994137740944969773238528, 292680647010624670480929730137988275481889939546477056, 585361294021249340961859460275976550963779879092954112, 1170722558214964102049961935238243418640580297022987024, 2341445116429928204099923870476486837281160594045974048, 4682890232859856408199847740952973674562321188091948096, 9365780269282558851945216751357321921927585716921810992, 18731560538565117703890433502714643843855171433843621984, 37463121077130235407780867005429287687710342867687243968, 74926240860056460309104226400302083206042400184158736928, 149852481720112920618208452800604166412084800368317473856, 299704963440225841236416905601208332824169600736634947712, 599409918350448646596377092500368664390997055459295215552, 1198819836700897293192754185000737328781994110918590431104, 2397639673401794586385508370001474657563988221837180862208, 4795279290561981220017271405392244016140159132837308466321, 9590558581123962440034542810784488032280318265674616932642, 19181117162247924880069085621568976064560636531349233865284, 38362233953539017411282199519386802192884892131572052917369, 76724467907078034822564399038773604385769784263144105834738, 153448935814156069645128798077547208771539568526288211669476, 306897869180707011017183983681157404327433350908924145695883, 613795738361414022034367967362314808654866701817848291391766] Assuming that The connective constants for the number of steps with i mod, 3, for i from 1 to M are is, 8, as it should The estimated critical expoents for each of these moduli are, [-0.00002365635363, -0.00002365635363, -0.00003036845601] The estimated asymptotics are [.9550589942e-1*8^n/n^.2365635363e-4*(1.-.6787724501e-2/n+.3381132691/n^2-7.040\ 200605/n^3-140.3052646/n^4+6905.535042/n^5), .1910117988*8^n/n^.2365635363e-4*( 1.-.6787724501e-2/n+.3381132691/n^2-7.040200605/n^3-140.3052646/n^4+6905.535042 /n^5), .3820400968*8^n/n^.3036845601e-4*(1.-.8918552727e-2/n+.4734012357/n^2-12\ .76624203/n^3-3.954936876/n^4+5517.839223/n^5)] Theorem : Let a(n) be the number of ways of walking n steps, in the, 2, -dimensional Manhattan lattice with unit positive steps Always staying in the region 0 <= 3 x[1] - x[2] The first, 200, terms of this sequence, starting at n=1 are [1, 2, 4, 8, 15, 30, 60, 120, 236, 472, 944, 1888, 3754, 7508, 15016, 30032, 59924, 119848, 239696, 479392, 957815, 1915630, 3831260, 7662520, 15317956, 30635912, 61271824, 122543648, 245033476, 490066952, 980133904, 1960267808, 3920114884, 7840229768, 15680459536, 31360919072, 62718475884, 125436951768, 250873903536, 501747807072, 1003468270256, 2006936540512, 4013873081024, 8027746162048, 16055266755298, 32110533510596, 64221067021192, 128442134042384, 256882385151404, 513764770302808, 1027529540605616, 2055059081211232, 4110102287083474, 8220204574166948, 16440409148333896, 32880818296667792, 65761501599568984, 131523003199137968, 263046006398275936, 526092012796551872, 1052182869199860424, 2104365738399720848, 4208731476799441696, 8417462953598883392, 16834915937260275364, 33669831874520550728, 67339663749041101456, 134679327498082202912, 269358568550941686100, 538717137101883372200, 1077434274203766744400, 2154868548407533488800, 4309736343504343966992, 8619472687008687933984, 17238945374017375867968, 34477890748034751735936, 68955774901915164440072, 137911549803830328880144, 275823099607660657760288, 551646199215321315520576, 1103292340474640299694032, 2206584680949280599388064, 4413169361898561198776128, 8826338723797122397552256, 17652676936356202340562967, 35305353872712404681125934, 70610707745424809362251868, 141221415490849618724503736, 282442826457021119509825252, 564885652914042239019650504, 1129771305828084478039301008, 2259542611656168956078602016, 4519085183145694056998888212, 9038170366291388113997776424, 18076340732582776227995552848, 36152681465165552455991105696, 72305362572773319252985601692, 144610725145546638505971203384, 289221450291093277011942406768, 578442900582186554023884813536, 1156885797973330085411754876868, 2313771595946660170823509753736, 4627543191893320341647019507472, 9255086383786640683294039014944, 18510172739027692798386565891984, 37020345478055385596773131783968, 74040690956110771193546263567936, 148081381912221542387092527135872, 296162763568532012192456186309148, 592325527137064024384912372618296, 1184651054274128048769824745236592, 2369302108548256097539649490473184, 4738604214797639478071454945424520, 9477208429595278956142909890849040, 18954416859190557912285819781698080, 37908833718381115824571639563396160, 75817667416072460992555769773780660, 151635334832144921985111539547561320, 303270669664289843970223079095122640, 606541339328579687940446158190245280, 1213082678470625982905096614078731504, 2426165356941251965810193228157463008, 4852330713882503931620386456314926016, 9704661427765007863240772912629852032, 19409322853845526397135114169198690448, 38818645707691052794270228338397380896, 77637291415382105588540456676794761792, 155274582830764211177080913353589523584, 310549165646293299452076459009421575268, 621098331292586598904152918018843150536, 1242196662585173197808305836037686301072, 2484393325170346395616611672075372602144, 4968786650202702337925021811542324436228, 9937573300405404675850043623084648872456, 19875146600810809351700087246169297744912, 39750293201621618703400174492338595489824, 79500586401991709695352355508399110880848, 159001172803983419390704711016798221761696, 318002345607966838781409422033596443523392, 636004691215933677562818844067192887046784, 1272009382420501910986939881485379760732728, 2544018764841003821973879762970759521465456, 5088037529682007643947759525941519042930912, 10176075059364015287895519051883038085861824, 20352150118624693571704242347906695061057008, 40704300237249387143408484695813390122114016, 81408600474498774286816969391626780244228032, 162817200948997548573633938783253560488456064, 325634401897054463815841448631568442427176908, 651268803794108927631682897263136884854353816, 1302537607588217855263365794526273769708707632, 2605075215176435710526731589052547539417415264, 5210150430344299982919863929565298262775822928, 10420300860688599965839727859130596525551645856, 20840601721377199931679455718261193051103291712, 41681203442754399863358911436522386102206583424, 83362406885430613243774127349397688852603952848, 166724813770861226487548254698795377705207905696, 333449627541722452975096509397590755410415811392, 666899255083444905950193018795181510820831622784, 1333798510166175920821264088208751478269735290768, 2667597020332351841642528176417502956539470581536, 5335194040664703683285056352835005913078941163072, 10670388081329407366570112705670011826157882326144, 21340776162652290434770363967842789555204200973488, 42681552325304580869540727935685579110408401946976, 85363104650609161739081455871371158220816803893952, 170726209301218323478162911742742316441633607787904, 341452418602376968438335503626379014284350246656704, 682904837204753936876671007252758028568700493313408, 1365809674409507873753342014505516057137400986626816, 2731619348819015747506684029011032114274801973253632, 5463238697637485150325051154486342224559373526831426, 10926477395274970300650102308972684449118747053662852, 21852954790549940601300204617945368898237494107325704, 43705909581099881202600409235890737796474988214651408, 87411819162194756723288977453046829890004313666759116, 174823638324389513446577954906093659780008627333518232, 349647276648779026893155909812187319560017254667036464, 699294553297558053786311819624374639120034509334072928, 1398589106595070209751984532655263405633259791717263626, 2797178213190140419503969065310526811266519583434527252, 5594356426380280839007938130621053622533039166869054504, 11188712852760561678015876261242107245066078333738109008, 22377425705520702204238181905808639037140304895823625336, 44754851411041404408476363811617278074280609791647250672, 89509702822082808816952727623234556148561219583294501344, 179019405644165617633905455246469112297122439166589002688, 358038811288327368131929615574485914849102993207530805096, 716077622576654736263859231148971829698205986415061610192, 1432155245153309472527718462297943659396411972830123220384, 2864310490306618945055436924595887318792823945660246440768, 5728620980613202357128190270165932815380738568491888168956, 11457241961226404714256380540331865630761477136983776337912, 22914483922452809428512761080663731261522954273967552675824, 45828967844905618857025522161327462523045908547935105351648, 91657935689810911010842306414614206876877263278887611109996, 183315871379621822021684612829228413753754526557775222219992, 366631742759243644043369225658456827507509053115550444439984, 733263485518487288086738451316913655015018106231100888879968] Assuming that The connective constants for the number of steps with i mod, 4, for i from 1 to M are is, 16, as it should The estimated critical expoents for each of these moduli are, [ -7 -7 -7 -7 0.1657667715 10 , 0.1657667715 10 , 0.1657667715 10 , 0.1657667715 10 ] The estimated asymptotics are [.5703886757e-1*16^n*n^.1657667715e-7*(1.