A One-Line, Purely Empirical (Yet Rigorous!) Proof of Krewaras' Latice Walks in the Quarter-Plane Celebrated Theorem By Shalosh B. Ekhad (c/o D. Zeilberger), and Manuel Kauers' computer Theorem (Kreweras) Let f[i,j,n] be the number of walks from the origin, to the point (i,j), with exactly n steps, staying in the first quarter-plane i>=0, j>=0, using the steps (-1,0),(0,-1) and (1,1) [i.e. South, West, and North-East ] Then n 4 (3 n)! f[0, 0, 3 n] = ------------------- (n + 1)! (2 n + 1)! Proof: By using the obvious recurrence f[i, j, n] = f[i + 1, j, n - 1] + f[i, j + 1, n - 1] + f[i - 1, j - 1, n - 1] For n>=1, i>=0, j>=0 subject to the initial conditions f[0,0,0]=1, f[i,j,0]=0 if, (i, j) <> (0, 0) and boundary conditions: f[-1, j, n] = 0, f[i, -1, n] = 0 the computer first generates lots of data and then using the quasi-holonomic ANSATZ as described in Manuel Kauers and Doron Zeilberger's seminal paper : The quasi-holonomic ansatz and restricted lattice paths finds the following partial recurrence equation (105764487481916448408 i j n - 22201185283200 n - 300633833530171806750 i 2 + 673718496871351085100 j - 7132503474019513872 i j n 2 2 + 11567455971310164384 i j n - 71673742795992632613 i 3 4 + 5326935233804465688 i + 1486932683670374356 i 2 3 - 389900285264404584612 j - 6997082675214766464 j 4 2 3 + 20702089173450648256 j - 5800874032800 n - 636188968800 n 4 2 - 25057771200 n + 7267822572308927856 i j n - 29317592304000 2 + 358179337608147953532 i j - 16841973105207217008 i j 3 2 - 11025800197666925408 i j + 15887393720472328416 i j 2 2 3 + 31437630704148997344 i j - 41018566946937314432 i j 2 - 154185617622273951825 i n - 20413626648190997562 i n 3 + 1574886432129828312 i n + 353599552101703391370 j n 2 3 - 117446050822862028168 j n - 7199789048662220736 j n 2 2 2 - 25742388987464821650 i n - 1311333925353028044 i n 2 2 2 + 60462306438935557140 j n - 8323444683527527536 j n 3 3 - 1399287644304894800 i n + 3373908408510255520 j n ) f[i, j, 6 + n] - 2 3527193600 j (n + 1) (16843 + 5053 i - 9982 j + 1018 n + 62 j n + 88 n ) f[6 + i, j, n] - 2 3 195955200 j (146862 + 121283 j + 38466 j + 4960 j ) f[i + 1, 3 + j, 5 + n] - 11664 (-277215592692480 i j n + 55335911400 + 110845835100 n 2 + 6899315729597022 i - 13890238435916844 j - 81781248017280 i j n 2 2 3 + 165086528651520 i j n + 143693631158720 i - 17358455208640 i 4 2 3 + 3429073388160 i + 561888083129600 j + 135819576435200 j 4 2 3 4 + 54865174210560 j + 72563129100 n + 18619316100 n + 1566110700 n 2 2 - 24346820990560 i j n - 568343523412640 i j + 103388714943360 i j 3 2 2 2 - 27432587105280 i j - 205253397269760 i j + 82297761315840 i j 3 2 - 109730348421120 i j + 12655932970789527 i n + 71103437692800 i n 3 2 + 13503205284800 i n - 25472999121480174 j n + 269994654821760 j n 3 2 2 2 - 111073707512320 j n + 6750536833164462 i n + 6278494461760 i n 2 2 2 3 - 13584321033035484 j n + 23581323402880 j n + 1045355692794357 i n 3 - 2104432549116954 j n ) f[i, j, n] - 54 (31180491642896261496 i j n - 9512904416400 n - 25631768921833334454 i + 56503567200559815948 j 2 2 + 78246660707863800 i j n - 1798045360302281520 i j n 2 3 4 - 13808667046076481950 i + 40892540852271474 i + 152429864558251266 i 2 3 4 - 68132112312700650200 j + 7200545654043486288 j - 285155694478990944 j 2 3 4 - 3199042123200 n - 467049013200 n - 25057771200 n 2 + 3634106076921351608 i j n - 10319625439200 + 63593364639896830760 i j 2 3 + 2684352335186707236 i j - 636188978589535728 i j 2 2 2 - 9130403228609127672 i j + 645351581606763024 i j 3 + 177191608554652608 i j - 25874988361443058643 i n 2 3 - 6394487064162705504 i n + 204423092398178540 i n 2 + 57926086236902626486 j n - 34194599971074157536 j n 3 2 + 1649805406655213600 j n - 7740591463822032441 i n 2 2 2 - 655717190632208102 i n + 17813937154094120682 j n 2 2 3 - 4161911018674302008 j n - 708006667694802256 i n 3 + 1703789664648063392 j n ) f[i, j, 3 + n] - 162 ( -6478085079968617696 i j n + 38174114510730219462 i 2 - 88215840851998741572 j - 383793052917889632 i j n 2 2 + 116359609239023640 i j n + 1583523138856961910 i 3 4 2 - 1107870676280635836 i + 232801727443477920 i + 15405794444251527384 j 3 4 + 357844671276917712 j + 106893228801588480 j 2 - 581035875060282360 i j n - 12148977650086313256 i j 2 3 + 2312251125605343648 i j - 994037868143159040 i j 2 2 2 - 373415619849672888 i j + 1209116522674405440 i j 3 - 357941940579025920 i j + 31186518838842243491 i n 2 3 + 74925755166383758 i n + 182687078762633996 i n 2 - 74316451835963302270 j n + 6930983948148927472 j n 3 2 - 160307046709037200 j n + 8630879131252331275 i n 2 2 2 + 32900789180128884 i n - 19815232957102847654 j n 2 2 3 + 820637754444053880 j n + 691280945474924032 i n 3 - 1670118677306645504 j n ) f[i, j + 1, 2 + n] + 3 ( -36668030653432203016 i j n + 377608135774516961445 i 2 - 865265432635379724066 j + 923168086354624320 i j n 2 2 - 15374451697778048976 i j n + 28842891657568501392 i 3 4 + 919630200543216224 i + 3073941210789096752 i 2 3 + 153215514570085019748 j + 69769718574924348140 j 4 2 - 565575594414277504 j - 1162071620528859120 i j n 2 - 159856602854733317826 i j + 17656045785879866358 i j 3 2 - 12801832833033652192 i j - 76704875353420962402 i j 2 2 3 + 12853896534263876448 i j + 1184951363986199168 i j 2 + 181227115330454937771 i n + 6901173198086506984 i n 3 + 1757180898199506456 i n - 419604252667344078678 j n 2 3 + 28497943245313242760 j n + 10361391979979722464 j n 2 2 2 + 27630972444628523030 i n + 65801578360257768 i n 2 2 2 - 64682246090004341068 j n + 1641275395495365360 j n 3 3 + 1382561890949848064 i n - 3340237354613291008 j n ) f[i, j + 1, 5 + n] - 972 (695097876662397024 i j n + 406193965431101550 i 2 + 2742808611095425692 j + 448558418418419520 i j n 2 2 - 38309983033800960 i j n + 1475591415173900566 i 3 4 2 - 539905791525783360 i + 4935625662060800 i + 1297083581614871872 j 3 4 2 + 394027846555298880 j + 35873029604679680 j + 16198963200 i j n 2 - 611850160207694272 i j + 1412977478096367360 i j 3 2 - 33829551436925440 i j - 863362542576533760 i j 2 2 3 + 85086387791247360 i j - 92276089933619200 i j + 87363575524654833 i n 2 3 + 108213950734687389 i n - 215733144808540320 i n 2 3 + 1173087363451765314 j n + 10528316535065376 j n + 8361457736113920 j n 2 2 2 - 425096992141370451 i n - 138340483041315447 i n 2 2 2 + 250188082029934074 j n - 8099481600 j n ) f[i, 2 + j, n + 1] + 18 ( 2 3 -22133171976187577325 i - 9990666168706688606 i - 8417823285813584590 i 4 + 246190014540891072 i + 44661366149480042538 j 2 + 20272878892442227073 i j + 18677979175392646953 i j 3 2 - 984211350770639664 i j + 17781810008050749802 j 2 2 2 + 377103912541796121 i j + 1142747081710135704 i j 3 3 4 + 1379935961332088138 j + 26307476359285680 i j - 374251210155000 j 2 - 7745143991588196539 i n - 3518138967742572607 i n 3 - 1473806805123873600 i n + 8850266532141638698 j n 2 + 4089111279380074048 i j n + 3099238949402040960 i j n 2 2 + 1867383181778631872 j n - 850193984282740902 i n 2 2 2 - 276680966082630894 i n + 500376147860904948 j n ) f[i, 2 + j, 4 + n] - 419904 (-1460462105133360 i j n + 1162927592407646 i 2 2 + 1630201675982768 j + 162373206822400 i j n - 256950277367280 i j n 2 3 4 + 2053336350490650 i - 58164782122160 i + 1238276501280 i 2 3 4 + 906295994213960 j + 118647466973280 j - 762016308480 j 2 2 + 247677920 i j n - 1438078123749680 i j + 213809307644800 i j 3 2 2 2 - 4762601928000 i j - 254378472326160 i j + 4000585619520 i j 3 2 + 1524032616960 i j + 2520265785905983 i n + 2675755618883695 i n 3 2 - 32446731710960 i n + 1652060299722224 j n + 922393267743080 j n 3 2 2 2 + 123791077055520 j n + 1434492398786049 i n + 722624412958165 i n 2 2 2 3 3 - 1833411888 j n - 320987520 j n + 54054112 i n - 114301824 j n ) 2 f[i, 3 + j, n] - 432 (-831448312483168836 i - 431928476470298028 i 3 4 + 