On the Regev Sequence for d-sums for d=, 2, s= , 2, a= , 1 By Shalosh B. Ekhad Let 's define the sequence, A(n) to be the sum of the number of Standard Young tableaux raised to the, 1, -th power , over all magnifications by a factor of , 2, of all shapes with at most , 2, rows The first, 120, terms of this sequence are [1, 3, 14, 84, 594, 4719, 40898, 379236, 3711916, 37975756, 403127256, 4415203280, 49671036900, 571947380775, 6721316278650, 80419959684900, 977737404590100, 12058761323277900, 150656212896017400, 1904342169333848400, 24328661192286773400, 313839729380499376860, 4084744785475422658824, 53602092541025062012944, 708738779153553597726704, 9437048867251504308646704, 126478149186382230159563872, 1705415043867992651828958016, 23126253195677658419761233096, 315270398678954138836063173911, 4319373055697756704267346799786, 59454899707839709929327008891172, 821987581675053767435616265781124, 11411557327578899600164726716835244, 159047565712116725864031283601069304, 2224948807249395385029080007838980304, 31234858255616512135985161648508761960, 439954405917525262403205630536922195900, 6216591524265519561437165738806266475400, 88106243995072114448807139673579843136400, 1252300799955327326510212262210311385636400, 17848448775120877350564742444229791566999600, 255051746264770798081983131159573543261762400, 3653775525121406641163358713355370851944174400, 52467957407727433309897237977775086045914660400, 755163815546934129424592389465834274160843147900, 10892852751603531483210242874988809489324161978280, 157455118597688694302403746028269614814309259027216, 2280605586566522671773730276183217362084180715593296, 33096916197501683882533423848412177653816724202057136, 481212046404765922334025448350848195852767829313767136, 7009169403188610707127926227494172711310012220913658688, 102270153564706547135821105410255883651386996496058383584, 1494707770708236164467520742355657106549030752047028731504, 21880785623471203090009114896262668278447335836681186476064, 320807357189011455707754913084538454957995246521907798912064, 4710611984939213408951723271789352793422766359945979487979968, 69269163122794662751306488111394253372134777456910550831443136, 1020025973726779576400254081411890205923038082001655842650642816, 15040813103627136836238872010496474219237916377615814109909478656, 222075814902066148346967392988312525600116973658785874402562272656, 3283091975114679837340984295380101039520960067311377710518648982775, 48595883547734771485117133509705458277291600063932980097420561866250, 720168575452319096554205335404346018052345801761568532732737281822500, 10684924281447533285925826130814787848170844340622253410579918635222500, 158707106356061698585409777218402428541074698164246821118954750538347500, 2359905668424917431139571469943201328741197685746626644464457594961515000, 35127931861182171339176156407725962635869980843367291580982006614739010000, 523428174047333402826237516801506656083624448513492436288450979627914685000 , 78072060754594272161274194001466734798957043884443974572430371002492388\ 97500, 116561789040717090676621367912001019900138532087526387212433437284\ 209851085000, 17419161771237973875169326584903359622554035768179168568286\ 89961865290999818000, 260553988178201693438059085022607094985781945542974\ 72142669141429585036955172400, 390082980387365119027601376572123253689240\ 051485152106863214083890773113075284400, 58451395109792393026986369440534\ 13975860280997911713121755213901737265581805410400, 876600182552115323662\ 74981706242144163778040827493870984687248797037355882148910400, 131573248\ 919135537345962733617945091698987103685064376607712538305173474350959582\ 9200, 1976441365708125494638273532464625806478303190232124447375731246701\ 4793199571613891100, 2971268040480092545778694501108970431021853811367932\ 70580188973871779754676848056346600, 447026097962091619626146344601166817\ 8885009445619024938925805196675692001159349629395600, 6730525466907154546\ 0980829153002987962409238600906524080453187479265740210226513094795600, 1\ 014103543039035974886879215725498801820166090852314266186996345801037581\ 486858302344273200, 15290628250856709323123368968162035285447155476572103\ 750907077597016465421543299874744978400, 23071232350918412575595340411036\ 4673542461945477302584422267014712962151078437076912551470400, 3483466790\ 539139002205484548268249059928739687747422877334950082648847024041668278\ 837944066400, 