+.4102631545e-5/n-.2035115045e-3/n^2+.\ 6746021021e-2/n^3-.1261117077/n^4+1.008772420/n^5), .1140777351*16^n*n^.\ 1657667715e-7*(1.+.4102631545e-5/n-.2035115045e-3/n^2+.6746021021e-2/n^3-.12611\ 17077/n^4+1.008772420/n^5), .2281554703*16^n*n^.1657667715e-7*(1.+.4102631545e-\ 5/n-.2035115045e-3/n^2+.6746021021e-2/n^3-.1261117077/n^4+1.008772420/n^5), .45\ 63109405*16^n*n^.1657667715e-7*(1.+.4102631545e-5/n-.2035115045e-3/n^2+.\ 6746021021e-2/n^3-.1261117077/n^4+1.008772420/n^5)] Theorem : Let a(n) be the number of ways of walking n steps, in the, 2, -dimensional Manhattan lattice with unit positive steps Always staying in the region 0 <= 3 x[1] - 2 x[2] The first, 200, terms of this sequence, starting at n=1 are [1, 2, 3, 6, 12, 22, 44, 81, 162, 324, 625, 1250, 2401, 4802, 9604, 18831, 37662, 73556, 147112, 294224, 581219, 1162438, 2289346, 4578692, 9157384, 18163277, 36326554, 71886173, 143772346, 287544692, 571727786, 1143455572, 2269542464, 4539084928, 9078169856, 18078704619, 36157409238, 71907679356, 143815358712, 287630717424, 573414814267, 1146829628534, 2283864567562, 4567729135124, 9135458270248, 18225986245587, 36451972491174, 72663489817838, 145326979635676, 290653959271352, 580194903164266, 1160389806328532, 2314779868471629, 4629559736943258, 9259119473886516, 18490262177428091, 36980524354856182, 73809337903241504, 147618675806483008, 295237351612966016, 589762931764693910, 1179525863529387820, 2355172633759840331, 4710345267519680662, 9420690535039361324, 18823087417962815690, 37646174835925631380, 75192225882837092608, 150384451765674185216, 300768903531348370432, 601063532480813109249, 1202127064961626218498, 2401648830080367029076, 4803297660160734058152, 9606595320321468116304, 19200802269376453215063, 38401604538752906430126, 76734939577520389890172, 153469879155040779780344, 306939758310081559560688, 613553801790731545624851, 1227107603581463091249702, 2452415233981828605156378, 4904830467963657210312756, 9809660935927314420625512, 19610708785425919492916349, 39221417570851838985832698, 78395119178871752670056790, 156790238357743505340113580, 313580476715487010680227160, 626932027494917633204822239, 1253864054989835266409644478, 2506457069452222720806169222, 5012914138904445441612338444, 10025828277808890883224676888, 20045544200022432863010405621, 40091088400044865726020811242, 80148172510304195740226489844, 160296345020608391480452979688, 320592690041216782960905959376, 641021510477437511749141355022, 1282043020954875023498282710044, 2563172770417249882132923415968, 5126345540834499764265846831936, 10252691081668999528531693663872, 20500972632532707918916377387167, 41001945265065415837832754774334, 81979275646811398822260354419813, 163958551293622797644520708839626, 327917102587245595289041417679252, 655715151620085534773001495580588, 1311430303240171069546002991161176, 2622195043925318521356051699194212, 5244390087850637042712103398388424, 10488780175701274085424206796776848, 20974336167405884132794655211317496, 41948672334811768265589310422634992, 83879295688225352962428598345581144, 167758591376450705924857196691162288, 335517182752901411849714393382324576, 670946804145915592262926307552081182, 1341893608291831184525852615104162364, 2683296440128531505924487695335827703, 5366592880257063011848975390671655406, 10733185760514126023697950781343310812, 21463987435533869904690060793762086913, 42927974871067739809380121587524173826, 85842571808604740772702364285122000517, 171685143617209481545404728570244001034, 343370287234418963090809457140488002068, 686675507473966078329044541017599551220, 1373351014947932156658089082035199102440, 2746336530722805502953722497414335484360, 5492673061445611005907444994828670968720, 10985346122891222011814889989657341937440, 21968912524406599860956515197746819812071, 43937825048813199721913030395493639624142, 87865643125983704929892269545542205402044, 175731286251967409859784539091084410804088, 351462572503934819719569078182168821608176, 702876366697157723307444173322320019789127, 1405752733394315446614888346644640039578254, 2811230947728850198119536304566440509493428, 5622461895457700396239072609132881018986856, 11244923790915400792478145218265762037973712, 22488508141703572485994565757195899535612358, 44977016283407144971989131514391799071224716, 89946487948239847051006047894457337432822632, 179892975896479694102012095788914674865645264, 359785951792959388204024191577829349731290528, 719535057934177417564916011510379101698435137, 1439070115868354835129832023020758203396870274, 2877932528027608393950074089372758986729734948, 5755865056055216787900148178745517973459469896, 11511730112110433575800296357491035946918939792, 23022444991587373287937189650050793728526453177, 46044889983174746575874379300101587457052906354, 92084052722081057156715541825150280484775983908, 184168105444162114313431083650300560969551967816, 368336210888324228626862167300601121939103935632, 736644405138297468637220192490983096898801799347, 1473288810276594937274440384981966193797603598694, 2946419459911926325794444103694942811218924770938, 5892838919823852651588888207389885622437849541876, 11785677839647705303177776414779771244875699083752, 23570581402033660897840344236719612825718207122697, 47141162804067321795680688473439225651436414245394, 94277951766378442087218931885654332958260014458598, 188555903532756884174437863771308665916520028917196, 377111807065513768348875727542617331833040057834392, 754202186726188975635220364041592599846043435835395, 1508404373452377951270440728083185199692086871670790, 3016687630270888927186992363113892488662252523845430, 6033375260541777854373984726227784977324505047690860, 12066750521083555708747969452455569954649010095381720, 24132907295704297120806789443774313032162068858072812, 48265814591408594241613578887548626064324137716145624, 96528271127888684308931236038486605559067112369302848, 193056542255777368617862472076973211118134224738605696, 386113084511554737235724944153946422236268449477211392, 772209696521201741831083254755762242172222493599857093, 1544419393042403483662166509511524484344444987199714186, 3088745571256962301613597105361943010363918191435548472, 6177491142513924603227194210723886020727836382871096944, 12354982285027849206454388421447772041455672765742193888, 24709507043388987565137444699446838303025972997266226994, 49419014086777975130274889398893676606051945994532453988, 98835437767983487129526558322968328268327503632021885706, 197670875535966974259053116645936656536655007264043771412, 395341751071933948518106233291873313073310014528087542824, 790670780445169706036064170300225120938637181661485625583, 1581341560890339412072128340600450241877274363322971251166, 3162611059066132016258139205339846079261379743643656388572, 6325222118132264032516278410679692158522759487287312777144, 12650444236264528065032556821359384317045518974574625554288, 25300534376353650286748275859368737974895716815945111232726, 50601068752707300573496551718737475949791433631890222465452, 101200130770342328556551455039322844854401831127405823361304, 202400261540684657113102910078645689708803662254811646722608, 404800523081369314226205820157291379417607324509623293445216] Assuming that The connective constants for the number of steps with i mod, 5, for i from 1 to M are is, 32, as it should The estimated critical expoents for each of these moduli are, [0.002153668136, 0.002153668136, 0.001963044034, 0.001963044034, 0.001963044034] The estimated asymptotics are [.1553173466e-1*32^n*n^.2153668136e-2*(1.