139002367041014712 i + 2233268248345652 i - 1143556599917760768 j 2 - 644613338576528934 i j - 282258505685792700 i j 3 2 2 + 19319159924071652 i j - 292702899727220808 j - 220616603108205066 i j 2 2 3 3 - 15995116629777615 i j + 73368412226725470 j - 25549576767454474 i j 4 2 + 11177168442143837 j - 397515531851422602 i n - 242816184272188738 i n 3 + 28799075891510208 i n - 218985132330254832 j n 2 - 42995570421779312 i j n - 69580200002268096 i j n 2 2 - 84469586139338800 j n - 51641817051871908 i n 2 2 - 26014550927172084 i n ) f[i, 3 + j, 3 + n] - 32256 (-262335466 i j n 2 2 2 + 1458000 j - 153434416 i j n + 11031304 i j n - 297089601 i 3 4 2 3 4 + 44976826 i + 37674888 i - 937388106 j - 283495608 j - 20430240 j 2 2 3 - 4422820 i j n + 1063067655 i j - 354432568 i j - 146970492 i j 2 2 2 3 + 670268236 i j + 127864152 i j + 41066880 i j - 297089601 i n 2 3 2 + 75485930 i n + 74384524 i n + 469957653 j n + 15667488 j n 3 2 2 2 2 - 9315936 j n + 30509104 i n + 35744384 i n + 63356058 j n 2 2 3 3 + 5731920 j n - 965252 i n + 2041104 j n ) f[i, 3 + j, 6 + n] - 10368 ( 1380308883722636 i j n - 77211626806357404 i + 68539580565724812 j 2 2 3 - 1863035306349408 i j n + 29784124858296747 i - 3948457246529908 i 4 2 3 + 311432774056940 i + 66638328369416958 j + 17370155087074940 j 4 2 + 1249206165560750 j - 130418064 i j n - 109617299138821881 i j 2 3 2 + 11793734677132836 i j - 1153936785576220 i j - 32825170642439100 i j 2 2 3 + 2157768460585605 i j - 2897864872354630 i j + 12092227540405918 i n 2 3 - 337312951343108 i n + 563884660278864 i n - 17309347895028398 j n 2 2 2 2 - 4352796592263032 j n + 29218963032 i n + 16816879296 i n 2 2 2 + 2012907456 j n + 377504064 j n ) f[i, 4 + j, 2 + n] - 96768 ( 2 228886554 i j n + 1536381801 i - 104834412 j + 124862308 i j n 2 2 3 4 2 - 2996836 i j n + 278395382 i - 458041368 i + 5181600 i + 246095163 j 3 4 2 + 91040766 j + 7146828 j + 517532 i j n + 1162288328 i j 2 3 2 2 2 + 1019540700 i j - 3390624 i j - 173768454 i j + 12404952 i j 3 2 3 - 15831456 i j - 561386077 i n - 488632032 i n - 61552048 i n 2 3 2 - 107736840 j n - 12384024 j n + 1889424 j n - 115948266 i n 2 2 2 2 2 - 66733648 i n - 7987728 j n - 1498032 j n ) f[i, 4 + j, 5 + n] - 62208 (-5309578383799610 i j n + 1460994774781068 i - 22178683810980 j 2 2 2 + 192300574051020 i j n - 710366334662760 i j n - 5816639044782786 i 3 4 2 - 1273064998296160 i + 165668546566600 i - 3166573907624610 j 3 4 - 1337811211056340 j - 140105208883640 j + 8888728564717770 i j 2 3 2 - 1405765711219980 i j - 392510190582020 i j + 3553476974483865 i j 2 2 3 - 5576719393560 i j + 360417756788740 i j - 7185082767638040 i n 2 3 + 1707106143355790 i n - 12036206147780 i n + 7400555865816300 j n 2 3 2 + 3422922845373920 j n + 380258412190360 j n - 7121123352 i n 2 2 - 3386612376 i n ) f[i, 5 + j, n + 1] + 580608 (-1292221741 i 2 3 4 - 816263861 i + 38256774 i + 1751144 i - 11540835 j - 47067275 i j 2 3 2 2 2 2 - 59369745 i j + 1225224 i j - 3149472 j - 3264333 i j - 947598 i j 3 3 4 2 + 70356 j - 83152 i j + 15876 j - 388426605 i n - 222408845 i n 3 2 2 + 4949760 i n - 148800 j n - 5911640 i j n - 9955320 i j n - 74400 j n 2 2 2 - 28258426 i n - 13438938 i n ) f[i, 5 + j, 4 + n] + 26127360 ( -9249514207902 i j n - 9695236400406 i + 8872878066030 j 2 2 2 - 454972954767 i j n - 1027655728638 i j n + 5083378741215 i 3 4 2 3 + 846603096622 i + 48986762688 i + 4412642953761 j + 480413134915 j 4 2 3 - 1530836334 j - 9319932679266 i j - 289642630695 i j - 61233453360 i j 2 2 2 3 - 1027655728638 i j + 18370036008 i j + 3061672668 i j 2 3 - 9603383451318 i n + 4801709344023 i n + 1067043528718 i n 2 3 + 8895840611040 j n + 4447852189443 j n + 494190661921 j n 2 2 2 + 2769048 i n + 4488264 i n ) f[i, 6 + j, n] + 17418240 (-4572936 i 2 3 4 2 - 6684138 i + 127308 i + 17936 i + 537435 j - 600804 i j - 55158 i j 3 2 2 2 2 3 + 22056 i j + 385767 j - 181650 i j - 9072 i j + 88701 