52630948960428676763148544122277636332927429102467829918386\ 020579673565634435481457029059916400, 79570635694231120549529197168636975\ 7792448397541679675794824855455489238243462772090664064404000, 1203760898\ 964009259595441700756302966916780909101515406971658114663432437342674450\ 0858764051240000, 1822205282459469917427729546347919106585015267227105238\ 36994954834598805123401598672101395812440000, 276005745424985347614497473\ 455475601375633051158910624674838688250872682898227601466919734592204000\ 0, 4183087762851425151697551962144002902935297896836694862093196921040336\ 7081390953298507354696397040000, 6343490983710414266997564240913111681024\ 61412306411218616641351676688014575807715082179840200009760000, 962513467\ 462551673538511995238548678092309322751767373159767875493641309835529294\ 0029829636719007740000, 1461259170125814596128506419575430667088337130327\ 13549267979708005033354009953229544447709987353904877500, 221965052734575\ 136148297720346111810019869059826127768357870796518985863513793462374290\ 6746405844145665000, 3373447841251141308528014374404749393016876170839228\ 1694397819715849828434174266763568242173885233041290000, 5129685232544917\ 298846538221443343167926874128870074834620856343458619366142014261199558\ 76450169998185434000, 780423200824605932812632735749489218993706414497203\ 6624632086987483677740607741696791328710429021972393444400, 1187921985708\ 678951040716021727323853706475347215448463581641258669472407163833421624\ 19126163831857264119666400, 180908781672802015468028174959342192364002693\ 3686302040540722204664771628179941862994328051561816279728735022400, 2756\ 393210827236981755770583594488228165945443435481036601310235882624224967\ 3699714621944543643312046964740522400, 4201732727786647142702065671658777\ 568319627092621521733998663936492872055751542174446857956716910003056548\ 26681200, 640792554550319394431490231003918153141575474125406198678286807\ 3497754741628632243401704129138619082828557976717600, 9776973474699512594\ 353574982868104764367476542792258287222261381193206255936502089447643298\ 8511400945304850554305600, 1492401361234938753542396341881275707870686563\ 034253368668101435269086890552245779309628320650870290857389617374289600, 227906878620393654096010597326436201627020952098023952252974797163773605\ 57964519897897596199460436113490880589076689600, 348190008554492990469618\ 191978787184437345271103553190773143647576814420934774041275803308742048\ 597770580442561056547200, 53218033903717839378738859121278676789268938978\ 988612991059842351175354000694129060516309154333422863182409656629297984\ 00, 813732504892658584554635393185497605230510871009805616207894751626417\ 74394304604097262437578551713472555265576318987390400, 124474840405498681\ 522945001247739881781136206213664924206213331491678231318266388549412285\ 5993781409721302875672649390236400, 1904826443007045962271479117060197048\ 228453858353686837340416586214680414239441834150189619995079311140970955\ 4968228504586400, 2916084417326576084118122492707715847287953389562051474\ 09780022008608969594093040514067930383686054726157796161870591980968000, 446593737975876682147925356267006257571910702764263205515877499972704741\ 2899041092730440642982538304389358152613955168044360000, 6842110899263188\ 201619688710529851543578141485940080817073934595072534797074295700660374\ 1804939961295924551973867147509711160000, 1048647905143049087867535602197\ 069728534666395667809170338676129638539818138296880397604327897875999592\ 383854806779149968480560000, 16077873863698712735021896800185980344372980\ 889909839901762872902872846782981784074530767053253775794348633020158175\ 242487830560000, 24659495333524454224261175330369281617819119569384125597\ 227622011114922285775002437000900560249593658811187703606747490263898104\ 0000, 3783500255098194154325691900895088539130677312443109848863890930878\ 913489548867109445634040504410795668014047251729480634291473560000, 58070\ 398306334375147939348690529874033865046743995412862538239804301394604665\ 080525763188986937092724298420181135269738942737281360000, 89158919686700\ 084610053539790106096614063516657534100638926831253843956492978914386337\ 0364509819966367283674267149247419262354969760000] The Amitai Regev asympototics is (2 n) 24 4 --------- 5 Pi n the sequence of ratios of the terms of the sequence to the asymptotics are [0.0081812308687234198918298004772903720942634619775394, 