+.5318344284/n-24.62926107/n^2+663.841\ 7228/n^3-7257.691408/n^4+16859.70419/n^5), .3106346932e-1*32^n*n^.2153668136e-2 *(1.+.5318344284/n-24.62926107/n^2+663.8417228/n^3-7257.691408/n^4+16859.70419/ n^5), .6219947391e-1*32^n*n^.1963044034e-2*(1.+.4882131097/n-22.76730298/n^2+ 618.6749624/n^3-6878.079021/n^4+17715.43900/n^5), .1243989478*32^n*n^.\ 1963044034e-2*(1.+.4882131097/n-22.76730298/n^2+618.6749624/n^3-6878.079021/n^4 +17715.43900/n^5), .2487978956*32^n*n^.1963044034e-2*(1.+.4882131097/n-22.76730\ 298/n^2+618.6749624/n^3-6878.079021/n^4+17715.43900/n^5)] Theorem : Let a(n) be the number of ways of walking n steps, in the, 2, -dimensional Manhattan lattice with unit positive steps Always staying in the region 0 <= 4 x[1] - x[2] The first, 200, terms of this sequence, starting at n=1 are [1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496, 987, 1974, 3948, 7896, 15792, 31549, 63098, 126196, 252392, 504784, 1009283, 2018566, 4037132, 8074264, 16148528, 32294526, 64589052, 129178104, 258356208, 516712416, 1033401081, 2066802162, 4133604324, 8267208648, 16534417296, 33068602712, 66137205424, 132274410848, 264548821696, 529097643392, 1058192956339, 2116385912678, 4232771825356, 8465543650712, 16931087301424, 33862150652493, 67724301304986, 135448602609972, 270897205219944, 541794410439888, 1083588570336406, 2167177140672812, 4334354281345624, 8668708562691248, 17337417125382496, 34674831591796862, 69349663183593724, 138699326367187448, 277398652734374896, 554797305468749792, 1109594582379155809, 2219189164758311618, 4438378329516623236, 8876756659033246472, 17753513318066492944, 35507026326301410128, 71014052652602820256, 142028105305205640512, 284056210610411281024, 568112421220822562048, 1136224839051228336216, 2272449678102456672432, 4544899356204913344864, 9089798712409826689728, 18179597424819653379456, 36359194812262049599632, 72718389624524099199264, 145436779249048198398528, 290873558498096396797056, 581747116996192793594112, 1163494233577643723641939, 2326988467155287447283878, 4653976934310574894567756, 9307953868621149789135512, 18615907737242299578271024, 37231815469856236433685623, 74463630939712472867371246, 148927261879424945734742492, 297854523758849891469484984, 595709047517699782938969968, 1191418094983486577621657761, 2382836189966973155243315522, 4765672379933946310486631044, 9531344759867892620973262088, 19062689519735785241946524176, 38125379038886660877196254467, 76250758077773321754392508934, 152501516155546643508785017868, 305003032311093287017570035736, 610006064622186574035140071472, 1220012129237756069423319529574, 2440024258475512138846639059148, 4880048516951024277693278118296, 9760097033902048555386556236592, 19520194067804097110773112473184, 39040388135533059919952143556708, 78080776271066119839904287113416, 156161552542132239679808574226832, 312323105084264479359617148453664, 624646210168528958719234296907328, 1249292420336201948959926886597606, 2498584840672403897919853773195212, 4997169681344807795839707546390424, 9994339362689615591679415092780848, 19988678725379231183358830185561696, 39977357450748681048349353875691992, 79954714901497362096698707751383984, 159909429802994724193397415502767968, 319818859605989448386794831005535936, 639637719211978896773589662011071872, 1279275438423845708986832456386259569, 2558550876847691417973664912772519138, 5117101753695382835947329825545038276, 10234203507390765671894659651090076552, 20468407014781531343789319302180153104, 40936814029561775015880237810375594203, 81873628059123550031760475620751188406, 163747256118247100063520951241502376812, 327494512236494200127041902483004753624, 654989024472988400254083804966009507248, 1309978048945961972286625704061719643216, 2619956097891923944573251408123439286432, 5239912195783847889146502816246878572864, 10479824391567695778293005632493757145728, 20959648783135391556586011264987514291456, 41919297566270611985264444344714330726512, 83838595132541223970528888689428661453024, 167677190265082447941057777378857322906048, 335354380530164895882115554757714645812096, 670708761060329791764231109515429291624192, 1341417522120657604590969932573678277026584, 2682835044241315209181939865147356554053168, 5365670088482630418363879730294713108106336, 10731340176965260836727759460589426216212672, 21462680353930521673455518921178852432425344, 42925360707861020419156432189715483606905888, 85850721415722040838312864379430967213811776, 171701442831444081676625728758861934427623552, 343402885662888163353251457517723868855247104, 686805771325776326706502915035447737710494208, 1373611542651552387307341859041415876526472016, 2747223085303104774614683718082831753052944032, 5494446170606209549229367436165663506105888064, 10988892341212419098458734872331327012211776128, 21977784682424838196917469744662654024423552256, 43955569364849673300263358793671897920604415136, 87911138729699346600526717587343795841208830272, 175822277459398693201053435174687591682417660544, 351644554918797386402106870349375183364835321088, 703289109837594772804213740698750366729670642176, 1406578219675189509589175478438365187942879699347, 2813156439350379019178350956876730375885759398694, 5626312878700758038356701913753460751771518797388, 11252625757401516076713403827506921503543037594776, 22505251514803032153426807655013843007086075189552, 45010503029606063886865677993339613262522726672059, 90021006059212127773731355986679226525045453344118, 180042012118424255547462711973358453050090906688236, 360084024236848511094925423946716906100181813376472, 720168048473697022189850847893433812200363626752944, 1440336096947394039475940366900710443870179207169683, 2880672193894788078951880733801420887740358414339366, 5761344387789576157903761467602841775480716828678732, 11522688775579152315807522935205683550961433657357464, 23045377551158304631615045870411367101922867314714928, 46090755102316609205900585346824413438992065152729261, 92181510204633218411801170693648826877984130305458522, 184363020409266436823602341387297653755968260610917044, 368726040818532873647204682774595307511936521221834088, 737452081637065747294409365549190615023873042443668176, 1474904163274131493917772721516876047818531695308555097, 2949808326548262987835545443033752095637063390617110194, 5899616653096525975671090886067504191274126781234220388, 11799233306193051951342181772135008382548253562468440776, 23598466612386103902684363544270016765096507124936881552, 47196933224772207797505098303827897098422124144094759954, 94393866449544415595010196607655794196844248288189519908, 188787732899088831190020393215311588393688496576379039816, 377575465798177662380040786430623176787376993152758079632, 755150931596355324760081572861246353574753986305516159264, 1510301863192710649427913652896274177263421072289257422983, 3020603726385421298855827305792548354526842144578514845966, 6041207452770842597711654611585096709053684289157029691932, 12082414905541685195423309223170193418107368578314059383864, 24164829811083370390846618446340386836214737156628118767728, 48329659622166740780609931371431919594212611081361035031696, 96659319244333481561219862742863839188425222162722070063392, 193318638488666963122439725485727678376850444325444140126784, 386637276977333926244879450971455356753700888650888280253568, 773274553954667852489758901942910713507401777301776560507136] Assuming that The connective constants for the number of steps with i mod, 5, for i from 1 to M are is, 32, as it should The estimated critical expoents for each of these moduli are, [ -11 -11 -11 0.2715713251 10 , 0.2715713251 10 , 0.2715713251 10 , -11 -11 0.2715713251 10 , 0.2715713251 10 ] The estimated asymptotics are [.3007562102e-1*32^n*n^.2715713251e-11*(1.+.5196388647e-9/n-.1989688851e-7/n^2+ .5082058833e-6/n^3-.7306471349e-5/n^4+.4485249448e-4/n^5), .6015124204e-1*32^n* n^.2715713251e-11*(1.+.5196388647e-9/n-.1989688851e-7/n^2+.5082058833e-6/n^3-.\ 7306471349e-5/n^4+.4485249448e-4/n^5), .1203024841*32^n*n^.2715713251e-11*(1.+.\ 5196388647e-9/n-.1989688851e-7/n^2+.5082058833e-6/n^3-.7306471349e-5/n^4+.\ 4485249448e-4/n^5), .2406049682*32^n*n^.2715713251e-11*(1.+.5196388647e-9/n-.\ 1989688851e-7/n^2+.5082058833e-6/n^3-.7306471349e-5/n^4+.4485249448e-4/n^5), .4\ 812099363*32^n*n^.2715713251e-11*(1.