------------------------------ This file finds Verbose versions of recurrences for the integral, from 0 to \ to infinity of powers (up to the 3rd) of the Chebyshev polynomials times exp(-x) --------------------------------------- infinity / | For the sequence defined by, | CHEBYSHEVfirstKind[n](x) exp(-x) dx, | / 0 we have ----------------------------------------------------------------------------\ ---------------- A Linear Recurrence With Polynomial Coefficients Satisfied by The Inegral of\ the, 1, -th power of Certain C-finite Polynomial Sequence By Shalosh B. Ekhad Proposition: Let , P[n](x), be the sequence of polynomial definied by the following recurrence P[n](x) = 2 x P[n - 1](x) - P[n - 2](x) Subject to the initial conditions P[0] = 1, P[1] = x Equivalently, in terms of generating function infinity ----- \ n -t x + 1 ) P[n](x) t = -------------- / 2 ----- t - 2 t x + 1 n = 0 n Define the Umbra, U, to be equal to, n!, when applied to , x , and extended linearly Let's define the sequence of numbers s(n), to be the action of U applied to, P[n](x) Then s(n) satisfies the following linear recurrence equation with polynomial\ coefficients (n + 3) s(n) 2 n (n + 3) s(n + 1) 2 s(n + 2) - ------------ - -------------------- - ---------- + (-2 n - 8) s(n + 3) n + 1 n + 1 n + 1 + s(n + 4) = 0 Subject to the initial condition s(1) = 1, s(2) = 3, s(3) = 21, s(4) = 177 Just for fun, using this recurrence we get that s(1000) = 215526763928242758603257600401921803473720144338342075098873091427\ 958505378470778141771194532405289040466525979315946116068638069226256241\ 361158695903320351061837175295717423932447212015768736836996932845054193\ 178833534544126509677285241557687012561006251756635366433945339656015994\ 929280758560637302699910843341822870860741361398762710413819207617998171\ 633997051239164476867329965551533306347606063910954384292648460485933992\ 802393793066549425349665450462281354470674694071407264053472188454961998\ 413185627289303009043468853101086915321708627227543942643203996497824658\ 915388631904044692251713213149668282496964597906076585483248131116964577\ 123442189255001631442620703260606342417266942105792121446654517943246193\ 590942632246624370889045171305016152147279484758493492331674857179381597\ 175822266047301558362744066591600586260210669074439238603603796902195889\ 727098353453662125783901751925445222507362484622629851494031937831240691\ 664873583964584161308519578664261013731943949389538747409037953394211005\ 452801646325479618171466472786579484963124567982848481714168143881409963\ 989500973201966690635923696798312148993880506538194416690959324523459081\ 015493543216885226130425843977202338790327952133553969793662027377670773\ 847810605383344636192306486798295327138826265654486097271079550239116664\ 689773490110725360079626297378945732841239393941909631156043956633943285\ 878440195960914476732666371631004143549302506647736020392218631252810690\ 837121863113537836930268117290850156389715418689130050177239409059358094\ 555293129097296693932190759439787014141953881016795433489435760103060308\ 057307516606237873302803065545574064212159730462089389015802483428930494\ 026638133538883276725116645447852107283055970932970409332773197711544995\ 217091693978196662998868570764342946467729427654836615858995716543285491\ 303194269434345634166291017915581404379498188740026146599053145263917730\ 056129372353766045798889708358078746964869791628888731921790854256153783\ 401427090910724684544069193693083640895910209673301721953866212647010218\ 432672195305333632075717483412078828307169309984626610473969486795462677\ 014948704071122283700380185730778550732369468086106593984703113115360281\ 031245910029879142997800377376577925320464178203503946059925735873808420\ 266180286898328407799951417513615021593125077175608642621813421747662892\ 279421875877903820048260915188605930894588413570861802518300421762806427\ 883342076463508664803062993033203649581069521828382330447845239182248308\ 509545375813677341884678585130760857177487031509273824078678667850469070\ 722477923582010435516902173606704598865248845205423419228728048813332042\ 068889437652117787687371954321202103810911934183668635570680981646092389\ 569860586916698175125295309017061474535332680003547272084749678355395875\ 098133893041496362609610529922646594888789858479661893431155623406191304\ 8060037163713578496032658243701435168442105631720241663883771000001 This ends this article, that took, 0.175, seconds to generate. ---------------------------------------------------- --------------------------------------- infinity / | 2 For the sequence defined by, | CHEBYSHEVfirstKind[n](x) exp(-x) dx, | / 0 we have ----------------------------------------------------------------------------\ ---------------- A Linear Recurrence With Polynomial Coefficients Satisfied by The Inegral of\ the, 2, -th power of Certain C-finite Polynomial Sequence By Shalosh B. Ekhad Proposition: Let , P[n](x), be the sequence of polynomial definied by the following recurrence P[n](x) = 2 x P[n - 1](x) - P[n - 2](x) Subject to the initial conditions P[0] = 1, P[1] = x Equivalently, in terms of generating function infinity ----- \ n -t x + 1 ) P[n](x) t = -------------- / 2 ----- t - 2 t x + 1 n = 0 n Define the Umbra, U, to be equal to, n!, when applied to , x , and extended linearly Let's define the sequence of numbers 2 s(n), to be the action of U applied to, P[n](x) Then s(n) satisfies the following linear recurrence equation with polynomial\ coefficients 2 2 -s(n) + (16 n + 8 n + 4) s(n + 1) + (-32 n - 128 n - 101) s(n + 2) 2 + (48 n + 144) s(n + 3) + (32 n + 256 n + 485) s(n + 4) 2 + (-16 n - 184 n - 532) s(n + 5) + s(n + 6) = 0 Subject to the initial condition s(1) = 2, s(2) = 89, s(3) = 10962, s(4) = 2490209, s(5) = 903566450, s(6) = 479488030489 Just for fun, using this recurrence we get that s(1000) = 951760269915842939855211171955853009131698290684559002676770663671\ 661866216311413826425269023583393829684195807660132431598677766210281860\ 705068472403747747013418991487094849103014599309312307065365762028694736\ 972157783293954603653873022794570980714936502636206542638077615095780238\ 364622743139810070895539804759865475185554969050984720587244178368266412\ 344896221495399114970035669227440808733398647869931704975406298450015381\ 297304464861078875290165529961273777461596738194213200595085414032635795\ 739233102114338027079950139170612699297003485514558919669827200313181944\ 777458398965212174780175829078188914457150103223655562176166967828421072\ 529317949262870348403183940460949760580793646858167051427639787385639940\ 103678862661723292013116428246410228919859353503101013245195159752606627\ 133714117744455638209951837164635993592092792147695083184467545733984913\ 068647729713150418920059499815276053922170982639571773714106302887678906\ 394888894256269580990589203896705318464134097886176245723699087840724537\ 827525386593963500141126346002932503842387998527056987404019648552175853\ 220379676689834573315515508824798652784459656489297407719139800814380054\ 724113034418253723461711779259618515935705748821379810702785573028260590\ 041093909629389847770943623864538188271044278868286510633877337150288817\ 393397529416783043554907301166403349961652544914930534932513460222543611\ 475559107440911184805756077222506083370621616765611975040789434167703322\ 846739052204683585777368492429450813394829511729230526347275257353086814\ 226094599757980874204923619365372013373361160081457581499413915432640562\ 609654291290243472714370166497895590188861820552094461706758037427115557\ 684674015693712997120673998232778885895215045756815915495789775931005368\ 387269047393424407195551803438678469033810919843491011875817063663443851\ 210414576643643441556899199364343836444773370191508885225129007420982747\ 599702316939657579882901520943093678198869454098443876763396982931581599\ 295226760414277314145825185634676841248985883046144471357512480568340048\ 310622805968122782109541371131679403775995761877513867394077215425918207\ 845851005328206409708998718791155903221736675441117949225853290699651593\ 728741903716159184877518871371127497827540230167808256987845483491217860\ 786754481304046072482380647552434376718315214829070875673769001830132596\ 939993664187545875858504993673999120953192915234342311611040118567466908\ 426891191015359644086930257671575063544609220895185410815444938698311837\ 537896222702477319964741290509846518473706014389822657403108573978461263\ 645938195055283546159761802552920697208648842085655123674369892741336604\ 800138901105044148712055422715607784292719611685503927561779782726506428\ 948448993399727637075502857754787711915882171016914744434306163189371432\ 731310685139316947743681506215580525906554265235306431709469872740041471\ 690402130438936811715205959574144198752129099977471534310981319009297900\ 794233964926699547066435488789553087074912696775438362659432299032190681\ 053315679473914732872620245174262400375087764404276637980548173872395022\ 754872590261062282129856428235130555483110312901972828984782256225428357\ 246933505078686171070097447681120087399925427023949366755431890260526668\ 