0.049087385212340519350978802863742232565580771865236, 0.10872088834139482215626945790524158540892303768589, 0.17180584824319181772842581002309781397953270152833, 0.23172622375591809347853190820267109985315782616894, 0.28630238397491192285459574322256419729057355738824, 0.33518997651460948718505379014725476910908943719625, 0.37873745968398374830297439133370258197510965167408, 0.41751249180256795606868478898354782425068853507823, 0.45211116557811128630080914656611670478153716507123, 0.48308595361527958203194051505670736904829063423654, 0.51092337583797337600096802957041410153452534468932, 0.53604203113982207318207754234960418418900813012507, 0.55879836621801878397997647569703168157741828599280, 0.57949476696470073188141628428120163341829224070320, 0.59838772052498537234842594741721996052691574258717, 0.61569519276692239860461226801331249797056479289569, 0.63160297654138317049418297904411938133138927692990, 0.64627002253847764952976844313001233223002135518808, 0.65983286120980477031543578113677191148584461874011, 0.67240925004990252063191000363990586825334194641419, 0.68410117647641445496511355627645603859752232482704, 0.69499733139207076839529444109564427832984865507352, 0.70517515065595352641069006038049222442043442884726, 0.71470250468026986020194422943600669089317826857229, 0.72363910149134087290305467814946773310570704580605, 0.73203765612445084670130758290114805925367462192047, 0.73994486901024425160245141331910376123705153130220, 0.74740224775343661932703370302895680896156217044391, 0.75444680007416779075690660909149467872543048793144, 0.76111162037510717437042667682998000317222547286840, 0.76742638815310566011627066412782637143961807402532, 0.77341779307769088370403673013751313512135287431574, 0.77910989883610109276328383942858090128576578670104, 0.78452445565696526625012707850549182136271174329144, 0.78968116966204621277274237976795210472076698734066, 0.79459793577068172605856922275708638798027587192951, 0.79929103972607014101890042547704438025851651344296, 0.80377533387222199250264481979906340251232061921887, 0.80806439054249124009042314734364518165455039285933, 0.81217063629128596970578955497428970480031408544367, 0.81610546968301721251458761021597428923063238766111, 0.81987936492524647615176685579301264493373680560066, 0.82350196327932706913268155496275175661950301497330, 0.82698215388799257211114596658639826070189615032231, 0.83032814541440584562477420807365858619646045929435, 0.83354752968234946126947166965689343399173215009848, 0.83664733833540908028881120994064904095408742155120, 0.83963409338841715615389305694320107390871089722011, 0.84251385242240350257056182683514751199235563152353, 0.84529224907102250335581840745565999378577131719114, 0.84797452935876860782893358029765789068473146616747, 0.85056558437668658392845231095418605276008664304031, 0.85306997971761816589257272578252722884001353054592, 0.85549198203855742059988382231005431572927855495181, 0.85783558307096808347140578228628040134450189255383, 0.86010452135974665988857564641478232318317137125630, 0.86230230197689506755116979953109134956014881217215, 0.86443221442606051052782944129473216677682739664757, 0.86649734892820832487852462174560638903109515199283, 0.86850061125622803958781099838783219641216672128519, 0.87044473626673907419214885895278611155000119753286, 0.87233230026034274041079067330819353788917208874427, 0.87416573228670820519526699969443551411714372689388, 0.87594732449788216120515690598811760412982274304483, 0.87767924164182042832995312078511531888498823152430, 0.87936352977813757656273279790822264029759723828320, 0.88100212428927263672246753282956735766375650921533, 0.88259685725251651614376220588194810339971769795184, 0.88414946423150392680208082106927268058637907001167, 0.88566159053972266946050402629323900962643043093804, 0.88713479702323545117573467441416937943463234297512, 0.88857056540505731466174915337615414253160436877426, 0.88997030322941027348401293480493467777411454688051, 0.89133534844032098176475256433648749118226056741488, 0.89266697362568093271825147604996656822246030315513, 0.89396638995490286772994407328224599685509003273313, 0.89523475083563921616821741213961554221065615842302, 0.89647315531264135963987430059176050489023836722591, 0.89768265122969990941401231087404897693823530027349, 0.89886423817368764985306950613118442360904266157446, 0.90001887021800349485471384717248994702349582650396, 