j 3 4 2 2 - 16438 i j + 6609 j - 1615278 i n - 2618154 i n - 153836 i n 2 2 - 249348 i n ) f[i, 6 + j, 3 + n] + 1224720 (-100851585365946 i 2 3 4 + 972439858133 i + 2222816340256 i + 5451427112 i - 99666551128464 j 2 3 - 10958034163530 i j - 9902399558688 i j - 27454685616 i j 2 2 2 2 + 17475882176512 j + 12680818752608 i j + 38751635552 i j 3 4 - 3534264893952 j - 22587784192 j - 56110759683367 i n 2 3 + 1826654182159 i n - 6854271304 i n - 63647870689768 j n 2 3 - 7270682749462 i j n + 6789767037120 j n + 54832960832 j n 2 2 2 - 7497870788415 i n - 10141852683240 j n - 2410560 i j n 2 2 - 87105312352 j n ) f[i + 1, j, 2 + n] + 22680 (808295593446150 i 2 3 4 + 22824137471335 i - 18568539489700 i + 13603511440 i 2 + 946369196341968 j + 33786006401994 i j + 61547868344296 i j 3 2 2 - 27231670640 i j - 151926159800944 j - 22281212593064 i j 2 2 3 3 - 174101895344 i j - 53077996920016 j + 587819010816 i j 4 2 - 479075386816 j + 224689863873595 i n - 3653102114650 i n 3 + 13604490640 i n + 279429726807488 j n + 14540207916836 i j n 2 3 2 - 12267500638144 j n - 108833505920 j n + 14995741576830 i n 2 2 2 + 20283704562960 j n + 174215445824 j n ) f[i + 1, j, 5 + n] - 3265920 ( 2 3 4 -5403474469438 i + 5104644577028 i - 1028666132130 i + 680371704 i 2 + 315119817995 j - 11029158118342 i j + 4326495133584 i j 3 2 2 - 1814324544 i j + 1686465013794 j - 4994457364938 i j 3 4 + 912420139860 j + 3628649088 j ) f[i + 1, j + 1, n + 1] + 529079040 ( 2 3 72006005340 i - 31750679520 i + 3401858520 i - 13213349447 j 2 2 2 + 69624704376 i j - 14287805784 i j - 12222562217 j + 16328920896 i j 3 2 2 2 2 - 2721486816 j + 167310805 j n + 24145195 j n + 16740 j n + 16740 j n ) f[i + 1, 2 + j, n] + 88179840 2 (153689363773 i - 92173933418 j - 11927429530 j ) f[i + 1, 3 + j, 2 + n] + 2 176359680 (144502327503 i - 61526185274 j - 6158155820 j ) f[i + 1, 4 + j, n + 1] - 204120 j (13362271433659 + 3905371031572 j) f[i + 1, j + 1, 4 + n] - 3674160 j (514891438822 + 110537571325 j) f[i + 1, 2 + j, 3 + n] 2 3 + 391910400 j (27737 + 26917 j + 9480 j + 1240 j ) f[i + 1, 2 + j, 6 + n] 2 3 + 391910400 j (40974 + 21671 j + 6672 j + 1240 j ) f[i + 1, 4 + j, 4 + n] 2 3 + 705438720 (-57831594840 i - 19050407712 i - 13267248228 i 4 2 + 1530836334 i + 9922250819 j - 26194310604 i j - 3061672668 i j 3 2 2 3 - 3061672668 i j + 4538424585 j - 3061672668 i j + 503979040 j 2 3 - 113231815 j n - 54084417 j n - 6299738 j n) f[i + 1, 5 + j, n] - 2 3 440899200 (-451887 i + 368280 i + 620682 i - 2140914 j - 613056 i j 2 2 3 2 - 1780082 i j - 1996408 j + 1984000 j - 545844 j n - 558128 j n 3 2 2 2 - 24800 j n + 16740 j n + 6696 j n ) f[2 + i, j, n + 1] + 8164800 ( 2 3 4 -13006254 i - 17607583 i - 3149529 i + 30511 i + 31685690 j 2 3 2 3 + 21486993 i j + 4702939 i j - 56120 i j + 21616396 j + 3968000 j 2 3 + 6169880 j n + 2092096 j n - 49600 j n) f[2 + i, j, 4 + n] - 24494400 ( 2 3 4 -5484582 i - 6788813 i - 1900379 i + 8710 i - 20446086 j - 436212 i j 2 3 2 3 + 4211242 i j - 21704 i j + 9984856 j - 3486720 j - 879288 j n 2 3 - 482400 j n + 43584 j n) f[3 + i, j, 3 + n] + 48988800 (-2350296 i 2 3 4 2 - 2072412 i - 411804 i + 837 i - 2150298 j - 1248306 i j + 452430 i j 3 2 2 3 - 2232 i j + 11874984 j + 2424384 i j - 2949120 j + 118220 j n 2 3 2 2 2 3 + 503832 j n + 36864 j n - 226512 j n - 13392 j n - 14912 j n ) 2 3 f[4 + i, j, 2 + n] + 97977600 (368280 i + 276210 i + 46035 i - 28158 j 2 2 3 - 912888 i j - 183582 i j + 473652 j + 357120 j + 775210 j n 2 3 2 2 2 3 + 162612 j n - 4464 j n + 117120 j n + 6696 j n + 8480 j n ) f[5 + i, j, n + 1] 2 + 391910400 j (5491 + 12892 j + 3081 j ) f[i + 1, 5 + j, 3 + n] - 2 2645395200 (n + 1) (-15345 i + 15345 i - 128126 j - 43028 i j - 17728 j n 2 - 1116 i j n - 2144 j n ) f[3 + i, j, n] - 14515200 j (164430 - 44802 i 2 3 2 2 2 - 9912 i - 616 i + 585 j + 8631 i j + 150 i j - 10464 j + 1548 i j 3 2 2 2 3 + 548 j + 96462 n - 1263 j n - 2724 j n + 