The Distribution of the Occupant of Cell [1,i] in a random Standard Young ta\ bleau of shape, [n, n, n, n], and its Limiting behavior as n goes to infinity for i from 2 to, 13 By Shalosh B. Ekhad --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 2], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 2, to , 5 The probability distribution is 5 (-1 + n) 5 (-1 + n) (1 + n) 15 (2 + n) (-1 + n) (1 + n) [------------, -----------------------, ----------------------------------, 2 (-1 + 4 n) 2 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) 8 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (1 + n) (2 + n) (3 + n) ----------------------------------] 8 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) and in Maple notation [5/2/(-1+4*n)*(-1+n), 5/2*(-1+n)*(1+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n), 15/8*(2+n)*(-1+n)*(1+ n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n), 1/8*(1+n)*(2+n)*(3+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n) ] `The average is` 5/8*(5*n-3)*(5*n-2)*(5*n-1)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n) and the variance is 5/64*(-1+n)*(5*n-1)*(5*n-2)*(1+n)*(203*n^2-135*n+18)/(-1+4*n)^2/(-1+2*n)^2/(-3+ 4*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[2., .6250000000], [3., .3125000000], [4., .5859375000e-1], [5., .3906250000e-\ 2]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 625 5 1015 193266 1015 487326041 [---, ---------, --------------, ---------] 256 256 5151125 128778125 and in floating-point [2.441406250, .6222473562, 1.195326067, 3.784229977] Here is a plot +HH 0.6 HH + HHH + HHH 0.5 HH + HHH + H 0.4 HHH + HH + HHH 0.3 HHH + HHH + HHH + HHH 0.2 HH + HHH + HHH 0.1 HHH + HHHHHH + HHHHHHHHHHHHH ++--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-*********- 0 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 3], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 3, to , 9 The probability distribution is 5 (n - 2) (-1 + n) 45 (1 + n) (n - 2) (-1 + n) [-----------------------, ----------------------------------, 2 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) 4 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) 3 (n - 2) (1 + n) (19 n + 18) ----------------------------------, 8 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) 15 (2 + n) (n - 2) (1 + n) (3 n + 1) ---------------------------------------------, 4 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) 2 45 (2 + n) (1 + n) (n - 2) n --------------------------------------------------------, 8 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) 2 105 n (n - 2) (2 + n) (1 + n) (3 + n) --------------------------------------------------------------------, 32 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) 2 2 7 n (1 + n) (2 + n) (3 + n) --------------------------------------------------------------------] 32 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) and in Maple notation [5/2*(n-2)*(-1+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n), 45/4*(1+n)*(n-2)*(-1+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/ (-3+4*n), 3/8*(n-2)*(1+n)*(19*n+18)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n), 15/4*(2+n)*(n-2 )*(1+n)*(3*n+1)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n), 45/8*(2+n)^2*(1+n)*(n-2)*n /(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n), 105/32*n*(n-2)*(2+n)*(1+n)^2*(3+ n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n), 7/32*n*(1+n)^2/(-1+4* n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)*(2+n)^2*(3+n)] `The average is` 3/32*(45501*n^6-247031*n^5+517111*n^4-523429*n^3+263660*n^2-61428*n+5040)/(-1+4 *n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n) and the variance is 3/1024*(1+n)*(n-2)*(398577509*n^10-3545335929*n^9+13750139196*n^8-30455843562*n ^7+42379587201*n^6-38397066129*n^5+22723216486*n^4-8587164876*n^3+1966497912*n^ 2-245246400*n+12700800)/(-1+4*n)^2/(-1+2*n)^2/(-3+4*n)^2/(-5+4*n)^2/(-3+2*n)^2/ (-7+4*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[3., .3125000000], [4., .3515625000], [5., .2226562500], [6., .8789062500e-1], [7., .2197265625e-1], [8., .3204345703e-2], [9., .2136230469e-3]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 136503 11 9882087 10321421455514 9882087 25450718760602413 [------, -------------, -------------------------, -----------------] 32768 32768 43326553821994113 8077832068507377 and in floating-point [4.165740967, 1.055278492, .7488756366, 3.150686786] Here is a plot 0.35 HHHH + HHHHH HH +HHHHH HH 0.3 HH + HH + H 0.25 HH + HH + H 0.2 HH + H 0.15 HH + H + HH 0.1 HH + HH + HHHH 0.05 HH + HHH + HHHHHHHHHH ++--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+-*****************- 0 3 4 5 6 7 8 9 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 4], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 4, to , 13 The probability distribution is 35 (n - 3) (n - 2) (-1 + n) 63 (1 + n) (n - 3) (n - 2) [----------------------------------, ----------------------------------, 8 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) 8 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) 105 (1 + n) (n - 3) (n - 2) (5 n + 4) ----------------------------------------------, 16 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) 2 5 (1 + n) (n - 3) (n - 2) (157 n + 239 n + 60) ---------------------------------------------------------, 16 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) 21 (2 + n) (1 + n) (n - 3) n (n - 2) (67 + 167 n) --------------------------------------------------------------------, 32 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) 2 105 n (n - 3) (1 + n) (2 + n) (7 n + 10 n - 5) --------------------------------------------------------------------, 21 16 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) 2 2 (1 + n) (2 + n) n (n - 3) (173 n + 271 n - 324)/(64 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n)), 315 n (n - 3) 2 (-1 + n) (2 + n) (1 + n) (3 + n) (5 n + 4)/(64 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) 2 (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5)), 3465 n 2 2 (n - 3) (-1 + n) (1 + n) (2 + n) (3 + n)/(256 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) 2 3 2 (-11 + 4 n)), 231 n (-1 + n) (1 + n) (2 + n) (3 + n)/(256 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n))] and in Maple notation [35/8*(n-3)*(n-2)*(-1+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n), 63/8*(1+n)*(n-3)*(n-2)/(-1 +4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n), 105/16*(1+n)*(n-3)*(n-2)*(5*n+4)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3 +4*n)/(-5+4*n), 5/16*(1+n)*(n-3)*(n-2)*(157*n^2+239*n+60)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3 +4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n), 21/32*(2+n)*(1+n)*(n-3)*n*(n-2)*(67+167*n)/(-1+4*n)/(-\ 1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n), 105/16*n*(n-3)*(1+n)*(2+n)*(7*n^2+ 10*n-5)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n), 21/64*(1+n)^2*(2 +n)*n*(n-3)*(173*n^2+271*n-324)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-\ 7+4*n)/(-9+4*n), 315/64*n*(n-3)*(-1+n)*(2+n)*(1+n)^2*(3+n)*(5*n+4)/(-1+4*n)/(-1 +2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5), 3465/256*n^2*(n-3)* (-1+n)*(1+n)^2*(2+n)^2*(3+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4 *n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n), 231/256*n^2*(-1+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/( -5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)*(1+n)^3*(2+n)^2*(3+n)] `The average is` 7/256*(7302737*n^9-92600427*n^8+497218410*n^7-1472565846*n^6+2625151233*n^5-\ 2884100043*n^4+1919558020*n^3-729817524*n^2+140074560*n-9979200)/(-1+4*n)/(-1+2 *n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n) and the variance is 105/65536*(1+n)*(n-3)*(1421258409175*n^16-32176811443692*n^15+334625471752184*n ^14-2118583899109516*n^13+9123536484291606*n^12-28279936607645396*n^11+ 65112717394484504*n^10-113278045802824452*n^9+149991503206161067*n^8-\ 151056561288328112*n^7+114770014427121192*n^6-64719320090939392*n^5+ 26374436743474992*n^4-7452484993244160*n^3+1366737539535360*n^2-144520530739200 *n+6638962176000)/(-1+4*n)^2/(-1+2*n)^2/(-3+4*n)^2/(-5+4*n)^2/(-3+2*n)^2/(-7+4* n)^2/(-9+4*n)^2/(2*n-5)^2/(-11+4*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[4., .1367187500], [5., .2460937500], [6., .2563476562], [7., .1916503906], [8\ ., .1070251465], [9., .4486083984e-1], [10., .1385879517e-1], [11., .3004074097\ e-2], [12., .4130601883e-3], [13., .2753734589e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 51119159 5 5969285318535 3152539084580710026 5969285318535 [--------, ------------------, ------------------------------------, 8388608 8388608 14139828259554562069264375 89295199854869202067286659 --------------------------] 30299631984759775862709375 and in floating-point [6.093878627, 1.456267887, .5447252587, 2.947072093] Here is a plot 0.25 HHHHHHH + HH H + HH HH + H HH 0.2 H HH + H H + H H + H HH 0.15HH H +H HH + H + H 0.1 HH + HH + H + HH 0.05 H + HHHH + HHH + HHHHHHH ++---+--+--+--+---+--+--+--+---+--+--+--+---+--+--+--+--********************- 0 4 6 8 10 12 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 5], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 5, to , 17 The probability distribution is 7 (-4 + n) (n - 3) (n - 2) [----------------------------------, 4 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) 35 (1 + n) (-4 + n) (n - 3) (n - 2) ---------------------------------------------, 2 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) 3 (1 + n) (-4 + n) (n - 3) (n - 2) (67 n + 50) --------------------------------------------------------, 