0.90114745848116593400538347085806510554054825326599, 0.90225087351490885847360633980664668407540444866403, 0.90332994753487449917921436487152790992535214186431, 0.90438547650586262753149049825222022574560716442380, 0.90541822209256905274917628771366105408649164404721, 0.90642891348581821396847166906635414555568200163956, 0.90741824911345405739168347387251905150323384757166, 0.90838689824429132356097565480185203406531860593718, 0.90933550249283778657843351085954009018048503226600, 0.91026467723186972452911305696428779242256714051390, 0.91117501291937158866396874202627388136679829288841, 0.91206707634583080526580405437615725433927197433119, 0.91294141180740483050024260272138585140719310697753, 0.91379854221004546975592312503630078461196579103219, 0.91463897010927103380390559493722688025183361006221, 0.91546317868991652427492918748005977233231900190277, 0.91627163268986248680487084546482536047359915393802, 0.91706477927144154228125950261012595782451436484684, 0.91784304884394530239969818248535909045158694006503, 0.91860685584040105675536493442652240490994674455239, 0.91935659945155518164435107641050419262921500376686, 0.92009266431978677193422785935256956061310802383936, 0.92081542119547883013087732136425823889576286120885, 0.92152522755819392155599018537276938863756838514840, 0.92222242820483513120914565132311832018293446737208, 0.92290735580682018002069297264792197735117238599236, 0.92358033143815553925093785269689444370627911327918, 0.92424166507616729269166149556373940313778202641631, 0.92489165607652540451526152458354330111597460345796, 0.92553059362408711025399523281707800929728962936505, 0.92615875716098259164051059230478164273765637002209, 0.92677641679327122529240468589770719530298250878611, 0.92738383367740887615274390165601524797930212210279, 0.92798126038768536195652797300255653673292458489626, 0.92856894126571581905429544980487080218017579037713, 0.92914711275299977351277070051839220628428119908480, 0.92971600370749682744537253513191752590138024244674, 0.93027583570510761001254392747119475027633240310630] this should tend to 1 The sequence, A(n), satisfies the following order-, 1 linear recurrence equation 4 (2 n + 1) (2 n - 1) A(n - 1) A(n) = ------------------------------ (n + 3) (n + 2) Thanks to the recurrence we can now easily get many more terms of the sequence For example, the first 100 terms are [1, 3, 14, 84, 594, 4719, 40898, 379236, 3711916, 37975756, 403127256, 4415203280, 49671036900, 571947380775, 6721316278650, 80419959684900, 977737404590100, 12058761323277900, 150656212896017400, 1904342169333848400, 24328661192286773400, 313839729380499376860, 4084744785475422658824, 53602092541025062012944, 708738779153553597726704, 9437048867251504308646704, 126478149186382230159563872, 1705415043867992651828958016, 23126253195677658419761233096, 315270398678954138836063173911, 4319373055697756704267346799786, 59454899707839709929327008891172, 821987581675053767435616265781124, 11411557327578899600164726716835244, 159047565712116725864031283601069304, 2224948807249395385029080007838980304, 31234858255616512135985161648508761960, 439954405917525262403205630536922195900, 6216591524265519561437165738806266475400, 88106243995072114448807139673579843136400, 1252300799955327326510212262210311385636400, 17848448775120877350564742444229791566999600, 255051746264770798081983131159573543261762400, 3653775525121406641163358713355370851944174400, 52467957407727433309897237977775086045914660400, 755163815546934129424592389465834274160843147900, 10892852751603531483210242874988809489324161978280, 157455118597688694302403746028269614814309259027216, 2280605586566522671773730276183217362084180715593296, 33096916197501683882533423848412177653816724202057136, 481212046404765922334025448350848195852767829313767136, 7009169403188610707127926227494172711310012220913658688, 102270153564706547135821105410255883651386996496058383584, 1494707770708236164467520742355657106549030752047028731504, 21880785623471203090009114896262668278447335836681186476064, 320807357189011455707754913084538454957995246521907798912064, 4710611984939213408951723271789352793422766359945979487979968, 69269163122794662751306488111394253372134777456910550831443136, 1020025973726779576400254081411890205923038082001655842650642816, 15040813103627136836238872010496474219237916377615814109909478656, 222075814902066148346967392988312525600116973658785874402562272656, 