13008 n + 558 j n + 536 n ) 2 3 f[3 + i, j, 6 + n] - 14515200 j (-460647 + 142551 i + 28974 i + 1592 i 2 2 2 3 - 86985 j - 33213 i j - 66 i j + 16068 j - 8040 i j + 5444 j 2 2 2 3 - 298701 n - 5013 j n + 4608 j n - 42294 n - 1674 j n - 1864 n ) 2 3 f[4 + i, j, 5 + n] + 14515200 j (-426636 + 147264 i + 27828 i + 1336 i 2 2 2 3 - 181551 j - 42309 i j + 318 i j - 3798 j - 12516 i j + 13072 j 2 2 2 3 - 303960 n - 13671 j n + 1116 j n - 45180 n - 1674 j n - 2120 n ) 2 3 f[5 + i, j, 4 + n] - 130636800 j (-13659 + 5587 i + 974 i + 40 i - 8951 j 2 2 2 3 - 1799 i j + 26 i j - 298 j - 584 i j + 744 j - 11217 n - 651 j n 2 2 3 - 1766 n - 62 j n - 88 n ) f[6 + i, j, 3 + n] = 0 Let Si, Sj, Sn be the fundamental shift operators in the i, j, and n , directions, respectively The above lemma, means that f[i,j,n] is annihilated by the operator 97977600*(368280*i+276210*i^2+46035*i^3-28158*j-912888*i*j-183582*i^2*j+473652* j^2+357120*j^3+775210*j*n+162612*j^2*n-4464*j^3*n+117120*j*n^2+6696*j^2*n^2+ 8480*j*n^3)*Si^5*Sn-432*(-831448312483168836*i-431928476470298028*i^2+ 139002367041014712*i^3+2233268248345652*i^4-1143556599917760768*j-\ 644613338576528934*i*j-282258505685792700*i^2*j+19319159924071652*i^3*j-\ 292702899727220808*j^2-220616603108205066*i*j^2-15995116629777615*i^2*j^2+ 73368412226725470*j^3-25549576767454474*i*j^3+11177168442143837*j^4-\ 397515531851422602*i*n-242816184272188738*i^2*n+28799075891510208*i^3*n-\ 218985132330254832*j*n-42995570421779312*i*j*n-69580200002268096*i^2*j*n-\ 84469586139338800*j^2*n-51641817051871908*i*n^2-26014550927172084*i^2*n^2)*Sj^3 *Sn^3+3233442673165086720*i*j*n-1292905820606400*n-80473618670019664608*i+ 162015741116534068416*j+953896476873553920*i^2*j*n-1925569270191329280*i*j^2*n-\ 1676042513835310080*i^2+202469021553576960*i^3-39996711999498240*i^4-\ 6553862601623654400*j^2-1584199539540172800*j^3-639947391991971840*j^4-\ 846376337822400*n^2-217175702990400*n^3-18267115204800*n^4+283981320033891840*i *j*n^2-3265920*(-5403474469438*i+5104644577028*i^2-1028666132130*i^3+680371704* i^4+315119817995*j-11029158118342*i*j+4326495133584*i^2*j-1814324544*i^3*j+ 1686465013794*j^2-4994457364938*i*j^2+912420139860*j^3+3628649088*j^4)*Si*Sj*Sn +88179840*(153689363773*i-92173933418*j-11927429530*j^2)*Si*Sj^3*Sn^2+176359680 *(144502327503*i-61526185274*j-6158155820*j^2)*Si*Sj^4*Sn-14515200*j*(164430-\ 44802*i-9912*i^2-616*i^3+585*j+8631*i*j+150*i^2*j-10464*j^2+1548*i*j^2+548*j^3+ 96462*n-1263*j*n-2724*j^2*n+13008*n^2+558*j*n^2+536*n^3)*Si^3*Sn^6-14515200*j*( -460647+142551*i+28974*i^2+1592*i^3-86985*j-33213*i*j-66*i^2*j+16068*j^2-8040*i *j^2+5444*j^3-298701*n-5013*j*n+4608*j^2*n-42294*n^2-1674*j*n^2-1864*n^3)*Si^4* Sn^5+14515200*j*(-426636+147264*i+27828*i^2+1336*i^3-181551*j-42309*i*j+318*i^2 *j-3798*j^2-12516*i*j^2+13072*j^3-303960*n-13671*j*n+1116*j^2*n-45180*n^2-1674* j*n^2-2120*n^3)*Si^5*Sn^4-3527193600*j*(n+1)*(16843+5053*i-9982*j+1018*n+62*j*n +88*n^2)*Si^6-130636800*j*(-13659+5587*i+974*i^2+40*i^3-8951*j-1799*i*j+26*i^2* j-298*j^2-584*i*j^2+744*j^3-11217*n-651*j*n-1766*n^2-62*j*n^2-88*n^3)*Si^6*Sn^3 -96768*(228886554*i*j*n+1536381801*i-104834412*j+124862308*i^2*j*n-2996836*i*j^ 2*n+278395382*i^2-458041368*i^3+5181600*i^4+246095163*j^2+91040766*j^3+7146828* j^4+517532*i*j*n^2+1162288328*i*j+1019540700*i^2*j-3390624*i^3*j-173768454*i*j^ 2+12404952*i^2*j^2-15831456*i*j^3-561386077*i*n-488632032*i^2*n-61552048*i^3*n-\ 107736840*j*n-12384024*j^2*n+1889424*j^3*n-115948266*i*n^2-66733648*i^2*n^2-\ 7987728*j*n^2-1498032*j^2*n^2)*Sj^4*Sn^5+6629158857085032960*i*j-\ 1205925971099351040*i^2*j+319973695995985920*i^3*j+2394075625754480640*i*j^2-\ 959921087987957760*i^2*j^2+1279894783983943680*i*j^3-147618802171289042928*i*n-\ 829350497248819200*i^2*n-157501386441907200*i^3*n+297117061752944749536*j*n-\ 3149217653841008640*j^2*n+1295563724423700480*j^3*n-78738261622030284768*i*n^2-\ 73232359401968640*i^2*n^2+158447520529325885376*j*n^2-275052556171192320*j^2*n^ 