+.5196388647e-9/n-.1989688851e-7/n^2+.\ 5082058833e-6/n^3-.7306471349e-5/n^4+.4485249448e-4/n^5)] Theorem : Let a(n) be the number of ways of walking n steps, in the, 2, -dimensional Manhattan lattice with unit positive steps Always staying in the region 0 <= 4 x[1] - 3 x[2] The first, 200, terms of this sequence, starting at n=1 are [1, 2, 3, 6, 10, 20, 40, 75, 150, 281, 562, 1058, 2116, 4232, 8237, 16474, 31936, 63872, 123766, 247532, 495064, 975038, 1950076, 3828567, 7657134, 15017108, 30034216, 60068432, 118954677, 237909354, 470022251, 940044502, 1855276604, 3710553208, 7421106416, 14740685236, 29481370472, 58454628061, 116909256122, 231600202774, 463200405548, 926400811096, 1843554442374, 3687108884748, 7327288283160, 14654576566320, 29101440799042, 58202881598084, 116405763196168, 231934163727208, 463868327454416, 923238768383468, 1846477536766936, 3672845259030912, 7345690518061824, 14691381036123648, 29296978765292197, 58593957530584394, 116744753163488093, 233489506326976186, 464982265039555130, 929964530079110260, 1859929060158220520, 3711275227204929039, 7422550454409858078, 14800493707921939924, 29600987415843879848, 58999754371117268256, 117999508742234536512, 235999017484469073024, 471123492044362938696, 942246984088725877392, 1879926712250633622148, 3759853424501267244296, 7498898767381037619046, 14997797534762075238092, 29995595069524150476184, 59900752777315833006034, 119801505554631666012068, 239128821764235894336289, 478257643528471788672578, 954346022391058405224436, 1908692044782116810448872, 3817384089564233620897744, 7625300903827705054112934, 15250601807655410108225868, 30451398194177483860225458, 60902796388354967720450916, 121576960387076199477006384, 243153920774152398954012768, 486307841548304797908025536, 971614373998342408601058016, 1943228747996684817202116032, 3881174877475587101247533263, 7762349754951174202495066526, 15500378042098520572491431050, 31000756084197041144982862100, 62001512168394082289965724200, 123896187843132809084175798856, 247792375686265618168351597712, 495019739144172019512658617536, 990039478288344039025317235072, 1977470988602786217952254781544, 3954941977205572435904509563088, 7909883954411144871809019126176, 15808282220006389554180047322256, 31616564440012779108360094644512, 63172257391554441889298831724936, 126344514783108883778597663449872, 252407437453888351199074894430784, 504814874907776702398149788861568, 1009629749815553404796299577723136, 2018016535292762412101641001154117, 4036033070585524824203282002308234, 8065466485804688827080949365990689, 16130932971609377654161898731981378, 32231276335612224535914189734178758, 64462552671224449071828379468357516, 128925105342448898143656758936715032, 257714916521337279893099273823736517, 515429833042674559786198547647473034, 1030140127573869152670123137728313821, 2060280255147738305340246275456627642, 4117219663859831961336066540402972778, 8234439327719663922672133080805945556, 16468878655439327845344266161611891112, 32922954924284982775330428499366866493, 65845909848569965550660856998733732986, 131612980694489006435311206241270460692, 263225961388978012870622412482540921384, 526085305698052842941101024442823541408, 1052170611396105685882202048885647082816, 2104341222792211371764404097771294165632, 4207055487059313603794033267826670112592, 8414110974118627207588066535653340225184, 16819545251715552079842493097514387969704, 33639090503431104159684986195028775939408, 67237776786426442635372544274646046930016, 134475553572852885270745088549292093860032, 268951107145705770541490177098584187720064, 537722654183835348153770324360587747206088, 1075445308367670696307540648721175494412176, 2149931878107704996815741047099523118615736, 4299863756215409993631482094199046237231472, 8595257436346302652053605788756196915556384, 17190514872692605304107211577512393831112768, 34381029745385210608214423155024787662225536, 68742168423114444495657121811413854368254620, 137484336846228888991314243622827708736509240, 274862354243779560334161339898573907702826749, 549724708487559120668322679797147815405653498, 1098953145283921993600754330911102631280193446, 2197906290567843987201508661822205262560386892, 4395812581135687974403017323644410525120773784, 8789414249663482424183269223230567991458777578, 17578828499326964848366538446461135982917555156, 35145827979016452633786321034820250659624280536, 70291655958032905267572642069640501319248561072, 140528040060290053080331461985419285787528079694, 281056080120580106160662923970838571575056159388, 562112160241160212321325847941677143150112318776, 1123977818418950866361148880518658532220331190816, 2247955636837901732722297761037317064440662381632, 4494591243165887406547011605112398129897535512856, 8989182486331774813094023210224796259795071025712, 17972191212894104724000783705871296364801875556224, 35944382425788209448001567411742592729603751112448, 71888764851576418896003134823485185459207502224896, 143749968904186301122056613022481313319131225583782, 287499937808372602244113226044962626638262451167564, 574852165712694430610220057963788772900612976657318, 1149704331425388861220440115927577545801225953314636, 2298717226135687452428759326885639062047180342259772, 4597434452271374904857518653771278124094360684519544, 9194868904542749809715037307542556248188721369039088, 18386648325526070189732038146917452259859482919517498, 36773296651052140379464076293834904519718965839034996, 73530023014295633573438587462584026311120955233858980, 147060046028591267146877174925168052622241910467717960, 294042463689679984525288496189596023929151650499552600, 588084927379359969050576992379192047858303300999105200, 1176169854758719938101153984758384095716606601998210400, 2351992561210647751010502986381367870735603864893847556, 4703985122421295502021005972762735741471207729787695112, 9406107039516904584289569220474658450726469009575231532, 18812214079033809168579138440949316901452938019150463064, 37615692964277822817202379228104252845233264082003258018, 75231385928555645634404758456208505690466528164006516036, 150462771857111291268809516912417011380933056328013032072, 300886450495242225554975793444544415619395837245444819774, 601772900990484451109951586889088831238791674490889639548, 1203335846853329894877942872459546590768587536346743510471, 2406671693706659789755885744919093181537175072693487020942, 4812358386962881166919532376132776985766764542490436010204, 9624716773925762333839064752265553971533529084980872020408, 19249433547851524667678129504531107943067058169961744040816, 38494455703829959924081030671504949212598793880461686109592, 76988911407659919848162061343009898425197587760923372219184, 153954116704365858154631903225296277344664921832417881979624, 307908233408731716309263806450592554689329843664835763959248] Assuming that The connective constants for the number of steps with i mod, 7, for i from 1 to M are is, 128, as it should The estimated critical expoents for each of these moduli are, [-0.01097042714, -0.01097042714, -0.01067349151, -0.01067349151, -0.01068790112, -0.01068790112, -0.01068790112] The estimated asymptotics are [.3175143992e-2*128^n/n^.1097042714e-1*(1.-1.612440322/n+39.85255428/n^2-409.60\ 31912/n^3+3116.496667/n^4-21720.71546/n^5), .6350287985e-2*128^n/n^.1097042714e\ -1*(1.-1.612440322/n+39.85255428/n^2-409.6031912/n^3+3116.496667/n^4-21720.7154\ 6/n^5), .1267941750e-1*128^n/n^.1067349151e-1*(1.-1.574115399/n+39.10890402/n^2 -407.9613164/n^3+3111.968960/n^4-21598.83658/n^5), .2535883500e-1*128^n/n^.\ 1067349151e-1*(1.-1.574115399/n+39.10890402/n^2-407.9613164/n^3+3111.968960/n^4 -21598.83658/n^5), .5071992793e-1*128^n/n^.1068790112e-1*(1.-1.575051133/n+39.4\ 7315852/n^2-429.5496833/n^3+3395.276924/n^4-23948.80271/n^5), .1014398559*128^n /n^.1068790112e-1*(1.-1.575051133/n+39.47315852/n^2-429.5496833/n^3+3395.276924 /n^4-23948.80271/n^5), .2028797117*128^n/n^.1068790112e-1*(1.-1.575051133/n+39.