A Linear Recurrence Equation for The Diagonal Coefficients of The Power Series Of 1 -------------------------- 2 2 a ((1 - x) + (1 - y) - 1) By Shalosh B. Ekhad n n Let , A(n), be the coefficient of, x y , in the Maclaurin Expansion of the Formal Power series, 1 -------------------------- 2 2 a ((1 - x) + (1 - y) - 1) then , A(n), satisfies the following linear recurrence equation with polynomi\ al coefficients 4 (1 + 2 a + 2 n) (2 a + 7 + 4 n) (n + a + 1) (n + a) A(n) ---------------------------------------------------------- - 4 (n + a + 1) 2 (2 n + 3 + 2 a) (2 + n) (4 n + 3 + 2 a) 2 2 / (2 a + 5 + 4 n) (2 a + 6 a n + 7 a + 8 + 15 n + 6 n ) A(1 + n) / ( / 2 (2 n + 3 + 2 a) (2 + n) (4 n + 3 + 2 a)) + A(2 + n) = 0 Proof: Thanks to Cauchy's Integral Formula, A(n) equals to a constant (independent of n) times the contour-integral with respect to the complex variables, x, y around any poly-circle around the origin, of the function 1 F(n, x, y) = -------------------------------------------- 2 2 a (1 + n) (1 + n) ((1 - x) + (1 - y) - 1) x y Let's cleverly constuct rational functions 2 2 R[1](n, x, y) = - (12 n + 176 a x y + 128 n x y + 64 a x y + 64 n x y 2 2 2 2 2 4 4 4 + 24 a x - 56 a x y - 56 n x y - 108 n y - 12 n x - 24 a x + 8 a n 2 4 3 4 2 3 5 5 6 + 28 n - 8 n a + 7 n - 24 n + 8 n a - 6 n a - 19 n - 2 n a - 4 n 2 2 4 2 2 3 2 2 + 24 x y a n + 278 x y n a + 224 x y a n - 120 x y n a 2 2 2 3 2 2 2 2 3 + 184 x y n a - 110 x y n a + 20 x y n a + 128 x y a n 2 4 2 3 2 2 2 4 2 5 - 416 x y a n - 152 x y a n - 288 x y n a - 256 x y n a 2 2 4 2 3 3 2 5 2 2 3 + 260 x y a n + 24 x y a n + 200 x y n a - 1364 x y a n 2 2 2 2 2 3 2 2 2 + 298 x y n a + 64 x y n a - 408 x y n a - 864 x y n a 2 3 2 4 2 3 2 2 2 4 - 816 x y a n - 608 x y a n - 1352 x y a n - 320 x y n a 2 5 2 2 4 2 3 3 2 5 - 64 x y n a - 548 x y a n - 600 x y a n - 264 x y n a 2 3 2 2 3 - 2596 x y a n + 560 x y n a + 656 x y n a - 1032 x y n a 2 2 3 4 3 2 - 1604 x y n a - 1312 x y a n - 1536 x y a n - 2824 x y a n 2 4 5 2 4 3 3 - 928 x y n a - 384 x y n a - 832 x y a n - 1176 x y a n 5 2 2 4 3 3 3 - 304 x y n a - 166 a y n + 292 a y n + 576 a y n + 12 a y n 4 2 2 3 2 3 3 2 + 166 a y n - 92 a y n - 80 a y n + 472 a y n + 704 a y n 4 5 4 2 5 2 + 544 a y n + 320 a y n + 608 a y n + 72 a y n - 168 y a n 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 3 + 704 y n a + 1276 y a n - 528 y n a - 508 y n a - 78 y n a 2 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 4 - 158 y n a - 48 y a n + 720 y a n + 1320 y a n + 936 y n a 2 5 