2-12193028800753380048*i*n^3+24546101252900151456*j*n^3+17418240*(-4572936*i-\ 6684138*i^2+127308*i^3+17936*i^4+537435*j-600804*i*j-55158*i^2*j+22056*i^3*j+ 385767*j^2-181650*i*j^2-9072*i^2*j^2+88701*j^3-16438*i*j^3+6609*j^4-1615278*i*n -2618154*i^2*n-153836*i*n^2-249348*i^2*n^2)*Sj^6*Sn^3+48988800*(-2350296*i-\ 2072412*i^2-411804*i^3+837*i^4-2150298*j-1248306*i*j+452430*i^2*j-2232*i^3*j+ 11874984*j^2+2424384*i*j^2-2949120*j^3+118220*j*n+503832*j^2*n+36864*j^3*n-\ 226512*j*n^2-13392*j^2*n^2-14912*j*n^3)*Si^4*Sn^2-24494400*(-5484582*i-6788813* i^2-1900379*i^3+8710*i^4-20446086*j-436212*i*j+4211242*i^2*j-21704*i^3*j+ 9984856*j^2-3486720*j^3-879288*j*n-482400*j^2*n+43584*j^3*n)*Si^3*Sn^3-54*( 31180491642896261496*i*j*n-9512904416400*n-25631768921833334454*i+ 56503567200559815948*j+78246660707863800*i^2*j*n-1798045360302281520*i*j^2*n-\ 13808667046076481950*i^2+40892540852271474*i^3+152429864558251266*i^4-\ 68132112312700650200*j^2+7200545654043486288*j^3-285155694478990944*j^4-\ 3199042123200*n^2-467049013200*n^3-25057771200*n^4+3634106076921351608*i*j*n^2-\ 10319625439200+63593364639896830760*i*j+2684352335186707236*i^2*j-\ 636188978589535728*i^3*j-9130403228609127672*i*j^2+645351581606763024*i^2*j^2+ 177191608554652608*i*j^3-25874988361443058643*i*n-6394487064162705504*i^2*n+ 204423092398178540*i^3*n+57926086236902626486*j*n-34194599971074157536*j^2*n+ 1649805406655213600*j^3*n-7740591463822032441*i*n^2-655717190632208102*i^2*n^2+ 17813937154094120682*j*n^2-4161911018674302008*j^2*n^2-708006667694802256*i*n^3 +1703789664648063392*j*n^3)*Sn^3+(105764487481916448408*i*j*n-22201185283200*n-\ 300633833530171806750*i+673718496871351085100*j-7132503474019513872*i^2*j*n+ 11567455971310164384*i*j^2*n-71673742795992632613*i^2+5326935233804465688*i^3+ 1486932683670374356*i^4-389900285264404584612*j^2-6997082675214766464*j^3+ 20702089173450648256*j^4-5800874032800*n^2-636188968800*n^3-25057771200*n^4+ 7267822572308927856*i*j*n^2-29317592304000+358179337608147953532*i*j-\ 16841973105207217008*i^2*j-11025800197666925408*i^3*j+15887393720472328416*i*j^ 2+31437630704148997344*i^2*j^2-41018566946937314432*i*j^3-154185617622273951825 *i*n-20413626648190997562*i^2*n+1574886432129828312*i^3*n+353599552101703391370 *j*n-117446050822862028168*j^2*n-7199789048662220736*j^3*n-25742388987464821650 *i*n^2-1311333925353028044*i^2*n^2+60462306438935557140*j*n^2-\ 8323444683527527536*j^2*n^2-1399287644304894800*i*n^3+3373908408510255520*j*n^3 )*Sn^6-645438070569600-162*(-6478085079968617696*i*j*n+38174114510730219462*i-\ 88215840851998741572*j-383793052917889632*i^2*j*n+116359609239023640*i*j^2*n+ 1583523138856961910*i^2-1107870676280635836*i^3+232801727443477920*i^4+ 15405794444251527384*j^2+357844671276917712*j^3+106893228801588480*j^4-\ 581035875060282360*i*j*n^2-12148977650086313256*i*j+2312251125605343648*i^2*j-\ 994037868143159040*i^3*j-373415619849672888*i*j^2+1209116522674405440*i^2*j^2-\ 357941940579025920*i*j^3+31186518838842243491*i*n+74925755166383758*i^2*n+ 182687078762633996*i^3*n-74316451835963302270*j*n+6930983948148927472*j^2*n-\ 160307046709037200*j^3*n+8630879131252331275*i*n^2+32900789180128884*i^2*n^2-\ 19815232957102847654*j*n^2+820637754444053880*j^2*n^2+691280945474924032*i*n^3-\ 1670118677306645504*j*n^3)*Sj*Sn^2+3*(-36668030653432203016*i*j*n+ 377608135774516961445*i-865265432635379724066*j+923168086354624320*i^2*j*n-\ 15374451697778048976*i*j^2*n+28842891657568501392*i^2+919630200543216224*i^3+ 3073941210789096752*i^4+153215514570085019748*j^2+69769718574924348140*j^3-\ 565575594414277504*j^4-1162071620528859120*i*j*n^2-159856602854733317826*i*j+ 17656045785879866358*i^2*j-12801832833033652192*i^3*j-76704875353420962402*i*j^ 2+12853896534263876448*i^2*j^2+1184951363986199168*i*j^3+181227115330454937771* i*n+6901173198086506984*i^2*n+1757180898199506456*i^3*n-419604252667344078678*j *n+28497943245313242760*j^2*n+10361391979979722464*j^3*n+27630972444628523030*i *n^2+65801578360257768*i^2*n^2-64682246090004341068*j*n^2+1641275395495365360*j ^2*n^2+1382561890949848064*i*n^3-3340237354613291008*j*n^3)*Sj*Sn^5-972*( 695097876662397024*i*j*n+406193965431101550*i+2742808611095425692*j+ 448558418418419520*i^2*j*n-38309983033800960*i*j^2*n+1475591415173900566*i^2-\ 539905791525783360*i^3+4935625662060800*i^4+1297083581614871872*j^2+ 394027846555298880*j^3+35873029604679680*j^4+16198963200*i*j*n^2-\ 611850160207694272*i*j+1412977478096367360*i^2*j-33829551436925440*i^3*j-\ 863362542576533760*i*j^2+85086387791247360*i^2*j^2-92276089933619200*i*j^3+ 87363575524654833*i*n+108213950734687389*i^2*n-215733144808540320*i^3*n+ 1173087363451765314*j*n+10528316535065376*j^2*n+8361457736113920*j^3*n-\ 425096992141370451*i*n^2-138340483041315447*i^2*n^2+250188082029934074*j*n^2-\ 8099481600*j^2*n^2)*Sj^2*Sn+18*(-22133171976187577325*i-9990666168706688606*i^2 -8417823285813584590*i^3+246190014540891072*i^4+44661366149480042538*j+ 20272878892442227073*i*j+18677979175392646953*i^2*j-984211350770639664*i^3*j+ 17781810008050749802*j^2+377103912541796121*i*j^2+1142747081710135704*i^2*j^2+ 1379935961332088138*j^3+26307476359285680*i*j^3-374251210155000*j^4-\ 7745143991588196539*i*n-3518138967742572607*i^2*n-1473806805123873600*i^3*n+ 8850266532141638698*j*n+4089111279380074048*i*j*n+3099238949402040960*i^2*j*n+ 1867383181778631872*j^2*n-850193984282740902*i*n^2-276680966082630894*i^2*n^2+ 500376147860904948*j*n^2)*Sj^2*Sn^4-32256*(-262335466*i*j*n+1458000*j-153434416 *i^2*j*n+11031304*i*j^2*n-297089601*i^2+44976826*i^3+37674888*i^4-937388106*j^2 -283495608*j^3-20430240*j^4-4422820*i*j*n^2+1063067655*i*j-354432568*i^2*j-\ 146970492*i^3*j+670268236*i*j^2+127864152*i^2*j^2+41066880*i*j^3-297089601*i*n+ 75485930*i^2*n+74384524*i^3*n+469957653*j*n+15667488*j^2*n-9315936*j^3*n+ 30509104*i*n^2+35744384*i^2*n^2+63356058*j*n^2+5731920*j^2*n^2-965252*i*n^3+ 2041104*j*n^3)*Sj^3*Sn^6-419904*(-1460462105133360*i*j*n+1162927592407646*i+ 1630201675982768*j+162373206822400*i^2*j*n-256950277367280*i*j^2*n+ 2053336350490650*i^2-58164782122160*i^3+1238276501280*i^4+906295994213960*j^2+ 118647466973280*j^3-762016308480*j^4+247677920*i*j*n^2-1438078123749680*i*j+ 213809307644800*i^2*j-4762601928000*i^3*j-254378472326160*i*j^2+4000585619520*i ^2*j^2+1524032616960*i*j^3+2520265785905983*i*n+2675755618883695*i^2*n-\ 32446731710960*i^3*n+1652060299722224*j*n+922393267743080*j^2*n+123791077055520 *j^3*n+1434492398786049*i*n^2+722624412958165*i^2*n^2-1833411888*j*n^2-\ 320987520*j^2*n^2+54054112*i*n^3-114301824*j*n^3)*Sj^3-10368*(1380308883722636* i*j*n-77211626806357404*i+68539580565724812*j-1863035306349408*i^2*j*n+ 29784124858296747*i^2-3948457246529908*i^3+311432774056940*i^4+ 66638328369416958*j^2+17370155087074940*j^3+1249206165560750*j^4-130418064*i*j* n^2-109617299138821881*i*j+11793734677132836*i^2*j-1153936785576220*i^3*j-\ 32825170642439100*i*j^2+2157768460585605*i^2*j^2-2897864872354630*i*j^3+ 12092227540405918*i*n-337312951343108*i^2*n+563884660278864*i^3*n-\ 17309347895028398*j*n-4352796592263032*j^2*n+29218963032*i*n^2+16816879296*i^2* n^2+2012907456*j*n^2+377504064*j^2*n^2)*Sj^4*Sn^2-62208*(-5309578383799610*i*j* n+1460994774781068*i-22178683810980*j+192300574051020*i^2*j*n-710366334662760*i *j^2*n-5816639044782786*i^2-1273064998296160*i^3+165668546566600*i^4-\ 3166573907624610*j^2-1337811211056340*j^3-140105208883640*j^4+8888728564717770* i*j-1405765711219980*i^2*j-392510190582020*i^3*j+3553476974483865*i*j^2-\ 5576719393560*i^2*j^2+360417756788740*i*j^3-7185082767638040*i*n+ 1707106143355790*i^2*n-12036206147780*i^3*n+7400555865816300*j*n+ 3422922845373920*j^2*n+380258412190360*j^3*n-7121123352*i*n^2-3386612376*i^2*n^ 2)*Sj^5*Sn+580608*(-1292221741*i-816263861*i^2+38256774*i^3+1751144*i^4-\ 11540835*j-47067275*i*j-59369745*i^2*j+1225224*i^3*j-3149472*j^2-3264333*i*j^2-\ 