\ 47315852/n^2-429.5496833/n^3+3395.276924/n^4-23948.80271/n^5)] Theorem : Let a(n) be the number of ways of walking n steps, in the, 2, -dimensional Manhattan lattice with unit positive steps Always staying in the region 0 <= 5 x[1] - x[2] The first, 200, terms of this sequence, starting at n=1 are [1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 126, 252, 504, 1008, 2016, 4026, 8052, 16104, 32208, 64416, 128832, 257613, 515226, 1030452, 2060904, 4121808, 8243616, 16486726, 32973452, 65946904, 131893808, 263787616, 527575232, 1055144983, 2110289966, 4220579932, 8441159864, 16882319728, 33764639456, 67529216080, 135058432160, 270116864320, 540233728640, 1080467457280, 2160934914560, 4321869079722, 8643738159444, 17287476318888, 34574952637776, 69149905275552, 138299810551104, 276599611898574, 553199223797148, 1106398447594296, 2212796895188592, 4425593790377184, 8851187580754368, 17702375045901426, 35404750091802852, 70809500183605704, 141619000367211408, 283238000734422816, 566476001468845632, 1132952001459376998, 2265904002918753996, 4531808005837507992, 9063616011675015984, 18127232023350031968, 36254464046700063936, 72508928074220077944, 145017856148440155888, 290035712296880311776, 580071424593760623552, 1160142849187521247104, 2320285698375042494208, 4640571396498227868720, 9281142792996455737440, 18562285585992911474880, 37124571171985822949760, 74249142343971645899520, 148498284687943291799040, 296996569372545740048225, 593993138745091480096450, 1187986277490182960192900, 2375972554980365920385800, 4751945109960731840771600, 9503890219921463681543200, 19007780439798226878036680, 38015560879596453756073360, 76031121759192907512146720, 152062243518385815024293440, 304124487036771630048586880, 608248974073543260097173760, 1216497948146483945536920404, 2432995896292967891073840808, 4865991792585935782147681616, 9731983585171871564295363232, 19463967170343743128590726464, 38927934340687486257181452928, 77855868681366796562703788062, 155711737362733593125407576124, 311423474725467186250815152248, 622846949450934372501630304496, 1245693898901868745003260608992, 2491387797803737490006521217984, 4982775595607363407982782193878, 9965551191214726815965564387756, 19931102382429453631931128775512, 39862204764858907263862257551024, 79724409529717814527724515102048, 159448819059435629055449030204096, 318897638118869727797927720023612, 637795276237739455595855440047224, 1275590552475478911191710880094448, 2551181104950957822383421760188896, 5102362209901915644766843520377792, 10204724419803831289533687040755584, 20409448839607641493918595817229303, 40818897679215282987837191634458606, 81637795358430565975674383268917212, 163275590716861131951348766537834424, 326551181433722263902697533075668848, 653102362867444527805395066151337696, 1306204725734888763905569427583509866, 2612409451469777527811138855167019732, 5224818902939555055622277710334039464, 10449637805879110111244555420668078928, 20899275611758220222489110841336157856, 41798551223516440444978221682672315712, 83597102447032876839429151532924449399, 167194204894065753678858303065848898798, 334388409788131507357716606131697797596, 668776819576263014715433212263395595192, 1337553639152526029430866424526791190384, 2675107278305052058861732849053582380768, 5350214556610104061290721842196097774336, 10700429113220208122581443684392195548672, 21400858226440416245162887368784391097344, 42801716452880832490325774737568782194688, 85603432905761664980651549475137564389376, 171206865811523329961303098950275128778752, 342413731623046659133973184086503320078704, 684827463246093318267946368173006640157408, 1369654926492186636535892736346013280314816, 2739309852984373273071785472692026560629632, 5478619705968746546143570945384053121259264, 10957239411937493092287141890768106242518528, 21914478823874986173522532881915409028105456, 43828957647749972347045065763830818056210912, 87657915295499944694090131527661636112421824, 175315830590999889388180263055323272224843648, 350631661181999778776360526110646544449687296, 701263322363999557552721052221293088899374592, 1402526644727999114950167179083060650499294928, 2805053289455998229900334358166121300998589856, 5610106578911996459800668716332242601997179712, 11220213157823992919601337432664485203994359424, 22440426315647985839202674865328970407988718848, 44880852631295971678405349730657940815977437696, 89761705262591943354623950566357693405049273106, 179523410525183886709247901132715386810098546212, 359046821050367773418495802265430773620197092424, 718093642100735546836991604530861547240394184848, 1436187284201471093673983209061723094480788369696, 2872374568402942187347966418123446188961576739392, 5744749136805884374665069217818405436462934062028, 11489498273611768749330138435636810872925868124056, 22978996547223537498660276871273621745851736248112, 45957993094447074997320553742547243491703472496224, 91915986188894149994641107485094486983406944992448, 183831972377788299989282214970188973966813889984896, 367663944755576599978127937782797996910131131669656, 735327889511153199956255875565595993820262263339312, 1470655779022306399912511751131191987640524526678624, 2941311558044612799825023502262383975281049053357248, 5882623116089225599650047004524767950562098106714496, 11765246232178451199300094009049535901124196213428992, 23530492464356902398594003209700335653506033248373698, 47060984928713804797188006419400671307012066496747396, 94121969857427609594376012838801342614024132993494792, 188243939714855219188752025677602685228048265986989584, 376487879429710438377504051355205370456096531973979168, 752975758859420876755008102710410740912193063947958336, 1505951517718841753509928416240991682624299738988357680, 3011903035437683507019856832481983365248599477976715360, 6023806070875367014039713664963966730497198955953430720, 12047612141750734028079427329927933460994397911906861440, 24095224283501468056158854659855866921988795823813722880, 48190448567002936112317709319711733843977591647627445760, 96380897134005872224634170477844641084001082867085703336, 192761794268011744449268340955689282168002165734171406672, 385523588536023488898536681911378564336004331468342813344, 771047177072046977797073363822757128672008662936685626688, 1542094354144093955594146727645514257344017325873371253376, 3084188708288187911188293455291028514688034651746742506752, 6168377416576375822376569137179967361362760562611174006718, 12336754833152751644753138274359934722725521125222348013436, 24673509666305503289506276548719869445451042250444696026872, 49347019332611006579012553097439738890902084500889392053744, 98694038665222013158025106194879477781804169001778784107488, 197388077330444026316050212389758955563608338003557568214976, 394776154660888052632100171325450554567669281587093160201454, 789552309321776105264200342650901109135338563174186320402908] Assuming that The connective constants for the number of steps with i mod, 6, for i from 1 to M are is, 64, as it should The estimated critical expoents for each of these moduli are, [ -14 -14 -14 0.1068196542 10 , 0.1068196542 10 , 0.3857236337 10 , -14 -14 -14 0.3857236337 10 , 0.3857236337 10 , 0.3857236337 10 ] The estimated asymptotics are [.1535436276e-1*64^n*n^.1068196542e-14*(1.+.1701786963e-12/n-.5422026779e-11/n^ 2+.1151625958e-9/n^3-.1375882622e-8/n^4+.7013772919e-8/n^5), .3070872552e-1*64^ n*n^.1068196542e-14*(1.+.1701786963e-12/n-.5422026779e-11/n^2+.1151625958e-9/n^ 3-.1375882622e-8/n^4+.7013772919e-8/n^5), .6141745104e-1*64^n*n^.3857236337e-14 *(1.+.5952785609e-12/n-.1837246147e-10/n^2+.3780156968e-9/n^3-.4374979996e-8/n^ 4+.2160468648e-7/n^5), .1228349021*64^n*n^.3857236337e-14*(1.+.5952785609e-12/n -.1837246147e-10/n^2+.3780156968e-9/n^3-.4374979996e-8/n^4+.2160468648e-7/n^5), .2456698042*64^n*n^.3857236337e-14*(1.+.5952785609e-12/n-.1837246147e-10/n^2+.\ 3780156968e-9/n^3-.4374979996e-8/n^4+.2160468648e-7/n^5), .4913396084*64^n*n^.\ 3857236337e-14*(1.+.5952785609e-12/n-.1837246147e-10/n^2+.3780156968e-9/n^3-.