316979926760732898121107736450419684841482195317723042921468906393248269\ 489889223587352309615792914692128696313865072984350343419737896554333917\ 109852216469924115926177283845056370629347909430251998071517158960354677\ 234474424375390380332570278863629032723590429161118462271959267550558661\ 702162957487578672413068788642781768654097592865082453596175217307395110\ 170138750721140978482754388643815951987863654198930981516513967143911092\ 854442254292920911097269044327593306975225160185185314225615408326570739\ 706294964154021620797727412470871371084354998116394726092304900909414797\ 329817593976995447621456550112681989992205802643209127267137092395168059\ 686960734078254443695319353314540969564776836234689873490400037010347432\ 420621018723807611864279873923756185487167356906439237485433769755496861\ 686644960378088533682045680135633800189575802397008891164125391736283830\ 627227450801669620218827997359096706448750810123967605839784976993964067\ 155061382162477299295577088187530750536235368657031512365386675522054460\ 875580274914957793352686177328699369261202863796664513604959442987781169\ 686663465988396867487714294427305519196135372690793614107694170965285702\ 158490135393128938692531288106633654775316780540157841694238789009950789\ 228824565792085648508315932041420989613019740211864653173844962457020927\ 988564645426783620770857071649315853242462506374378526122914736764438608\ 078483987415719402181963359961222546455091099513425118970205457565326294\ 985556905684184553571528352383800144113615234201979913301605170883601988\ 660005056327614165078851130093592399348581747039733402492428979422620371\ 168757934719607270550739134174071573999888711169307520591917473522399479\ 489798374402918711797288602906903140523264314723753162197976702966337861\ 498729832323272196197757776562421742635689587879515992085444692083439521\ 461153995788796716457317334626582278687264402444481849539202788182139366\ 471091055963860420466401185536910701850197982294645374772144182351468035\ 279491150578853830561087876163822895975988249900791744931407347806128442\ 450641983441840968415633044607090941533590502029677050294616491294752968\ 935617528681745318820791091567972955819271449980124616649097277617596181\ 846345341213061978779304076443362125344257332684834919685514688142448431\ 633579455525066602585000668318737877017820131819942327923439601078748520\ 919060402320297728374801319815607215717716146466578824627468997886875592\ 783559749079132868980269459156244913662694349508257245066067461710976764\ 750827599749484142218233209597694252785307437587878465623231884983723062\ 770757413781421220397364559891833942190605730066093084686207092333677151\ 581089741558711454394523666882540533745718555141607801462024331597813548\ 240460572551749027828834702669929228613758882944197801520029126082640276\ 900826224743661214125689624597727853901936687429108874151061006245351204\ 770508922679878527443386465363161923389525678061481078084616803552406550\ 649925877224719372870070319030277502155013281403922217465686107751684124\ 354627316848308422496162650573221996076016864591759017061338714776178897\ 720522196180307523522627781179823015888827181069673517530050113263364726\ 674176365946481035716743388072070303797333916463623014441117696342176754\ 2000001 This ends this article, that took, 0.635, seconds to generate. ---------------------------------------------------- --------------------------------------- infinity / | 3 For the sequence defined by, | CHEBYSHEVfirstKind[n](x) exp(-x) dx, | / 0 we have ----------------------------------------------------------------------------\ ---------------- A Linear Recurrence With Polynomial Coefficients Satisfied by The Inegral of\ the, 3, -th power of Certain C-finite Polynomial Sequence By Shalosh B. Ekhad Proposition: Let , P[n](x), be the sequence of polynomial definied by the following recurrence P[n](x) = 2 x P[n - 1](x) - P[n - 2](x) Subject to the initial conditions P[0] = 1, P[1] = x Equivalently, in terms of generating function infinity ----- \ n -t x + 1 ) P[n](x) t = -------------- / 2 ----- t - 2 t x + 1 n = 0 n Define the Umbra, U, to be equal to, n!, when applied to , x , and extended linearly Let's define the sequence of numbers 3 s(n), to be the action of U applied to, P[n](x) Then s(n) satisfies the following linear recurrence equation with polynomial\ coefficients 4 3 - (n + 5) (1318131476071817304354189120 n + 16389249023729017177930712376 n 2 + 57851771062736953266617160916 n + 16147397931327250852979399850 n - 153842498499392953303674132577) s(n)/((n + 3) %1) - 8 (n + 5) ( 7 6 35589549853939067217563106240 n + 478099273494622531021692340392 n 5 4 + 2015711659881191649089803186404 n + 2134649916589286522632809817638 n 3 2 - 3252956187448566448326230668805 n - 4051074824102367667534539409278 n - 967872898405667917912492565478 n + 882728447648706700145142646997) 9 s(n + 1)/((n + 3) %1) - 2 (284716398831512537740504849920 n 8 7 + 5533092580946055474616567822656 n + 42133183076557535592338683928928 n 6 + 180354870356157841151346959199744 n 5 + 719972755299286432149535850499792 n 4 + 3413592399463472517196231453644636 n 3 + 11997012205916394753372534692840746 n 2 + 23670947885898575041909977377864252 n + 23215028082685007689785763015978541 n + 8680067868119181848002650751032840) s(n + 2)/((n + 3) %1) - 8 ( 8 7 783299919426411861025042007520 n + 23740163013233803629227852194632 n 6 + 295688622296057805474362887265172 n 5 + 1937652959964295360514741699838474 n 4 + 7018062352303728841343470021812605 n 3 + 12923444187514455770314409413738383 n 2 + 6557317698535483985172366565286692 n - 12722538621239087853062681287479409 n - 14631710973584180216292903255202729) s(n + 3)/((n + 3) %1) + 2 ( 8 7 8294529958650741617121194149248 n + 265424958676823731747878212775936 n 6 + 3739976524977067786768179717712896 n 5 + 30304245855841110970911593563299840 n 4 + 154022535479853266018051402382564672 n 3 + 500285078918248758837446477487657984 n 2 + 1007461960994846351003106217860232870 n + 1141678272266128892149579300833670448 n + 553567988099167502287030525636398591) s(n + 4)/((n + 3) %1) - 8 ( 8 7 783299919426411861025042007520 n + 26391031830056555476374836286648 n 6 + 369912949167094857194478441841620 n 5 + 2807397110254328103882447978917814 n 4 + 12537053058738455433479106871167725 n 3 + 33379997990310852470453302495819537 n 2 + 50831979552153624412954980964098364 n + 39148958039004393465477639574888305 n + 10844510269228611062106779227267807) s(n + 5)/((n + 3) %1) + 2 ( 9 8 284716398831512537740504849920 n + 14966488134922847242699781371584 n 7 + 344001840803814872171001517494624 n 6 + 4508884357821423964650362387980032 n 5 + 36986101123560030002505431422510800 n 4 + 196350934764440826817927739823552804 n 3 + 673137156490395141791017934929469866 n 2 + 1434009885833827155039290877256841140 n + 1718275978753103479814306557927541229 n + 879403336671838914140706775332198496) s(n + 6)/((n + 3) %1) - 8 ( 7 6 35589549853939067217563106240 n + 1514915518325965233161841609048 n 5 + 26899301535833416500453385634148 n 4 + 257283247306408834198865534683002 n 3 + 1424875015281426878892615239417659 n 2 + 4542464655328526131870986124807686 n + 7658260236635326909344331396063290 n + 5198282826084855741102803633343867) s(n + 7)/(%1) + s(n + 8) = 0 4 3 %1 := 1318131476071817304354189120 n + 25790958210569136561403339464 n 2 + 170672281304818385868288685972 n + 462278389511574542567577716374 n + 427262691906060932470222866255 Subject to the initial condition s(1) = 6, s(2) = 5483, s(3) = 22511358, s(4) = 239744015377, s(5) = 5261500504332750, s(6) = 206731760427168631883, s(7) = 13226865478059114808272822, s(8) = 1287111445558341219542802209857 Just for fun, using this recurrence we get that s(1000) = 638031140877457906875280558669324856133610091117988417824297014797\ 008480315706797656257026323103829800402448174430443590518039334725272723\ 431890887690161616906573305159723375689633406669184923098694633123152102\ 857058542411185172454196766763105706391654163228136268096290291220142803\ 872762840775375479746351731250116293777969942617196486886315886223801599\ 395530425436281110361059197369721159527745578564613098397956919809649497\ 585016588848821455211373787062380445623041560804523531012572877863147370\ 351621480303247586620039318158351814293733581701438451907152936257294949\ 236749773429238559941819459300070391552854771932996565040105955888607479\ 778317012992889494525233394208698619768260971721191547821559762460135235\ 086587419490645160148635245317284186772371609235711385767287204864544472\ 126211306842560275516146317863490491440349719995380666805896117427746914\ 020611865519462784203951647838830820662486795418569863040208082155987265\ 926908642259686140027502103759253115300256491771477873861504495926247522\ 749225682550826434326722752017460642312795295022242037346665303637575533\ 087312973530353048332649725953074574902852419420315028552018495746477832\ 667321499036678237567262872724837719318185195065868254326758949427105382\ 035004040705419423999115195957536547834801817257833810827114584463989899\ 299359842510016522993491862923968166197040034123360678812472938179879715\ 