947598*i^2*j^2+70356*j^3-83152*i*j^3+15876*j^4-388426605*i*n-222408845*i^2*n+ 4949760*i^3*n-148800*j*n-5911640*i*j*n-9955320*i^2*j*n-74400*j^2*n-28258426*i*n ^2-13438938*i^2*n^2)*Sj^5*Sn^4+26127360*(-9249514207902*i*j*n-9695236400406*i+ 8872878066030*j-454972954767*i^2*j*n-1027655728638*i*j^2*n+5083378741215*i^2+ 846603096622*i^3+48986762688*i^4+4412642953761*j^2+480413134915*j^3-1530836334* j^4-9319932679266*i*j-289642630695*i^2*j-61233453360*i^3*j-1027655728638*i*j^2+ 18370036008*i^2*j^2+3061672668*i*j^3-9603383451318*i*n+4801709344023*i^2*n+ 1067043528718*i^3*n+8895840611040*j*n+4447852189443*j^2*n+494190661921*j^3*n+ 2769048*i*n^2+4488264*i^2*n^2)*Sj^6-2645395200*(n+1)*(-15345*i+15345*i^2-128126 *j-43028*i*j-17728*j*n-1116*i*j*n-2144*j*n^2)*Si^3+8164800*(-13006254*i-\ 17607583*i^2-3149529*i^3+30511*i^4+31685690*j+21486993*i*j+4702939*i^2*j-56120* i^3*j+21616396*j^2+3968000*j^3+6169880*j*n+2092096*j^2*n-49600*j^3*n)*Si^2*Sn^4 +1224720*(-100851585365946*i+972439858133*i^2+2222816340256*i^3+5451427112*i^4-\ 99666551128464*j-10958034163530*i*j-9902399558688*i^2*j-27454685616*i^3*j+ 17475882176512*j^2+12680818752608*i*j^2+38751635552*i^2*j^2-3534264893952*j^3-\ 22587784192*j^4-56110759683367*i*n+1826654182159*i^2*n-6854271304*i^3*n-\ 63647870689768*j*n-7270682749462*i*j*n+6789767037120*j^2*n+54832960832*j^3*n-\ 7497870788415*i*n^2-10141852683240*j*n^2-2410560*i*j*n^2-87105312352*j^2*n^2)* Si*Sn^2+22680*(808295593446150*i+22824137471335*i^2-18568539489700*i^3+ 13603511440*i^4+946369196341968*j+33786006401994*i*j+61547868344296*i^2*j-\ 27231670640*i^3*j-151926159800944*j^2-22281212593064*i*j^2-174101895344*i^2*j^2 -53077996920016*j^3+587819010816*i*j^3-479075386816*j^4+224689863873595*i*n-\ 3653102114650*i^2*n+13604490640*i^3*n+279429726807488*j*n+14540207916836*i*j*n-\ 12267500638144*j^2*n-108833505920*j^3*n+14995741576830*i*n^2+20283704562960*j*n ^2+174215445824*j^2*n^2)*Si*Sn^5+529079040*(72006005340*i-31750679520*i^2+ 3401858520*i^3-13213349447*j+69624704376*i*j-14287805784*i^2*j-12222562217*j^2+ 16328920896*i*j^2-2721486816*j^3+167310805*j*n+24145195*j^2*n+16740*j*n^2+16740 *j^2*n^2)*Si*Sj^2-204120*j*(13362271433659+3905371031572*j)*Si*Sj*Sn^4-3674160* j*(514891438822+110537571325*j)*Si*Sj^2*Sn^3+391910400*j*(27737+26917*j+9480*j^ 2+1240*j^3)*Si*Sj^2*Sn^6-195955200*j*(146862+121283*j+38466*j^2+4960*j^3)*Si*Sj ^3*Sn^5+391910400*j*(40974+21671*j+6672*j^2+1240*j^3)*Si*Sj^4*Sn^4+705438720*(-\ 57831594840*i-19050407712*i^2-13267248228*i^3+1530836334*i^4+9922250819*j-\ 26194310604*i*j-3061672668*i^2*j-3061672668*i^3*j+4538424585*j^2-3061672668*i*j ^2+503979040*j^3-113231815*j*n-54084417*j^2*n-6299738*j^3*n)*Si*Sj^5+391910400* j*(5491+12892*j+3081*j^2)*Si*Sj^5*Sn^3-440899200*(-451887*i+368280*i^2+620682*i ^3-2140914*j-613056*i*j-1780082*i^2*j-1996408*j^2+1984000*j^3-545844*j*n-558128 *j^2*n-24800*j^3*n+16740*j*n^2+6696*j^2*n^2)*Si^2*Sn The proof that this opeator indeed annihilates f[i,j,n] is routine. Indeed, f[i,j,n] is annihilated by the operator 1 1 Sn - ---- - ---- - Si Sj Si Sj taking successive commatators we eventually get the 0 operator and all we have to do is check that the inital conditions for the intermediate operators also hold, that is a (fast!) routine verification . Plugging-in i=0,j=0, n->3n, we get that f[0,0,3n] satisfies 2 3 -54 (-28538713249200 n - 28791379108800 n - 12610323356400 n 4 - 2029679467200 n - 10319625439200) f[0, 0, 3 + 3 n] - 11664 (55335911400 2 3 4 + 332537505300 n + 653068161900 n + 502721534700 n + 126854966700 n ) 2 3 f[0, 0, 3 n] + (-66603555849600 n - 52207866295200 n - 17177102157600 n 4 - 2029679467200 n - 29317592304000) f[0, 0, 6 + 3 n] = 0 But the very same recurrence is also satisfied by h(3n):= n 4 (3 n)! ------------------- (n + 1)! (2 n + 1)! since plugging this last expression indeed gives 0 Since Kreweras' theorem is true for n=0,1 (check!) It is true in general. QED