4 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) 2 35 (1 + n) (-4 + n) (n - 3) (n - 2) (97 n + 125 n + 30) --------------------------------------------------------------------, 16 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) 2 35 (1 + n) (-4 + n) (n - 3) n (163 n + 279 n + 74) --------------------------------------------------------------------, 63 n 32 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (n - 3) (-4 + n) (2 + n) (1 + n) (2 n + 1) (31 n - 11)/(8 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n)), 15 n 3 2 (n - 3) (-4 + n) (2 + n) (1 + n) (583 n + 369 n - 958 n + 306)/(16 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) 2 (-9 + 4 n) (2 n - 5)), 99 n (n - 3) (-1 + n) (-4 + n) (2 + n) (1 + n) 2 (321 n + 373 n - 650)/(32 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n)), 1485 n (-1 + n) 2 3 2 (-4 + n) (2 + n) (1 + n) (31 n + 53 n - 100 n - 80)/(128 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) 2 2 (-11 + 4 n)), 6435 (-1 + n) n (-4 + n) (1 + n) (2 + n) (3 + n) 2 (4 n - 3 n - 8)/(64 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n) (4 n - 13)), 3003 (-1 + n) 2 2 2 (n - 2) (-4 + n) (7 n - 2) (3 + n) (1 + n) (2 + n) n /(128 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) 2 2 (-11 + 4 n) (4 n - 13) (2 n - 7)), 45045 n (n - 2) (-1 + n) (-4 + n) 3 2 (1 + n) (2 + n) (3 + n)/(512 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n) (4 n - 13) (2 n - 7) 2 3 3 2 (4 n - 15)), 3003 (-1 + n) (n - 2) n (1 + n) (2 + n) (3 + n)/(512 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n) (4 n - 13) (2 n - 7) (4 n - 15))] and in Maple notation [7/4*(-4+n)*(n-3)*(n-2)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n), 35/2*(1+n)*(-4+n)*(n-3)*(n-\ 2)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n), 3/4*(1+n)*(-4+n)*(n-3)*(n-2)*(67*n+50)/ (-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n), 35/16*(1+n)*(-4+n)*(n-3)*(n-2)*( 97*n^2+125*n+30)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n), 35/32*( 1+n)*(-4+n)*(n-3)*n*(163*n^2+279*n+74)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+ 2*n)/(-7+4*n), 63/8*n*(n-3)*(-4+n)*(2+n)*(1+n)*(2*n+1)*(31*n-11)/(-1+4*n)/(-1+2 *n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n), 15/16*n*(n-3)*(-4+n)*(2+n)*(1 +n)*(583*n^3+369*n^2-958*n+306)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-\ 7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5), 99/32*n*(n-3)*(-1+n)*(-4+n)*(2+n)*(1+n)^2*(321*n^2+373 *n-650)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/ (-11+4*n), 1485/128*n*(-1+n)*(-4+n)*(2+n)*(1+n)^2*(31*n^3+53*n^2-100*n-80)/(-1+ 4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n), 6435/64*(-1+n)*n^2*(-4+n)*(1+n)^2*(2+n)*(3+n)*(4*n^2-3*n-8)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/( -3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13), 3003/ 128*(-1+n)*(n-2)*(-4+n)*(7*n-2)*(3+n)*(1+n)^2*(2+n)^2*n^2/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3 +4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13)/(2*n-7), 45045/512*n^2*(n-2)*(-1+n)^2*(-4+n)*(1+n)^3*(2+n)^2*(3+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3 +4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13)/(2*n-7)/(4 *n-15), 3003/512*(-1+n)^2*(n-2)*n^3/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n )/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13)/(2*n-7)/(4*n-15)*(1+n)^3*(2+n)^2 *(3+n)] `The average is` 1/512*(4390797163*n^12-100763016402*n^11+1024008688895*n^10-6070785075390*n^9+ 23277114095829*n^8-60470792486406*n^7+108369200754605*n^6-133759150435410*n^5+ 111503569155508*n^4-60240179472792*n^3+19589575816800*n^2-3346050556800*n+ 217945728000)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2 *n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13)/(2*n-7)/(4*n-15) and the variance is 3/262144*(1+n)*(-4+n)*(322928945866258541*n^22-13716093257486282805*n^21+ 273960605085660234395*n^20-3420618406561034766835*n^19+29935522501168685365926* n^18-195148397668889371353990*n^17+983083170060117318074390*n^16-\ 3918392119794719229635670*n^15+12549631434366327417418601*n^14-\ 32617644873574006967952625*n^13+69191039767651488738391935*n^12-\ 120063253970713405465013655*n^11+170287809509849335640070356*n^10-\ 196656088505943959381457060*n^9+183617421179474701115650880*n^8-\ 137122522076695347044173840*n^7+80644708054956054901056576*n^6-\ 36551960004829703501603520*n^5+12384366539937647855558400*n^4-\ 3000946825359846236160000*n^3+485656804696213301760000*n^2-\ 46514281434817996800000*n+1979180848060416000000)/(-1+4*n)^2/(-1+2*n)^2/(-3+4*n )^2/(-5+4*n)^2/(-3+2*n)^2/(-7+4*n)^2/(-9+4*n)^2/(2*n-5)^2/(-11+4*n)^2/(4*n-13)^ 2/(2*n-7)^2/(4*n-15)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[5., .5468750000e-1], [6., .1367187500], [7., .1962890625], [8., .2072143555], [9., .1741027832], [10., .1192016602], [11., .6671905518e-1], [12., .3030681610\ e-1], [13., .1097559929e-1], [14., .3068447113e-2], [15., .6264746189e-3], [16. , .8390285075e-4], [17., .5593523383e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 4390797163 968786837598775623 [----------, ---------------------, 536870912 536870912 1/2 133762564335335980599619298 968786837598775623 -------------------------------------------------, 312849312234878817705427049566346043 894001836334784919406582270083214927 ------------------------------------] 312849312234878817705427049566346043 and in floating-point [8.178497037, 1.833345178, .4208365932, 2.857611640] Here is a plot + HHHHH 0.2 HHH HH + H HH + HH HH + H H + H H 0.15 H H + H H + H HH + H H 0.1 H H + H H + H H + H H + H HH 0.05 HH + HH + HHH + HHH + HHHHHH +--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+--+-+-+--+*********************+ 0 6 8 10 12 14 16 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 6], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 6, to , 21 The probability distribution is 21 (-5 + n) (n - 2) (n - 3) (-4 + n) [---------------------------------------------, 8 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) 135 (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (1 + n) --------------------------------------------------------, 8 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) 315 (25 n + 18) (1 + n) (-5 + n) (-4 + n) (n - 3) (n - 2) --------------------------------------------------------------------, 64 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) 2 35 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (1 + n) (151 n + 179 n + 42) --------------------------------------------------------------------, 135 32 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) 2 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) n (1 + n) (85 n + 122 n + 30)/(16 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n)), 9 3 2 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) n (1 + n) (2333 n + 3567 n - 212 n - 438)/(16 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5)), 165 n (n - 3) (-5 + n) (-4 + n) (2 + n) (1 + n) 3 2 (12763 n - 5766 n - 4783 n + 1986)/(512 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n)), 1485 (-4 + n) (-5 + n) (-1 + n) n (1 + n) (2 + n) (5 n - 3) 2 (191 n + 219 n - 182)/(512 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n)), 19305 (-5 + n) 3 2 2 (-1 + n) (2 + n) (-4 + n) (339 n - 157 n - 1138 n + 1032) (1 + n) n/( 1024 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n) (4 n - 13)), 15015 n (-1 + n) (-4 + n) 2 4 3 2 (-5 + n) (2 + n) (1 + n) (427 n - 210 n - 2431 n + 1686 n + 1800)/(1024 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) 2 (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n) (4 n - 13) (2 n - 7)), 27027 n (-5 + n) 2 (-4 + n) (n - 2) (-1 + n) (2 + n) (1 + n) 3 2 (389 n + 561 n - 2036 n - 1914)/(1024 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n) 2 (4 n - 13) (2 n - 7) (4 n - 15)), 6435 n (n - 2) (-1 + n) (-5 + n) 2 3 2 (1 + n) (2 + n) (3 + n) (137 n - 231 n - 392 n + 186)/(256 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) 2 (-11 + 4 n) (4 n - 13) (2 n - 7) (4 n - 15)), 36465 n (n - 2) (-5 + n) 2 2 2 2 (3 + n) (205 n - 599 n + 36) (-1 + n) (2 + n) (1 + n) /(2048 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n) (4 n - 13) (2 n - 7) (4 n - 15) (-17 + 4 n)), 984555 (n - 2) 2 2 3 2 (n - 3) (-5 + n) (3 n - 4) (3 + n) (2 + n) (-1 + n) (1 + n) n /(2048 (-17 + 4 n) (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) 3 2 (-1 + 4 n) (-9 + 2 n)), 6235515 n (-5 + n) (3 + n) (n - 3) (-1 + n) 2 2 3 (n - 2) (2 + n) (1 + n) /(8192 (-17 + 4 n) (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n)), 415701 3 2 2 3 3 n (n - 3) (3 + n) (n - 2) (2 + n) (-1 + n) (1 + n) /(8192 (-17 + 4 n) (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n))] and in Maple notation [21/8*(-5+n)*(n-2)*(n-3)*(-4+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n), 135/8*(n-2 )*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*(1+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n), 315/ 64*(25*n+18)*(1+n)*(-5+n)*(-4+n)*(n-3)*(n-2)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n )/(-3+2*n)/(-7+4*n), 35/32*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*(1+n)*(151*n^2+179*n+42)/(-1+4*n )/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n), 135/16*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*n*(1 +n)*(85*n^2+122*n+30)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9 +4*n), 9/16*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*n*(1+n)*(2333*n^3+3567*n^2-212*n-438)/(-1+4*n)/ (-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5), 