231606664406895713620421502531901020855185185991246867746353346649127525\ 671827509014715080534739593769009632012673627307038408326577731732801457\ 799478913730138054006385810365650584035143117039874359442119621446888349\ 199891632332497230385682303605096413847250835058857292420715173242680765\ 090278217408580047762812917364678859820380126279131686675470506867802411\ 691358159536098415554862892979217559764091037698104210963873501340986747\ 061109184488232611166912969875733174234654809325882338902441677788111655\ 309456653672614538552108278355458573881425510197270301108123972751596236\ 182545877388824962529527764390881402162870722928779350439477783132505094\ 631196055338965174658385011172668426789272999426653496276880234503948576\ 583979183182087416327357487463986637031603902593422697999054915144255652\ 739723116439511962334616229331098070900818554859629952647558093852779835\ 994386429525035636189530086978249986382360754966956399550861599005712239\ 157070653540874157826760155689647581671642760589720979959077999242918954\ 375840536623177740484630281411237016581627888003016068757597729479083890\ 097157417716242543162089112127789569451402982366769028227833158545525222\ 624809428988932120944782823452575117317680984069921189726238033764489956\ 161867552529505943891828934847785841443616098664878243797562550114129705\ 648311591785789759467245859022768754269575745932540086002498826276126219\ 750300862740024905011912040485167007265653520006811565621655803105699601\ 051498424852461889725180456385589054617904902344727178341646244256887102\ 578275893885973590263005643416408375726164198499521279248124200266705000\ 873952584289659842950432234553428654270992207002479146009645970270606061\ 686126839201279524768920468613877551566983031926317613084927338382855210\ 577588485609105698578177264319017062207448343991965067234968756977088258\ 251714504713788701342317430598057630139910366963059361772542801643363832\ 727426256488312776391803571562000815424208048928532001131420778240815606\ 125050238826457352440943362677347594341340280352769454041848131108569506\ 163588174740422240042255007124492891799177583481346080320718622680402910\ 254141538385519744724783855591113995031004352966688674111619764137266071\ 419453546112892624109636863831950220773073515606434960038445194712715262\ 019435393074213483132355788610676066047819900244675021409379135834303111\ 727916945069510847195166208110932322357448664083144484043902584564083378\ 435443467353791229447227351669845783685631910840912356541565314655105875\ 641523369177826065741282684836259427768736104842583031935563965283891432\ 415317763570469247174501937545967969134598293431676639529784631868298502\ 537476824923152240441195184734045545744858509932981240316144766961776756\ 069997718308470846500344420656523823259095551228962227453351863173137753\ 880721104301057819700016362803005716093373286702643425396232330107122586\ 665263959721853548363136028888305294015679104321477805222831453028623379\ 914290806435746388405839310505314214411049602748162974297125433749907547\ 404451319756947122729311649868710549974429736958806823663982309288498103\ 556935243793088148861736757297898808161112074600761270411241467348451522\ 432064781176989595459463910171114875499131379069395772159117287184133805\ 246985149521533778814963952511015548403730110391946423382132035124870343\ 073911527061090190286432680572411708823434609346093935756297459612414930\ 446841700672835116202125571441136132256956609835236458846341816811780044\ 412385710429994499884565197668585320679698343223386643470146068938913391\ 654267449474802640441510571715407070956054624868001367204950790504084095\ 836062241473154431747365948596366218075566251334574114730130472711476044\ 478636103424689190110232373698320038887168842529772916219951138965683416\ 504543617090613403476013601005876724420428075765232313093161760002716773\ 029838208104900137905042634813268685636804284226220527197709241289481590\ 319570428098398188151373569382565416248851383730878132512074164107538448\ 083695162570764229701545398841399684025292400513470377604627914626775274\ 053667959972219004385802699324354750999015538083207865773131559746477797\ 338278261012104267103568400233465003340932783249430609517147304314584359\ 637867017372968418286553830569023055097700343777415279142235063905169502\ 826400833390718680091503031606660102403392654737050949436834513306410264\ 184368594330407501002750540344632636043819611726943564693670969214193357\ 229301668387044880939276017810503949263270042166482287077293501530295718\ 