\ 4374979996e-8/n^4+.2160468648e-7/n^5)] Theorem : Let a(n) be the number of ways of walking n steps, in the, 2, -dimensional Manhattan lattice with unit positive steps Always staying in the region 0 <= 5 x[1] - 2 x[2] The first, 200, terms of this sequence, starting at n=1 are [1, 2, 4, 7, 14, 28, 56, 109, 218, 436, 857, 1714, 3428, 6856, 13636, 27272, 54544, 108612, 217224, 434448, 868896, 1734989, 3469978, 6939956, 13860684, 27721368, 55442736, 110885472, 221649307, 443298614, 886597228, 1772317931, 3544635862, 7089271724, 14178543448, 28351304383, 56702608766, 113405217532, 226767459268, 453534918536, 907069837072, 1814139674144, 3627987911039, 7255975822078, 14511951644156, 29021690978947, 58043381957894, 116086763915788, 232173527831576, 464331757780223, 928663515560446, 1857327031120892, 3714536131152144, 7429072262304288, 14858144524608576, 29716289049217152, 59431750696372350, 118863501392744700, 237727002785489400, 475447551876334095, 950895103752668190, 1901790207505336380, 3803580415010672760, 7607115039840876208, 15214230079681752416, 30428460159363504832, 60856559847354448364, 121713119694708896728, 243426239389417793456, 486852478778835586912, 973702376969391179383, 1947404753938782358766, 3894809507877564717532, 7789598548925824180688, 15579197097851648361376, 31158394195703296722752, 62316788391406593445504, 124633429189902669789727, 249266858379805339579454, 498533716759610679158908, 997066255745915934725016, 1994132511491831869450032, 3988265022983663738900064, 7976530045967327477800128, 15953051547006717823293656, 31906103094013435646587312, 63812206188026871293174624, 127624343837016512585867272, 255248687674033025171734544, 510497375348066050343469088, 1020994750696132100686938176, 2041989001580627561945357126, 4083978003161255123890714252, 8167956006322510247781428504, 16335907986076295875275570637, 32671815972152591750551141274, 65343631944305183501102282548, 130687263888610367002204565096, 261374498285237450633681116883, 522748996570474901267362233766, 1045497993140949802534724467532, 2090995747793385714891187694764, 4181991495586771429782375389528, 8363982991173542859564750779056, 16727965982347085719129501558112, 33455930211295730846777230559426, 66911860422591461693554461118852, 133823720845182923387108922237704, 267647427464914691210935028690944, 535294854929829382421870057381888, 1070589709859658764843740114763776, 2141179419719317529687480229527552, 4282358734504735659118300824680555, 8564717469009471318236601649361110, 17129434938018942636473203298722220, 34258869022251139710379589183245535, 68517738044502279420759178366491070, 137035476089004558841518356732982140, 274070952178009117683036713465964280, 548141898039683716562635858489857426, 1096283796079367433125271716979714852, 2192567592158734866250543433959429704, 4385135132794234425368710411017624405, 8770270265588468850737420822035248810, 17540540531176937701474841644070497620, 35081081062353875402949683288140995240, 70162161742549856402969477705779689058, 140324323485099712805938955411559378116, 280648646970199425611877910823118756232, 561297290816010769887142338005449958064, 1122594581632021539774284676010899916128, 2245189163264043079548569352021799832256, 4490378326528086159097138704043599664512, 8980756629828305258320899113086363617127, 17961513259656610516641798226172727234254, 35923026519313221033283596452345454468508, 71846052848337320072117969247382186579016, 143692105696674640144235938494764373158032, 287384211393349280288471876989528746316064, 574768422786698560576943753979057492632128, 1149536844155771099220311934267634922690299, 2299073688311542198440623868535269845380598, 4598147376623084396881247737070539690761196, 9196294741611282767382827532268255701703412, 18392589483222565534765655064536511403406824, 36785178966445131069531310129073022806813648, 73570357932890262139062620258146045613627296, 147140715778939188989470963888507785138878013, 294281431557878377978941927777015570277756026, 588562863115756755957883855554031140555512052, 1177125725517595600113272268432138963203837104, 2354251451035191200226544536864277926407674208, 4708502902070382400453089073728555852815348416, 9417005804140764800906178147457111705630696832, 18834011602943825610692725894046704974895492234, 37668023205887651221385451788093409949790984468, 75336046411775302442770903576186819899581968936, 150672092779603214070939649708206494333051851972, 301344185559206428141879299416412988666103703944, 602688371118412856283758598832825977332207407888, 1205376742236825712567517197665651954664414815776, 2410753484144560291996740557686562282303972868581, 4821506968289120583993481115373124564607945737162, 9643013936578241167986962230746249129215891474324, 19286027870443197465293831906605231416782367043048, 38572055740886394930587663813210462833564734086096, 77144111481772789861175327626420925667129468172192, 154288222963545579722350655252841851334258936344384, 308576445906744244814908049307212163238803785232819, 617152891813488489629816098614424326477607570465638, 1234305783626976979259632197228848652955215140931276, 2468611567085984981425259085149409607987732987215552, 4937223134171969962850518170298819215975465974431104, 9874446268343939925701036340597638431950931948862208, 19748892536687879851402072681195276863901863897724416, 39497785072114506161634119536308570055596819753679369, 78995570144229012323268239072617140111193639507358738, 157991140288458024646536478145234280222387279014717476, 315982280566491897024882867964102759521809487546089681, 631964561132983794049765735928205519043618975092179362, 1263929122265967588099531471856411038087237950184358724, 2527858244531935176199062943712822076174475900368717448, 5055716488985502114060164617210456347192421760219781101, 10111432977971004228120329234420912694384843520439562202, 20222865955942008456240658468841825388769687040879124404, 40445731911235609840370425002408423588878558879887844518, 80891463822471219680740850004816847177757117759775689036, 161782927644942439361481700009633694355514235519551378072, 323565855289884878722963400019267388711028471039102756144, 647131710574889599299270095760826822004686705493310703830, 1294263421149779198598540191521653644009373410986621407660, 2588526842299558397197080383043307288018746821973242815320, 5177053684558698631859826975151851992853865223895420657744, 10354107369117397263719653950303703985707730447790841315488, 20708214738234794527439307900607407971415460895581682630976, 41416429476469589054878615801214815942830921791163365261952, 82832858952634658995420976216378322293168956836405387935294, 165665717905269317990841952432756644586337913672810775870588, 331331435810538635981683904865513289172675827345621551741176, 662662871618552852224290767090105529718669973315338515497944] Assuming that The connective constants for the number of steps with i mod, 7, for i from 1 to M are is, 128, as it should The estimated critical expoents for each of these moduli are, [ -5 -5 -5 -5 0.3672895637 10 , 0.3672895637 10 , 0.3672895637 10 , 0.2327496680 10 , -5 -5 -5 0.3322814574 10 , 0.3322814574 10 , 0.3322814574 10 ] The estimated asymptotics are [.6443243633e-2*128^n*n^.3672895637e-5*(1.+.5222213009e-3/n-.1493254411e-1/n^2+ .2864574967/n^3-3.113268602/n^4+14.55140568/n^5), .1288648727e-1*128^n*n^.\ 3672895637e-5*(1.+.5222213009e-3/n-.1493254411e-1/n^2+.2864574967/n^3-3.1132686\ 02/n^4+14.55140568/n^5), .2577297453e-1*128^n*n^.3672895637e-5*(1.+.5222213009e\ -3/n-.1493254411e-1/n^2+.2864574967/n^3-3.113268602/n^4+14.55140568/n^5), .\ 5154633932e-1*128^n*n^.2327496680e-5*(1.+.3311600963e-3/n-.9476540701e-2/n^2+.1\ 819454587/n^3-1.979258700/n^4+9.261358918/n^5), .1030921121*128^n*n^.3322814574\ e-5*(1.+.4579654901e-3/n-.1270463492e-1/n^2+.2366803057/n^3-2.500786405/n^4+11.\ 37845745/n^5), .2061842241*128^n*n^.3322814574e-5*(1.+.4579654901e-3/n-.\ 1270463492e-1/n^2+.2366803057/n^3-2.500786405/n^4+11.37845745/n^5), .4123684483 *128^n*n^.3322814574e-5*(1.