165/512*n*(n-3)* (-5+n)*(-4+n)*(2+n)*(1+n)*(12763*n^3-5766*n^2-4783*n+1986)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-\ 3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n), 1485/512*(-4+n)*( -5+n)*(-1+n)*n*(1+n)*(2+n)*(5*n-3)*(191*n^2+219*n-182)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4* n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n), 19305/1024*(-5+n)*(-1 +n)*(2+n)*(-4+n)*(339*n^3-157*n^2-1138*n+1032)*(1+n)^2*n/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+ 4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13), 15015/1024 *n*(-1+n)*(-4+n)*(-5+n)*(2+n)*(1+n)^2*(427*n^4-210*n^3-2431*n^2+1686*n+1800)/(-\ 1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/ (4*n-13)/(2*n-7), 27027/1024*n^2*(-5+n)*(-4+n)*(n-2)*(-1+n)*(2+n)*(1+n)^2*(389* n^3+561*n^2-2036*n-1914)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/ (-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13)/(2*n-7)/(4*n-15), 6435/256*n^2*(n-2)*(-1+n) *(-5+n)*(1+n)^2*(2+n)*(3+n)*(137*n^3-231*n^2-392*n+186)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4 *n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13)/(2*n-7)/(4*n -15), 36465/2048*n^2*(n-2)*(-5+n)*(3+n)*(205*n^2-599*n+36)*(-1+n)^2*(2+n)^2*(1+ n)^2/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-\ 11+4*n)/(4*n-13)/(2*n-7)/(4*n-15)/(-17+4*n), 984555/2048*(n-2)*(n-3)*(-5+n)*(3* n-4)*(3+n)*(2+n)^2*(-1+n)^2*(1+n)^3*n^2/(-17+4*n)/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-\ 11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/ (-9+2*n), 6235515/8192*n^3*(-5+n)*(3+n)*(n-3)*(-1+n)^2*(n-2)^2*(2+n)^2*(1+n)^3/ (-17+4*n)/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n )/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/(-9+2*n)/(-19+4*n), 415701/8192*n^3*(n-3) *(3+n)*(n-2)^2*(2+n)^2*(-1+n)^3*(1+n)^3/(-17+4*n)/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-\ 11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/ (-9+2*n)/(-19+4*n)] `The average is` 9/8192*(317281807261*n^15-11495527186660*n^14+189282762650220*n^13-\ 1874763715826600*n^12+12459274956421862*n^11-58672965623471760*n^10+ 201530338672098260*n^9-511884493823799800*n^8+964165824093279093*n^7-\ 1337619242238066700*n^6+1343872743780740920*n^5-949182433377261600*n^4+ 449181514870352784*n^3-131616420883634880*n^2+20734885931961600*n-\ 1267136462592000)/(-17+4*n)/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n )/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/(-9+2*n)/(-19+4*n) and the variance is 45/67108864*(-5+n)*(1+n)*(8056624969985698050019*n^28-550920807408886439111340* n^27+17953088136241635801426327*n^26-371065789724154492421241808*n^25+ 5461670657836641000864129495*n^24-60935772689112765004035261540*n^23+ 535579909112353279158330706155*n^22-3804813056069264457601595032920*n^21+ 22241962916303665957745048732985*n^20-108364948277410356790943316356340*n^19+ 444069468961345445934617089148085*n^18-1540452238163235661712544944867040*n^17+ 4542886202288621272375826581407405*n^16-11417371203580477796046977695702140*n^ 15+24474693745277932983100983385669545*n^14-44719371355987595674320991084508280 *n^13+69495959357519021560950592211060640*n^12-\ 91512737017206705033135628499543040*n^11+101548944908621729411924247631474400*n ^10-94248217629876526228788110363001600*n^9+72432808279560581952862535250686976 *n^8-45495033629782836058795875845606400*n^7+ 22954222800201563683890504968671488*n^6-9091543104404430248633155353188352*n^5+ 2739188686260038750859793165332480*n^4-600205513701330419799755162419200*n^3+ 89262931617789905837894344704000*n^2-7977766250778528150585999360000*n+ 321126962966033403071692800000)/(-17+4*n)^2/(4*n-15)^2/(2*n-7)^2/(4*n-13)^2/(-\ 11+4*n)^2/(2*n-5)^2/(-9+4*n)^2/(-7+4*n)^2/(-3+2*n)^2/(-5+4*n)^2/(-3+4*n)^2/(-1+ 2*n)^2/(-1+4*n)^2/(-9+2*n)^2/(-19+4*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[6., .2050781250e-1], [7., .6591796875e-1], [8., .1201629639], [9., .161285400\ 4], [10., .1750946045], [11., .1601943970], [12., .1255211234], [13., .\ 8452981710e-1], [14., .4875954241e-1], [15., .2388434485e-1], [16., .9791462682\ e-2], [17., .3284197301e-2], [18., .8702423656e-3], [19., .1719259308e-3], [20. , .2268467142e-4], [21., .1512311428e-5]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 2855536265349 3 40283124849928490250095 [-------------, ----------------------------, 274877906944 274877906944 1/2 1627250634205386415223915977051682 40283124849928490250095 -------------------------------------------------------------, 973638088604955750079904599419498885388505415 8217496433354950283472919696645117750277727361 ----------------------------------------------] 2920914265814867250239713798258496656165516245 and in floating-point [10.38838042, 2.190498679, .3354427968, 2.813330240] Here is a plot + HHHH + HHH HHH 0.16 HH HH + H H 0.14 H HH + HH H 0.12 H H + H H + H H 0.1 H H + H HH 0.08 H H + HH H 0.06 H H + H HH 0.04 H HH + H HH + H HH 0.02 HHHH + HHHHH ++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-++-+-+-+-+-+-+-+-**********************- 0 6 8 10 12 14 16 18 20 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 7], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 7, to , 25 The probability distribution is 15 (-6 + n) (-5 + n) (n - 2) (n - 3) (-4 + n) [--------------------------------------------------------, 8 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) 945 (1 + n) (-6 + n) (-5 + n) (n - 2) (n - 3) (-4 + n) --------------------------------------------------------------------, 32 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) 15 (1 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (n - 3) (139 n + 98) --------------------------------------------------------------------, 3 32 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) 2 (1 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (n - 3) (562 n + 635 n + 147)/(4 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n)), 225 n (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (n - 3) (1 + n) 2 (629 n + 815 n + 194)/(128 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5)), 17325 n (n - 3) (-4 + n) 3 2 (-5 + n) (-6 + n) (1 + n) (73 n + 90 n - 9 n - 10)/(256 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n)), 275 n (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (1 + n) 4 3 2 (8975 n + 8836 n - 10403 n - 1780 n + 1428)/(512 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n)), 10725 n (-4 + n) (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (2 + n) (1 + n) 3 2 (397 n - 156 n - 187 n + 78)/(256 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n) (4 n - 13)), 3003 n (-4 + n) (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (2 + n) (1 + n) 3 2 (3 n - 4) (1447 n + 699 n - 2380 n + 888)/(512 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n) (4 n - 13) (2 n - 7)), 10725 n (-1 + n) (-4 + n) (-5 + n) 4 3 2 (-6 + n) (2 + n) (13193 n - 31146 n - 26617 n + 115394 n - 76440) 2 (1 + n) /(2048 (-11 + 4 n) (-7 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (2 n - 7) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-5 + 4 n) (-1 + 4 n) (-3 + 2 n) (4 n - 13) 2 (4 n - 15)), 6435 n (n - 2) (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (2 + n) (1 + n) 4 3 2 (6579 n - 6054 n - 35411 n + 34046 n + 29400)/(1024 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) 2 (-11 + 4 n) (4 n - 13) (2 n - 7) (4 n - 15)), 36465 n (n - 2) (-1 + n) 2 (-6 + n) (-5 + n) (2 + n) (1 + n) 4 3 2 (608 n - 935 n - 4760 n + 6035 n + 6612)/(256 (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) 2 (-11 + 4 n) (4 n - 13) (2 n - 7) (4 n - 15) (-17 + 4 n)), 255255 n (-1 + n) (n - 2) (-5 + n) (-6 + n) (2 + n) 5 4 3 2 2 (1259 n - 2807 n - 12425 n + 23735 n + 21126 n - 12888) (1 + n) /(4096 (-11 + 4 n) (-7 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-17 + 4 n) (2 n - 7) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-5 + 4 n) (-1 + 4 n) (-3 + 2 n) (-9 + 2 n) (4 n - 13) (4 n - 15)), 415701 (n - 2) (n - 3) (-5 + n) (-6 + n) (3 + n) 3 2 2 2 2 (2 + n) (2383 n - 4807 n - 10102 n + 2968) (-1 + n) (1 + n) n /(8192 (-11 + 4 n) (-19 + 4 n) (-7 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-17 + 4 n) (2 n - 7) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-5 + 4 n) (-1 + 4 n) (-3 + 2 n) (-9 + 2 n) (4 n - 13) (4 n - 15)), 10392525 (n - 2) (n - 3) (-6 + n) (3 + n) 3 2 2 2 2 2 (61 n - 301 n + 278 n + 40) (-1 + n) (2 + n) (1 + n) n /(16384 (-11 + 4 n) (-19 + 4 n) (-7 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-17 + 4 n) (2 n - 7) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-5 + 4 n) (-1 + 4 n) (-3 + 2 n) (-9 + 2 n) 2 (4 n - 13) (4 n - 15)), 4849845 n (n - 3) (-6 + n) (3 + n) 2 2 2 2 3 (67 n - 337 n + 300) (-1 + n) (n - 2) (2 + n) (1 + n) /(8192 (-11 + 4 n) (-19 + 4 n) (-7 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-17 + 4 n) (2 n - 7) (4 n - 21) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-5 + 4 n) (-1 + 4 n) (-3 + 2 n) (-9 + 2 n) (4 n - 13) (4 n - 15)), 22863555 (n - 3) (-4 + n) (-6 + n) 2 2 2 3 3 (11 n - 26) (3 + n) (-1 + n) (n - 2) (2 + n) (1 + n) n /(16384 (-11 + 4 n) (-19 + 4 n) (-7 + 4 n) (2 n - 5) (2 n - 11) (-9 + 4 n) (-17 + 4 n) (2 n - 7) (4 n - 21) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-5 + 4 n) 3 (-1 + 4 n) (-3 + 2 n) (-9 + 2 n) (4 n - 13) (4 n - 15)), 525861765 n 2 2 2 3 3 (-6 + n) (3 + n) (-4 + n) (n - 2) (n - 3) (2 + n) (-1 + n) (1 + n) /( 65536 (4 n - 15) (4 n - 23) (4 n - 13) (-9 + 2 n) (-3 + 2 n) (-1 + 4 n) (-5 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (4 n - 21) (2 n - 7) (-17 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 5) (-7 + 4 n) (-19 + 4 n) (-11 + 4 n)), 3 2 2 3 3 3 35057451 n (3 + n) (-4 + n) (2 + n) (n - 3) (-1 + n) (n - 2) (1 + n) / (65536 (4 n - 15) (4 n - 23) (4 n - 13) (-9 + 2 n) (-3 + 2 n) (-1 + 4 n) (-5 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (4 n - 21) (2 n - 7) (-17 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 5) (-7 + 4 n) (-19 + 4 n) (-11 + 4 n))] and in Maple notation [15/8*(-6+n)*(-5+n)*(n-2)*(n-3)*(-4+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+ 2*n), 945/32*(1+n)*(-6+n)*(-5+n)*(n-2)*(n-3)*(-4+n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/ (-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n), 15/32*(1+n)*(-6+n)*(-5+n)*(-4+n)*(n-3)*(139*n+98)/( -1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n), 3/4*(1+n)*(-6+n)*(-5+n)*( -4+n)*(n-3)*(562*n^2+635*n+147)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-\ 7+4*n)/(-9+4*n), 225/128*n*(-6+n)*(-5+n)*(-4+n)*(n-3)*(1+n)*(629*n^2+815*n+194) /(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5), 17325/ 256*n*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(1+n)*(73*n^3+90*n^2-9*n-10)/(-1+4*n)/(-1+2*n) /(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n), 275/512*n*(-4+ n)*(-5+n)*(-6+n)*(1+n)*(8975*n^4+8836*n^3-10403*n^2-1780*n+1428)/(-1+4*n)/(-1+2 *n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n), 10725/256*n *(-4+n)*(-1+n)*(-5+n)*(-6+n)*(2+n)*(1+n)*(397*n^3-156*n^2-187*n+78)/(-1+4*n)/(-\ 1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13), 3003/512*n*(-4+n)*(-1+n)*(-5+n)*(-6+n)*(2+n)*(1+n)*(3*n-4)*(1447*n^3+699*n^2-\ 2380*n+888)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n -5)/(-11+4*n)/(4*n-13)/(2*n-7), 10725/2048*n*(-1+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(2+n)* (13193*n^4-31146*n^3-26617*n^2+115394*n-76440)*(1+n)^2/(-11+4*n)/(-7+4*n)/(2*n-\ 5)/(-9+4*n)/(2*n-7)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-5+4*n)/(-1+4*n)/(-3+2*n)/(4*n-13)/(4*n-\ 15), 6435/1024*n*(n-2)*(-1+n)*(-5+n)*(-6+n)*(2+n)*(1+n)^2*(6579*n^4-6054*n^3-\ 35411*n^2+34046*n+29400)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/ (-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13)/(2*n-7)/(4*n-15), 36465/256*n^2*(n-2)*(-1+n )*(-6+n)*(-5+n)*(2+n)*(1+n)^2*(608*n^4-935*n^3-4760*n^2+6035*n+6612)/(-1+4*n)/( -1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13) /(2*n-7)/(4*n-15)/(-17+4*n), 255255/4096*n^2*(-1+n)*(n-2)*(-5+n)*(-6+n)*(2+n)*( 1259*n^5-2807*n^4-12425*n^3+23735*n^2+21126*n-12888)*(1+n)^2/(-11+4*n)/(-7+4*n) /(2*n-5)/(-9+4*n)/(-17+4*n)/(2*n-7)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-5+4*n)/(-1+4*n)/(-3+2*n )/(-9+2*n)/(4*n-13)/(4*n-15), 415701/8192*(n-2)*(n-3)*(-5+n)*(-6+n)*(3+n)*(2+n) *(2383*n^3-4807*n^2-10102*n+2968)*(-1+n)^2*(1+n)^2*n^2/(-11+4*n)/(-19+4*n)/(-7+ 4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-17+4*n)/(2*n-7)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-5+4*n)/(-1+4*n)/(-3 +2*n)/(-9+2*n)/(4*n-13)/(4*n-15), 10392525/16384*(n-2)*(n-3)*(-6+n)*(3+n)*(61*n ^3-301*n^2+278*n+40)*(-1+n)^2*(2+n)^2*(1+n)^2*n^2/(-11+4*n)/(-19+4*n)/(-7+4*n)/ (2*n-5)/(-9+4*n)/(-17+4*n)/(2*n-7)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-5+4*n)/(-1+4*n)/(-3+2*n) /(-9+2*n)/(4*n-13)/(4*n-15), 4849845/8192*n^2*(n-3)*(-6+n)*(3+n)*(67*n^2-337*n+ 300)*(-1+n)^2*(n-2)^2*(2+n)^2*(1+n)^3/(-11+4*n)/(-19+4*n)/(-7+4*n)/(2*n-5)/(-9+ 4*n)/(-17+4*n)/(2*n-7)/(4*n-21)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-5+4*n)/(-1+4*n)/(-3+2*n)/(-\ 9+2*n)/(4*n-13)/(4*n-15), 22863555/16384*(n-3)*(-4+n)*(-6+n)*(11*n-26)*(3+n)*(-\ 1+n)^2*(n-2)^2*(2+n)^2*(1+n)^3*n^3/(-11+4*n)/(-19+4*n)/(-7+4*n)/(2*n-5)/(2*n-11 )/(-9+4*n)/(-17+4*n)/(2*n-7)/(4*n-21)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-5+4*n)/(-1+4*n)/(-3+2 *n)/(-9+2*n)/(4*n-13)/(4*n-15), 525861765/65536*n^3*(-6+n)*(3+n)*(-4+n)*(n-2)^2 *(n-3)^2*(2+n)^2*(-1+n)^3*(1+n)^3/(4*n-15)/(4*n-23)/(4*n-13)/(-9+2*n)/(-3+2*n)/ (-1+4*n)/(-5+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(4*n-21)/(2*n-7)/(-17+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-11 )/(2*n-5)/(-7+4*n)/(-19+4*n)/(-11+4*n), 35057451/65536*n^3*(3+n)*(-4+n)*(2+n)^2 *(n-3)^2*(-1+n)^3*(n-2)^3*(1+n)^3/(4*n-15)/(4*n-23)/(4*n-13)/(-9+2*n)/(-3+2*n)/ (-1+4*n)/(-5+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(4*n-21)/(2*n-7)/(-17+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-11 )/(2*n-5)/(-7+4*n)/(-19+4*n)/(-11+4*n)] `The average is` 5/65536*(178758801947039*n^18-9389434263885291*n^17+227942187499169214*n^16-\ 3393349405285819548*n^15+34657246170012117378*n^14-257398919261543568162*n^13+ 1437619453646031354608*n^12-6158599471875388207956*n^11+20453986254265223912967 *n^10-52875139372849571266203*n^9+106193313695832874020042*n^8-\ 164445225959987177692344*n^7+193615549688853300934976*n^6-\ 169534520692874449466544*n^5+106776520770990146543136*n^4-\ 