2 2 4 2 3 3 2 5 3 + 384 y n a + 912 y a n + 1216 y a n + 392 y n a + 108 y a n 3 2 3 2 3 2 4 3 3 3 3 3 + 404 y a n + 210 y a n - 348 y a n - 664 y a n - 20 y a n 3 4 3 2 2 3 3 3 2 3 3 3 2 - 210 y a n + 88 y a n + 52 y a n - 604 y a n - 904 y a n 3 4 3 5 3 4 2 3 5 4 - 688 y a n - 336 y a n - 672 y a n - 88 y a n - 248 y a n 4 4 4 2 3 4 2 4 2 4 3 - 164 y n a - 392 y a n + 324 y n a + 456 y n a + 628 y n a 4 2 2 4 3 4 4 4 3 2 4 2 4 + 1018 y n a + 716 y a n - 448 y a n - 576 y a n - 840 y n a 4 5 4 2 4 4 3 3 4 5 2 - 368 y n a - 680 y a n - 1000 y a n - 262 y n a + 16 x a n 3 4 5 2 3 2 4 2 - 18 x a n - 30 x a n - 8 x a n - 12 x a n - 4 x a n + 496 x y a 2 3 3 4 4 + 288 x y n + 56 x y n + 144 x y a - 432 x y a - 256 x y n 5 5 6 6 2 - 184 x y n - 320 x y a - 64 x y a - 32 x y n - 320 a y n - 84 a y n 4 2 3 4 5 6 - 1208 x y n a - 72 a y - 168 a y + 16 a y + 160 a y + 64 a y 2 4 2 4 2 5 2 5 2 6 2 6 + 16 y a + 16 y n + 188 y n + 160 y a + 64 y a + 80 y n 2 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 - 72 y a - 96 y n - 188 y n - 168 y a + 96 y a + 208 y a 3 4 3 5 3 6 4 4 2 - 48 y a - 192 y a - 64 y a + 24 x a n - 96 y a - 112 y a 4 2 4 3 4 3 4 4 4 4 4 5 - 156 y n + 125 y n + 256 y a + 144 y a + 200 y n - 17 y n 4 5 4 6 4 6 2 4 - 128 y a - 64 y a - 44 y n + 840 x y a n + 32 x a n - 64 x a n 4 4 4 2 3 4 2 4 2 4 3 + 122 x n a + 276 x a n + 26 x n a + 128 x n a + 166 x n a 4 2 2 4 3 4 4 4 3 2 4 2 4 + 380 x n a + 320 x a n + 64 x a n + 248 x a n + 16 x n a 4 2 4 4 3 3 4 5 2 2 2 2 + 60 x a n + 56 x a n + 26 x n a + 64 x y a - 64 x y n 2 3 2 3 2 4 2 5 2 5 - 144 x y n + 176 x y a + 16 x y a + 144 x y n - 192 x y a 2 6 2 6 2 2 2 2 2 - 64 x y a + 64 x y n + 56 a x n + 80 a x n + 14 a x n 2 2 4 3 2 3 2 3 2 4 2 2 2 - 20 a x n - 8 a x n - 48 a x n - 38 a x n - 48 a x n 2 2 3 3 2 2 2 5 2 2 2 2 - 76 a x n - 24 a x n - 8 a x n + 120 x y a + 208 x y n 2 3 2 3 2 4 2 4 2 5 + 144 x y n - 104 x y a - 224 x y a - 144 x y n - 208 x y n 2 5 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 3 - 96 x y a - 64 x y n - 264 y x a - 152 y x n - 58 y x n 2 2 3 2 2 4 2 2 4 2 2 5 2 2 5 - 248 y x a + 272 y x a + 128 y x n + 114 y x n + 352 y x a 2 2 6 2 2 6 3 2 3 3 2 + 64 y x a + 24 y x n - 24 a x n - 224 a x n - 80 a x n 2 3 4 3 3 3 3 3 3 4 2 3 2 - 36 a x n - 48 a x n - 94 a x n - 46 a x n - 332 a x n 3 3 2 3 3 3 3 2 4 3 4 3 2 - 320 a x n - 188 a x n - 224 a x n - 64 a x n - 16 a x n 3 5 2 2 3 2 2 2 4 - 8 a x n + 64 a x + 32 a x + 316 x y a n - 718 x y n a 2 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 - 416 y x a n + 718 y x n a + 1716 y x a n - 454 y x n a 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 - 644 y x n a + 426 y x n a + 634 y x n a + 608 y x a n 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 5 + 1424 y x a n + 2184 y x a n + 888 y x n a + 384 y x n a 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 5 2 3 + 644 y x a n + 1024 y x a n + 212 y x n a - 48 a x 3 3 4 3 4 2 4 2 4 3 4 3 - 128 a x - 64 a x - 16 x a - 28 x n - 7 x n + 96 x a 4 4 4 4 4 5 4 6 / 2 2 + 64 x a + 24 x n + 19 x n + 4 x n ) / (4 x y (-3 n - 3 a - 2 n / 2 3 4 3 4 2 2 3 - 5 a - 7 a n + 3 n + 2 n + 4 a + 4 a + 7 n a + 8 n a + 8 n a 2 2 3 2 + 14 n a + 12 a n) (4 n + 3 + 2 a) (2 + n) ) 2 2 R[2](n, x, y) = - (-84 n - 72 a + 64 x a y + 64 x n y + 464 a x y + 512 n x y 2 2 2 2 2 2 4 4 + 192 n y + 168 a y - 56 a x y - 56 n x y - 108 n y - 12 n x 4 2 2 4 2 3 3 - 24 a x - 168 a - 356 a n - 208 n + 528 n a + 928 a n - 71 n 3 4 4 2 2 3 2 2 + 16 a + 160 a + 172 n - 252 n a - 164 n a + 426 n a + 664 n a 3 4 3 2 5 2 4 5 + 552 a n + 400 a n + 880 a n + 155 n + 160 n a + 32 n a 2 4 3 3 5 5 6 2 + 288 a n + 304 a n + 146 n a + 64 a + 36 n + 424 x y a n 2 4 2 2 3 2 2 2 2 - 868 x y n a - 1676 x y a n + 532 x y n a + 540 x y n a 2 3 2 2 2 2 3 2 4 - 360 x y n a - 508 x y n a - 436 x y a n - 976 x y a n 2 3 2 2 2 4 2 5 2 2 4 - 1768 x y a n - 864 x y n a - 368 x y n a - 808 x y a n 2 3 3 2 5 2 2 3 2 2 - 1096 x y a n - 336 x y n a + 1328 x y a n - 484 x y n a 2 2 2 3 2 2 2 2 3 - 472 x y n a - 44 x y n a - 92 x y n a + 16 x y a n 2 4 2 3 2 2 2 4 2 5 + 704 x y a n + 1392 x y a n + 944 x y n a + 384 x y n a 2 2 4 2 3 3 2 5 2 3 + 904 x y a n + 1232 x y a n + 368 x y n a - 8736 x y a n 2 2 3 2 2 + 2720 x y n a + 2360 x y n a - 2616 x y n a - 3872 x y n a 3 4 3 2 2 4 - 3376 x y a n - 4544 x y a n - 8848 x y a n - 3424 x y n a 5 2 4 3 3 5 - 1280 x y n a - 3760 x y a n - 4768 x y a n - 1680 x y n a 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 + 808 y a n - 1178 y n a - 2044 y a n + 542 y n a + 320 y n a 2 3 2 2 2 2 3 2 4 2 3 2 - 986 y n a - 1542 y n a - 1264 y a n - 832 y a n - 1896 y a n 2 2 4 2 5 2 2 4 2 3 3 2 5 - 328 y n a - 64 y n a - 620 y a n - 640 y a n - 320 y n a 4 4 4 4 2 3 4 2 4 2 - 452 y a n + 650 y n a + 1116 y a n - 290 y n a - 156 y n a 4 3 4 2 2 4 3 4 4 4 3 2 + 560 y n a + 878 y n a + 712 y a n + 432 y a n + 1016 y a n 4 2 4 4 5 4 2 4 4 3 3 4 5 + 168 y n a + 32 y n a + 332 y a n + 336 y a n + 174 y n a 2 2 3 3 4 + 1312 x y a + 1424 x y n + 744 x y n + 416 x y a - 1104 x y a 4 5 5 6 6 - 1072 