+.4579654901e-3/n-.1270463492e-1/n^2+.2366803057/n^3 -2.500786405/n^4+11.37845745/n^5)] Theorem : Let a(n) be the number of ways of walking n steps, in the, 2, -dimensional Manhattan lattice with unit positive steps Always staying in the region 0 <= 5 x[1] - 3 x[2] The first, 200, terms of this sequence, starting at n=1 are [1, 2, 3, 6, 12, 22, 44, 88, 169, 338, 646, 1292, 2584, 5055, 10110, 20220, 39915, 79830, 157008, 314016, 628032, 1244631, 2489262, 4978524, 9899008, 19798016, 39283577, 78567154, 157134308, 312839721, 625679442, 1251358884, 2495142774, 4990285548, 9938390016, 19876780032, 39753560064, 79307729460, 158615458920, 317230917840, 633377302717, 1266754605434, 2527342184142, 5054684368284, 10109368736568, 20188961714512, 40377923429024, 80755846858048, 161346959599689, 322693919199378, 644437652668031, 1288875305336062, 2577750610672124, 5150845478269248, 10301690956538496, 20603381913076992, 41180692885553929, 82361385771107858, 164570832941741146, 329141665883482292, 658283331766964584, 1315814088182083940, 2631628176364167880, 5263256352728335760, 10522260261929459883, 21044520523858919766, 42064063471353963396, 84128126942707926792, 168256253885415853584, 336387759454526647022, 672775518909053294044, 1345551037818106588088, 2690392229287170556263, 5380784458574341112526, 10757373819371040717868, 21514747638742081435736, 43029495277484162871472, 86037900625739250378103, 172075801251478500756206, 344151602502957001512412, 688182525828058074877965, 1376365051656116149755930, 2752013371909804304913732, 5504026743819608609827464, 11008053487639217219654928, 22012484558206423225503149, 44024969116412846451006298, 88049938232825692902012596, 176079053702774522198231553, 352158107405549044396463106, 704192041691447756867687442, 1408384083382895513735374884, 2816768166765791027470749768, 5632905987493120396708560148, 11265811974986240793417120296, 22531623949972481586834240592, 45059610686731895630678479248, 90119221373463791261356958496, 180216678922534439279979990480, 360433357845068878559959980960, 720866715690137757119919961920, 1441622541489135844871445989778, 2883245082978271689742891979556, 5766490165956543379485783959112, 11532338419170653988377435672389, 23064676838341307976754871344778, 46125501582754908008394118354411, 92251003165509816016788236708822, 184502006331019632033576473417644, 368984323732387611859825345213514, 737968647464775223719650690427028, 1475937294929550447439301380854056, 2951760302018530002026009324354988, 5903520604037060004052018648709976, 11806353665826635414452124415579462, 23612707331653270828904248831158924, 47225414663306541657808497662317848, 94447305576418917410052174952654559, 188894611152837834820104349905309118, 377789222305675669640208699810618236, 755557941640063211949773126271125774, 1511115883280126423899546252542251548, 3022108156643515581602840203478339252, 6044216313287031163205680406956678504, 12088432626574062326411360813913357008, 24176230232618551076026650475948835508, 48352460465237102152053300951897671016, 96704920930474204304106601903795342032, 193406139290739456024558184124787686081, 386812278581478912049116368249575372162, 773602192534160709999303461417595715324, 1547204385068321419998606922835191430648, 3094408770136642839997213845670382861296, 6188702407062773863035879039967706030735, 12377404814125547726071758079935412061470, 24754809628251095452143516159870824122940, 49508946724247257995723890659258040353475, 99017893448494515991447781318516080706950, 198031717798902154513486480465731773400860, 396063435597804309026972960931463546801720, 792126871195608618053945921862927093603440, 1584232755963440117430966937605824222346304, 3168465511926880234861933875211648444692608, 6336931023853760469723867750423296889385216, 12673739258835438987759451488902822243486505, 25347478517670877975518902977805644486973010, 50694213004201715259063397711041521542343300, 101388426008403430518126795422083043084686600, 202776852016806861036253590844166086169373200, 405549860359633764576110801636349002201003406, 811099720719267529152221603272698004402006812, 1622199441438535058304443206545396008804013624, 3244376361229795712453441482713140653626138639, 6488752722459591424906882965426281307252277278, 12977368794135706699784780401396576973472288456, 25954737588271413399569560802793153946944576912, 51909475176542826799139121605586307893889153824, 103818243369219955187151907678345619694437036925, 207636486738439910374303815356691239388874073850, 415272973476879820748607630713382478777748147700, 830541799012060018726140261422772427136002111267, 1661083598024120037452280522845544854272004222534, 3322141997980065946186111835939348251388928642028, 6644283995960131892372223671878696502777857284056, 13288567991920263784744447343757393005555714568112, 26577005443687853062166775458295850683699820775252, 53154010887375706124333550916591701367399641550504, 106308021774751412248667101833183402734799283101008, 212615276749115690436117721346340895816414535649095, 425230553498231380872235442692681791632829071298190, 850456443728291533181286587486578180336973454649430, 1700912887456583066362573174973156360673946909298860, 3401825774913166132725146349946312721347893818597720, 6803627362214387196438505663164219000919798982936788, 13607254724428774392877011326328438001839597965873576, 27214509448857548785754022652656876003679195931747152, 54428876665079909462403339479629786053384557870376832, 108857753330159818924806678959259572106769115740753664, 217714640819114019367280525877097584393896373460699378, 435429281638228038734561051754195168787792746921398756, 870858563276456077469122103508390337575585493842797512, 1741712630618457475420436500559987452152091647889547955, 3483425261236914950840873001119974904304183295779095910, 6966850522473829901681746002239949808608366591558191820, 13933674581072600000417516926075302143456366270184593118, 27867349162145200000835033852150604286912732540369186236, 55734537079272484780223184135646951007391333284909956572, 111469074158544969560446368271293902014782666569819913144, 222938148317089939120892736542587804029565333139639826288, 445875458513667611752737105462155911611388578054299728240, 891750917027335223505474210924311823222777156108599456480, 1783501834054670447010948421848623646445554312217198912960, 3566998730333058930361624867183910825337981184731229033839, 7133997460666117860723249734367821650675962369462458067678, 14267964810297514130373852972514334103838386233434902162156, 28535929620595028260747705945028668207676772466869804324312, 57071859241190056521495411890057336415353544933739608648624, 114143561825821564162362438123828977144087828200634042115436, 228287123651643128324724876247657954288175656401268084230872, 456574247303286256649449752495315908576351312802536168461744] Assuming that The connective constants for the number of steps with i mod, 8, for i from 1 to M are is, 256, as it should The estimated critical expoents for each of these moduli are, [0.0007439191903, 0.0007439191903, 0.0006853053208, 0.0006853053208, 0.0006853053208, 0.0006437497201, 0.0006437497201, 0.0006437497201] The estimated asymptotics are [.2210966114e-2*256^n*n^.7439191903e-3*(1.+.7195359831e-1/n-1.097587122/n^2+3.4\ 10910430/n^3+116.4820100/n^4-653.4098204/n^5), .4421932227e-2*256^n*n^.\ 7439191903e-3*(1.+.7195359831e-1/n-1.097587122/n^2+3.410910430/n^3+116.4820100/ n^4-653.4098204/n^5), .8846548301e-2*256^n*n^.6853053208e-3*(1.+.6734778964e-1/ n-1.070451982/n^2+4.743667056/n^3+87.73807202/n^4-537.2734328/n^5), .1769309660\ e-1*256^n*n^.6853053208e-3*(1.+.6734778964e-1/n-1.070451982/n^2+4.743667056/n^3 +87.73807202/n^4-537.2734328/n^5), .3538619320e-1*256^n*n^.6853053208e-3*(1.+.\ 6734778964e-1/n-1.070451982/n^2+4.743667056/n^3+87.73807202/n^4-537.2734328/n^5 ), .7078769029e-1*256^n*n^.6437497201e-3*(1.+.6392809030e-1/n-1.042596452/n^2+5\ .456452357/n^3+70.15759067/n^4-463.4462376/n^5), .1415753806*256^n*n^.\ 6437497201e-3*(1.+.6392809030e-1/n-1.042596452/n^2+5.456452357/n^3+70.15759067/ n^4-463.4462376/n^5), .2831507612*256^n*n^.6437497201e-3*(1.