3283091975114679837340984295380101039520960067311377710518648982775, 48595883547734771485117133509705458277291600063932980097420561866250, 720168575452319096554205335404346018052345801761568532732737281822500, 10684924281447533285925826130814787848170844340622253410579918635222500, 158707106356061698585409777218402428541074698164246821118954750538347500, 2359905668424917431139571469943201328741197685746626644464457594961515000, 35127931861182171339176156407725962635869980843367291580982006614739010000, 523428174047333402826237516801506656083624448513492436288450979627914685000 , 78072060754594272161274194001466734798957043884443974572430371002492388\ 97500, 116561789040717090676621367912001019900138532087526387212433437284\ 209851085000, 17419161771237973875169326584903359622554035768179168568286\ 89961865290999818000, 260553988178201693438059085022607094985781945542974\ 72142669141429585036955172400, 390082980387365119027601376572123253689240\ 051485152106863214083890773113075284400, 58451395109792393026986369440534\ 13975860280997911713121755213901737265581805410400, 876600182552115323662\ 74981706242144163778040827493870984687248797037355882148910400, 131573248\ 919135537345962733617945091698987103685064376607712538305173474350959582\ 9200, 1976441365708125494638273532464625806478303190232124447375731246701\ 4793199571613891100, 2971268040480092545778694501108970431021853811367932\ 70580188973871779754676848056346600, 447026097962091619626146344601166817\ 8885009445619024938925805196675692001159349629395600, 6730525466907154546\ 0980829153002987962409238600906524080453187479265740210226513094795600, 1\ 014103543039035974886879215725498801820166090852314266186996345801037581\ 486858302344273200, 15290628250856709323123368968162035285447155476572103\ 750907077597016465421543299874744978400, 23071232350918412575595340411036\ 4673542461945477302584422267014712962151078437076912551470400, 3483466790\ 539139002205484548268249059928739687747422877334950082648847024041668278\ 837944066400, 52630948960428676763148544122277636332927429102467829918386\ 020579673565634435481457029059916400, 79570635694231120549529197168636975\ 7792448397541679675794824855455489238243462772090664064404000, 1203760898\ 964009259595441700756302966916780909101515406971658114663432437342674450\ 0858764051240000, 1822205282459469917427729546347919106585015267227105238\ 36994954834598805123401598672101395812440000, 276005745424985347614497473\ 455475601375633051158910624674838688250872682898227601466919734592204000\ 0, 4183087762851425151697551962144002902935297896836694862093196921040336\ 7081390953298507354696397040000, 6343490983710414266997564240913111681024\ 61412306411218616641351676688014575807715082179840200009760000, 962513467\ 462551673538511995238548678092309322751767373159767875493641309835529294\ 0029829636719007740000, 1461259170125814596128506419575430667088337130327\ 13549267979708005033354009953229544447709987353904877500, 221965052734575\ 136148297720346111810019869059826127768357870796518985863513793462374290\ 6746405844145665000, 3373447841251141308528014374404749393016876170839228\ 1694397819715849828434174266763568242173885233041290000, 5129685232544917\ 298846538221443343167926874128870074834620856343458619366142014261199558\ 76450169998185434000, 780423200824605932812632735749489218993706414497203\ 6624632086987483677740607741696791328710429021972393444400, 1187921985708\ 678951040716021727323853706475347215448463581641258669472407163833421624\ 19126163831857264119666400, 180908781672802015468028174959342192364002693\ 3686302040540722204664771628179941862994328051561816279728735022400] The ratio of the last term to the Amitai Regev asymptotics is: 0.97135521848797963945355863106277956489014207834277 Using the Poincare-Birkhoff-Trjitzinsky method, and using the Berele-Regev constant one can deduce the following asymptotics expression to order, 10 n / 35 1525 26705 1651923 23628045 641785825 8411261705 24 16 |1 - --- + ----- - ------ + ------- - -------- + --------- - ---------- | 4 n 2 3 4 5 6 7 \ 32 n 128 n 2048 n 8192 n 65536 n 262144 n 860138846083 10800985980785 267823722150075\ / 5 + ------------ - -------------- + ---------------| / (n Pi) 8 9 10 | / 8388608 n 33554432 n 268435456 n / The ratio of the last term to this more refined asymptotics is: 0.99999999999999999999823717868633313312255603786083 This took , 94.461, seconds