611437680901737663897414155715466764751351680259041112060295046975335335\ 428527263066363252551138748558923413438873828050799891538612203232256806\ 078008997380610865769500214751634924545470727185632682474786052524158273\ 301078129697659027319651135158278891455078392180675507725348131805275377\ 466824703933857622425353964696369295351020183333568538618040053372437146\ 287323888170834434183893801768771922336571450796452893612190600746199110\ 484421544314990656553724661617917865221743369402993243287413095051096035\ 468534069363526799474998565665690693026896763104715712818017070088341215\ 334555539964166445202799954118549956254355827117854349574621772214229929\ 884585398034594917949698926235909659268056593793063730815315315876657656\ 309230680042476432851311652202716300852630871333714290862975390824793754\ 147052611721419828075995022884910681891112764339708162951178849960974235\ 051721920781578703700072463951223518043165059938473187100666498994999866\ 757345921081371698873855399936928852472926095006655332197072103345185001\ 580159921793384768557669773935789116403438794676626869013424222327155062\ 662991494969587416104939190210051242851767484723972561914213224473479709\ 985600814024211015758549737538126738268325904423406716815979846674748025\ 845303843258742899426007948887983902276169111238205687324516130191787567\ 765869483577959862468832246053247668961342397960991425689574710240467831\ 687829572655614056571876145173020113807643790098043189725903067516459731\ 311697468268282225900826790153497224935537733133435320111167791242792914\ 570847654391646682581240531716383621930393872276995878490435232453607357\ 606759861249951115298732655374388831349018551613378724717549965413377445\ 738011669781970676590673713125629985905024721487116791427414751451692650\ 801900758868799456347002448769663133340403320639290932316505817468786237\ 017248268659430095288742555772062887251497461058480624547718402887283272\ 133096872189106930532874726169898230340075527861599245615615306206020478\ 074071821015685452038115981030037607906363237216797497049963498203834882\ 302288138817093059331704062607749910629909549874898213795155534296958677\ 889333050920844688890123681715627980829796915677368078016590568710689287\ 640344689503623430916908604654416716138228398295827768646764186550038211\ 623062590025263040996649650969857887744612625278000277578958347162698188\ 073679389493808341687990274345237098144409392345527812439696517822755852\ 076454002141782378776753289789690978176072977514285762807838503482275403\ 384398877249817511103996115684868822847217233850488975213126206503632017\ 624983564647877482188545797226115394702665435538674797051195010697345980\ 417730431577610663672134017520239073934243464859289201807344433132868976\ 556789421274376854605404306355902654061533876594368855779697380486472248\ 906089835271853229561616416665043149040098957842388108121730898682663275\ 942105447122287019723146041799768442105439679307172941580084431023319072\ 346850618459168857288222087107760017224159268464008103677187522785352187\ 386018630524774030629620173266183476726067694780613000300692578490045254\ 654163142153515868124829189291961580270651494666357432854406689102013246\ 714906823316009147698655870466224259084913531493565215052046052126110342\ 787533566138154311373688731393964503504236484749431330377967644647058045\ 751418860463140853954055475763747650288871065398808184241851935889531101\ 440379047168982974564738890614431990404387386824672008042348602669149466\ 946267107895329639198736103554945607643517294961338607586563886487946235\ 515719333304966758545338412509113304829414605187430372569349748223140876\ 748843534031631229281426242538953039712940627239768454014485858697697771\ 972463097873297660082008776781161450773267222745938499078469415399549182\ 168140443477478766168540104479897363770493957774021335273887890870708971\ 338895801938318438940738667221414145545796266709885193153655400001170486\ 090478308970453479316979856729832135243984651317823556848590307300174135\ 163490311508935325554397915501958177288140165332942339274913709103113588\ 387292524115219037740647415553002155922499966531063548732861190071358520\ 369466314165410261920199450602154453704867028682374421126359735468924626\ 187514538981526969659229059263281661278485119559440697555589413028108104\ 749092763206452068219960431988441463190465515649119947401232276652260611\ 6272865636760165273651313000001 This ends this article, that took, 9.797, seconds to generate. ---------------------------------------------------- -------------------------------------- This took, 10.647, seconds.