These are the generating function enumerating words in the alphabet {1, ...n\

    } from n=, 3, to n= , 10

          according to the occurrence of the CONSECUTIVE pattern, 123

For any partition lambda, m[lambda], is the monomial symmetric function asso\
    ciated to lambda



                      Hopefully we can detect a pattern.

                             when n=, 3,  we have

                                        1
                    - --------------------------------------
                      t m[1, 1, 1] - m[] + m[1] - m[1, 1, 1]

                             when n=, 4,  we have

      2
- 1/(t  m[1, 1, 1, 1] + t m[1, 1, 1] - 2 t m[1, 1, 1, 1] - m[] + m[1]

     - m[1, 1, 1] + m[1, 1, 1, 1])

                             when n=, 5,  we have

      3                     2                    2
- 1/(t  m[1, 1, 1, 1, 1] + t  m[1, 1, 1, 1] - 2 t  m[1, 1, 1, 1, 1]

     + t m[1, 1, 1] - 2 t m[1, 1, 1, 1] + t m[1, 1, 1, 1, 1] - m[] + m[1]

     - m[1, 1, 1] + m[1, 1, 1, 1])

                             when n=, 6,  we have

      4       3                       3       2
- 1/(t  %1 + t  m[1, 1, 1, 1, 1] - 2 t  %1 + t  m[1, 1, 1, 1]

          2
     - 2 t  m[1, 1, 1, 1, 1] + t m[1, 1, 1] - 2 t m[1, 1, 1, 1]

     + t m[1, 1, 1, 1, 1] + 2 t %1 - m[] + m[1] - m[1, 1, 1] + m[1, 1, 1, 1]

     - %1)

%1 := m[1, 1, 1, 1, 1, 1]

                             when n=, 7,  we have

      5       4         4       3                       3       3
- 1/(t  %1 + t  %2 - 2 t  %1 + t  m[1, 1, 1, 1, 1] - 2 t  %2 - t  %1

        2                    2                       2
     + t  m[1, 1, 1, 1] - 2 t  m[1, 1, 1, 1, 1] + 5 t  %1 + t m[1, 1, 1]

     - 2 t m[1, 1, 1, 1] + t m[1, 1, 1, 1, 1] + 2 t %2 - 4 t %1 - m[] + m[1]

     - m[1, 1, 1] + m[1, 1, 1, 1] - %2 + %1)

%1 := m[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

%2 := m[1, 1, 1, 1, 1, 1]

                             when n=, 8,  we have

      6       5         5       4         4         4       3
- 1/(t  %3 + t  %1 - 2 t  %3 + t  %2 - 2 t  %1 - 2 t  %3 + t  m[1, 1, 1, 1, 1]

          3       3         3       2                    2
     - 2 t  %2 - t  %1 + 8 t  %3 + t  m[1, 1, 1, 1] - 2 t  m[1, 1, 1, 1, 1]

          2         2
     + 5 t  %1 - 7 t  %3 + t m[1, 1, 1] - 2 t m[1, 1, 1, 1]

     + t m[1, 1, 1, 1, 1] + 2 t %2 - 4 t %1 + 2 t %3 - m[] + m[1] - m[1, 1, 1]

     + m[1, 1, 1, 1] - %2 + %1)

%1 := m[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

%2 := m[1, 1, 1, 1, 1, 1]

%3 := m[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

                             when n=, 9,  we have

      7       6         6       5         5         5       4         4
- 1/(t  %1 + t  %4 - 2 t  %1 + t  %2 - 2 t  %4 - 3 t  %1 + t  %3 - 2 t  %2

          4          4       3                       3       3         3
     - 2 t  %4 + 11 t  %1 + t  m[1, 1, 1, 1, 1] - 2 t  %3 - t  %2 + 8 t  %4

          3       2                    2                       2         2
     - 9 t  %1 + t  m[1, 1, 1, 1] - 2 t  m[1, 1, 1, 1, 1] + 5 t  %2 - 7 t  %4

     + t m[1, 1, 1] - 2 t m[1, 1, 1, 1] + t m[1, 1, 1, 1, 1] + 2 t %3 - 4 t %2

     + 2 t %4 + 3 t %1 - m[] + m[1] - m[1, 1, 1] + m[1, 1, 1, 1] - %3 + %2 - %1

    )

%1 := m[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

%2 := m[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

%3 := m[1, 1, 1, 1, 1, 1]

%4 := m[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]

                             when n=, 10,  we have