+.6392809030e-1/n-1\ .042596452/n^2+5.456452357/n^3+70.15759067/n^4-463.4462376/n^5)] Theorem : Let a(n) be the number of ways of walking n steps, in the, 2, -dimensional Manhattan lattice with unit positive steps Always staying in the region 0 <= 5 x[1] - 4 x[2] The first, 200, terms of this sequence, starting at n=1 are [1, 2, 3, 6, 10, 20, 35, 70, 140, 266, 532, 1008, 2016, 3830, 7660, 14605, 29210, 58420, 114311, 228622, 445729, 891458, 1736749, 3473498, 6768700, 13537400, 27074800, 53471262, 106942524, 210642785, 421285570, 828985870, 1657971740, 3261356200, 6522712400, 13045424800, 25875644580, 51751289160, 102447484162, 204894968324, 405260778088, 810521556176, 1602427474402, 3204854948804, 6409709897608, 12744465498142, 25488930996284, 50604591906949, 101209183813898, 200791374149262, 401582748298524, 796379528713248, 1592759057426496, 3185518114852992, 6343329328274677, 12686658656549354, 25233869772310497, 50467739544620994, 100321228735353531, 200642457470707062, 398696538404232514, 797393076808465028, 1594786153616930056, 3178898793773578117, 6357797587547156234, 12661463836997781493, 25322927673995562986, 50405571578325144550, 100811143156650289100, 200602051473519131064, 401204102947038262128, 802408205894076524256, 1600578075185608401527, 3201156150371216803054, 6380692819276115927775, 12761385638552231855550, 25426239722934666928630, 50852479445869333857260, 101292691820040026529130, 202585383640080053058260, 405170767280160106116520, 808619002119840498740135, 1617238004239680997480270, 3225649681575307999770154, 6451299363150615999540308, 12863006324798992790118641, 25726012649597985580237282, 51282149834870205802685114, 102564299669740411605370228, 205128599339480823210740456, 409544165766040661454814998, 819088331532081322909629996, 1634509756509904658947206863, 3269019513019809317894413726, 6521528745945912612813391802, 13043057491891825225626783604, 26015009031400366422685933448, 52030018062800732845371866896, 104060036125601465690743733792, 207820494090246193692097298358, 415640988180492387384194596716, 829736735477538545687873470437, 1659473470955077091375746940874, 3311968000174635830597843370858, 6623936000349271661195686741716, 13217721542703622403856544225032, 26435443085407244807713088450064, 52870886170814489615426176900128, 105614348581292678763154266970249, 211228697162585357526308533940498, 421798494045882607405642359631956, 843596988091765214811284719263912, 1684210404853833018932518074907632, 3368420809707666037865036149815264, 6723918123936093548062004054676807, 13447836247872187096124008109353614, 26895672495744374192248016218707228, 53736582993291339901995389274743524, 107473165986582679803990778549487048, 214662561251300779492293539646698951, 429325122502601558984587079293397902, 857362468895571085494815514624313174, 1714724937791142170989631029248626348, 3423859300907148346274953212626510590, 6847718601814296692549906425253021180, 13695437203628593385099812850506042360, 27367131483238811043936395955314971486, 54734262966477622087872791910629942972, 109345268811080404170234899214597238875, 218690537622160808340469798429194477750, 436820662081879763997572717917631656205, 873641324163759527995145435835263312410, 1744845037763642192283284120220585628820, 3489690075527284384566568240441171257640, 6979380151054568769133136480882342515280, 13948387662948141675408244147182915898532, 27896775325896283350816488294365831797064, 55739617887571619005353572911758015319566, 111479235775143238010707145823516030639132, 222712850401998963808618004574999180996698, 445425700803997927617236009149998361993396, 889781227492279705770031766018379004596392, 1779562454984559411540063532036758009192784, 3559124909969118823080127064073516018385568, 7113688189709309472222311424773920656794049, 14227376379418618944444622849547841313588098, 28431001622066986998442165208928350302796258, 56862003244133973996884330417856700605592516, 113615681913623469765290576468914913915508288, 227231363827246939530581152937829827831016576, 453990055034076882657577254744125496368491402, 907980110068153765315154509488250992736982804, 1815960220136307530630309018976501985473965608, 3629902635431284857589882439579849218291158356, 7259805270862569715179764879159698436582316712, 14509091540801202029043624202894480109476209004, 29018183081602404058087248405788960218952418008, 57988329330966989637384069334540394420767473071, 115976658661933979274768138669080788841534946142, 231743433197924619922897874903319871502507104634, 463486866395849239845795749806639743005014209268, 926973732791698479691591499613279486010028418536, 1853050287926426876061414925559440025749492612159, 3706100575852853752122829851118880051498985224318, 7407518989891651804033927484285055598140902169083, 14815037979783303608067854968570111196281804338166, 29608669586900301402056600105298995374752035988592, 59217339173800602804113200210597990749504071977184, 118341038902178944882026661651683632334483222885088, 236682077804357889764053323303367264668966445770176, 473364155608715779528106646606734529337932891540352, 946327558505589453344514803622730277979708639434798, 1892655117011178906689029607245460555959417278869596, 3783216758806472051796423431179497060339235825832978, 7566433517612944103592846862358994120678471651665956, 15123286050620801214026127241206623972263656240970847, 30246572101241602428052254482413247944527312481941694, 60451189128024768901736072694915840777805908955465388, 120902378256049537803472145389831681555611817910930776, 241804756512099075606944290779663363111223635821861552, 483429763066240252940706812920437548919881663157614589, 966859526132480505881413625840875097839763326315229178, 1932779238931609517409289730663933583872945035124926147, 3865558477863219034818579461327867167745890070249852294, 7726811828942994782898064802110236565979429906995428584, 15453623657885989565796129604220473131958859813990857168, 30888377201827120414573002280312413657789702038428458986, 61776754403654240829146004560624827315579404076856917972, 123553508807308481658292009121249654631158808153713835944, 247026092960858864229390406599650718490902951222207228038, 494052185921717728458780813199301436981805902444414456076, 987680924797524112288786316000256228206033913018397279099, 1975361849595048224577572632000512456412067826036794558198, 3948782330801616499427987736890298774565513015407390131052, 7897564661603232998855975473780597549131026030814780262104, 15786612600278545624455174960660092308921580539762263475408, 31573225200557091248910349921320184617843161079524526950816, 63146450401114182497820699842640369235686322159049053901632, 126256344492683457871216569568105181541221191310832119103597, 252512688985366915742433139136210363082442382621664238207194] Assuming that The connective constants for the number of steps with i mod, 9, for i from 1 to M are is, 512, as it should The estimated critical expoents for each of these moduli are, [-0.002477799580, -0.002477799580, 0.0002006669664, 0.0002006669664, 0.0004520340369, 0.0004520340369, 0.0007285893405, 0.0007285893405, 0.0007285893405] The estimated asymptotics are [.6162952930e-3*512^n/n^.2477799580e-2*(1.-1.135235193/n+44.02250438/n^2-503.35\ 65954/n^3+4132.810086/n^4-30838.97130/n^5), .1232590586e-2*512^n/n^.2477799580e\ -2*(1.-1.135235193/n+44.02250438/n^2-503.3565954/n^3+4132.810086/n^4-30838.9713\ 0/n^5), .2430414261e-2*512^n*n^.2006669664e-3*(1.-.8591501359/n+38.15374714/n^2 -420.2413175/n^3+3243.750220/n^4-22639.80887/n^5), .4860828522e-2*512^n*n^.\ 2006669664e-3*(1.-.8591501359/n+38.15374714/n^2-420.2413175/n^3+3243.750220/n^4 -22639.80887/n^5), .9707318413e-2*512^n*n^.4520340369e-3*(1.-.8167557938/n+37.0\ 2429420/n^2-410.6203167/n^3+3146.004369/n^4-21682.91172/n^5), .1941463683e-1* 512^n*n^.4520340369e-3*(1.-.8167557938/n+37.02429420/n^2-410.6203167/n^3+3146.0\ 04369/n^4-21682.91172/n^5), .3876615684e-1*512^n*n^.7285893405e-3*(1.-.76970583\ 63/n+35.76291201/n^2-399.7482729/n^3+3037.931886/n^4-20630.52428/n^5), .\ 7753231367e-1*512^n*n^.7285893405e-3*(1.-.7697058363/n+35.76291201/n^2-399.7482\ 729/n^3+3037.931886/n^4-20630.52428/n^5), .1550646273*512^n*n^.7285893405e-3*(1\ .-.7697058363/n+35.76291201/n^2-399.7482729/n^3+3037.931886/n^4-20630.52428/n^5 )] Here is a table of the critical exponents [[[1, 1], [-.5000000000, -.5000000000]], [[2, 1], [-.2365635363e-4, -.\ 2365635363e-4, -.3036845601e-4]], [[3, 1], [.1657667715e-7, .1657667715e-7, .\ 1657667715e-7, .1657667715e-7]], [[3, 2], [.2153668136e-2, .2153668136e-2, .\ 1963044034e-2, .1963044034e-2, .1963044034e-2]], [[4, 1], [.2715713251e-11, .\ 2715713251e-11, .2715713251e-11, .2715713251e-11, .2715713251e-11]], [[4, 3], [ -.1097042714e-1, -.1097042714e-1, -.1067349151e-1, -.1067349151e-1, -.\ 1068790112e-1, -.1068790112e-1, -.1068790112e-1]], [[5, 1], [.1068196542e-14, .\ 1068196542e-14, .3857236337e-14, .3857236337e-14, .3857236337e-14, .3857236337e\ -14]], [[5, 2], [.3672895637e-5, .3672895637e-5, .3672895637e-5, .2327496680e-5 , .3322814574e-5, .3322814574e-5, .3322814574e-5]], [[5, 3], [.7439191903e-3, .\ 7439191903e-3, .6853053208e-3, .6853053208e-3, .6853053208e-3, .6437497201e-3, .6437497201e-3, .6437497201e-3]], [[5, 4], [-.2477799580e-2, -.2477799580e-2, .\ 2006669664e-3, .2006669664e-3, .4520340369e-3, .4520340369e-3, .7285893405e-3, .7285893405e-3, .7285893405e-3]]] ------------------------------- This took , 140.546, seconds.