x y n - 1256 x y n - 896 x y a - 192 x y a - 352 x y n 4 2 4 2 4 2 5 2 5 2 6 - 4776 x y n a - 352 y a - 392 y n - 348 y n - 128 y a - 80 y n 2 2 2 2 2 3 2 3 4 4 2 + 376 y a + 472 y n + 156 y n - 64 y a - 96 y a - 208 y a 4 2 4 3 4 3 4 4 4 4 4 5 - 264 y n - 85 y n + 48 y a + 192 y a + 220 y n + 193 y n 4 5 4 6 4 4 4 + 64 y a + 44 y n + 2680 x y a n - 28 x a n - 40 x n a 4 2 3 4 2 4 2 4 3 4 2 2 - 176 x a n + 100 x n a + 196 x n a + 110 x n a + 192 x n a 4 3 4 4 4 3 2 4 2 4 4 5 + 88 x a n - 272 x a n - 336 x a n - 128 x n a - 32 x n a 4 2 4 4 3 3 4 5 2 2 2 2 - 112 x a n - 176 x a n - 34 x n a + 216 x y a + 208 x y n 2 3 2 3 2 4 2 4 2 5 + 144 x y n + 152 x y a - 144 x y a - 144 x y n - 208 x y n 2 5 2 6 2 6 2 2 2 2 - 224 x y a - 64 x y a - 64 x y n - 80 x y a - 64 x y n 2 3 2 3 2 4 2 5 2 5 - 144 x y n - 160 x y a + 48 x y a + 144 x y n + 128 x y a 2 6 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 3 + 64 x y a + 64 x y n - 336 y x a - 248 y x n - 246 y x n 2 2 3 2 2 4 2 2 4 2 2 5 2 2 5 - 440 y x a + 224 y x a + 144 y x n + 302 y x n + 480 y x a 2 2 6 2 2 6 2 2 4 + 128 y x a + 104 y x n - 168 x y a n + 684 x y n a 2 2 2 2 4 2 2 2 3 2 2 2 - 584 y x a n + 1370 y x n a + 2772 y x a n - 994 y x n a 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 3 - 1188 y x n a + 302 y x n a + 306 y x n a + 372 y x a n 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 5 + 1968 y x a n + 3192 y x a n + 1752 y x n a + 752 y x n a 2 2 2 4 2 2 3 3 2 2 5 4 2 + 1484 y x a n + 2128 y x a n + 588 y x n a + 8 x a 4 2 4 3 4 3 4 4 4 4 4 5 - 16 x n + 15 x n + 112 x a - 32 x a + 20 x n - 3 x n 4 5 4 6 / 2 2 2 3 - 64 x a - 4 x n ) / (4 y x (-3 n - 3 a - 2 n - 5 a - 7 a n + 3 n / 4 3 4 2 2 3 2 2 3 + 2 n + 4 a + 4 a + 7 n a + 8 n a + 8 n a + 14 n a + 12 a n) 2 (2 + n) (4 n + 11 n + 2 a n + 6 + 4 a)) With the motive that 4 (1 + 2 a + 2 n) (2 a + 7 + 4 n) (n + a + 1) (n + a) F(n, x, y) ---------------------------------------------------------------- - 4 2 (2 n + 3 + 2 a) (2 + n) (4 n + 3 + 2 a) 2 2 (n + a + 1) (2 a + 5 + 4 n) (2 a + 6 a n + 7 a + 8 + 15 n + 6 n ) / 2 F(1 + n, x, y) / ((2 n + 3 + 2 a) (2 + n) (4 n + 3 + 2 a)) / R[1](n, x, y) + F(2 + n, x, y) = D[x](--------------------------------------------) 2 2 a (1 + n) (1 + n) ((1 - x) + (1 - y) - 1) x y R[2](n, x, y) + D[y](--------------------------------------------) 2 2 a (1 + n) (1 + n) ((1 - x) + (1 - y) - 1) x y (Check!) and the theorem follows upon contour-integrating with respect to, x, y QED! 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