45975550535849159569152*n^3+12480321995008594352640*n^2-1850319560788483276800* n+107716736412020736000)/(4*n-15)/(4*n-23)/(4*n-13)/(-9+2*n)/(-3+2*n)/(-1+4*n)/ (-5+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(4*n-21)/(2*n-7)/(-17+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-11)/(2*n-5) /(-7+4*n)/(-19+4*n)/(-11+4*n) and the variance is 15/4294967296*(-6+n)*(1+n)*(2113948942072193039906822505*n^34-\ 212131984398388108000303576685*n^33+10231802426389217187814582100506*n^32-\ 315895092195431120810012056306440*n^31+7014065575546557847238234627010716*n^30-\ 119306669760273886384400273875517020*n^29+1617036545532139302211673648587104144 *n^28-17934506692853106761601216493430727480*n^27+ 165882206477504179732472566968091509654*n^26-\ 1297501851543062137031667859265136903390*n^25+ 8672944090218285320737827553596096338340*n^24-\ 49937918185410469493180220286323178954200*n^23+ 249182761438631470004258158253663126114940*n^22-\ 1082390441028511216792505602943192675315100*n^21+ 4106162454852816645833854172661492316939680*n^20-\ 13633719347751237322779608785760325776310600*n^19+ 39668185444912946874312280529743342372341705*n^18-\ 101171739547231294323162243652301074812023325*n^17+ 226065570175170576248060194905923269365502290*n^16-\ 441944551854469004689026761397507660885037600*n^15+ 754180365207340118609063348886802850010995360*n^14-\ 1119847771555429320606314276776887939967479840*n^13+ 1440654603620868346156474819004955758303308864*n^12-\ 1596933270168114805551564005126271271332124160*n^11+ 1514664025164187194013687899224302060505474304*n^10-\ 1218570479182135702427009062247898541816654080*n^9+ 822459216913926558524801149101352797329496576*n^8-\ 459259745609052399854206991515438312756715520*n^7+ 208407936633030407162618235016862376747810816*n^6-\ 75074359658454159646638565413048601646530560*n^5+ 20796738571675128246394663459463308237209600*n^4-\ 4234808813468631930787557532447826509824000*n^3+ 591487417695417267498495332389402705920000*n^2-\ 50158976338684607113593284368269312000000*n+ 1933815883876125643706079815663616000000)/(4*n-15)^2/(4*n-23)^2/(4*n-13)^2/(-9+ 2*n)^2/(-3+2*n)^2/(-1+4*n)^2/(-5+4*n)^2/(-1+2*n)^2/(-3+4*n)^2/(4*n-21)^2/(2*n-7 )^2/(-17+4*n)^2/(-9+4*n)^2/(2*n-11)^2/(2*n-5)^2/(-7+4*n)^2/(-19+4*n)^2/(-11+4*n )^2 as n goes to infinity, the distribution is [[7., .7324218750e-2], [8., .2883911133e-1], [9., .6362915039e-1], [10., .10290\ 52734], [11., .1349687576], [12., .1507669687], [13., .1471117139], [14., .1268\ 930733], [15., .9712594002e-1], [16., .6588870892e-1], [17., .3942834679e-1], [ 18., .2064809203e-1], [19., .9352982888e-2], [20., .3603838133e-2], [21., .\ 1153137464e-2], [22., .2955308582e-3], [23., .5718427587e-4], [24., .7472945143\ e-5], [25., .4981963428e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 893794009735195 15 140929929471479535993788167 [---------------, ---------------------------------, 70368744177664 70368744177664 1/2 20483826453991795116194283167762266828178 140929929471479535993788167 ------------------------------------------------------------------------, 893756025937628832933358852212813497352282489114895005 62351051205395191724949664479455140131326634120889261057 --------------------------------------------------------] 22343900648440720823333971305320337433807062227872375125 and in floating-point [12.70157682, 2.530539238, .2720781852, 2.790517743] Here is a plot + HHHHHH 0.14 HH H + HH HH + H HH 0.12 H H + HH H + H HH 0.1 H H + H H 0.08 HH H + H HH + H H 0.06 HH H + H H + H H 0.04 H HH + H H 0.02 HH HH + H HHH +HH HHHHH +++-+-++-++-+-++-+-++-++-+-++-++-+-++-+-++-++-+-++-+-+**********************- 0 8 10 12 14 16 18 20 22 24 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 8], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 8, to , 29 The probability distribution is 165 (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) [--------------------------------------------------------------------, 64 (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) 385 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (1 + n) --------------------------------------------------------------------, 693 32 (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (23 n + 16) (1 + n)/(128 (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n)), 15 (-4 + n) (n - 3) (-6 + n) (-5 + n) (-7 + n) (1 + n) 2 (4007 n + 4393 n + 1008)/(128 (-7 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-5 + 4 n) (-1 + 4 n) (-3 + 2 n)), 55 n (n - 3) (-4 + n) 2 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (1 + n) (26689 n + 32421 n + 7586)/(512 (-11 + 4 n) (-7 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-5 + 4 n) (-1 + 4 n) (-3 + 2 n)), 165 n (-7 + n) (-5 + n) (-6 + n) 3 2 (-4 + n) (1 + n) (11593 n + 12386 n - 1477 n - 1334)/(512 (-11 + 4 n) (-7 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-5 + 4 n) (-1 + 4 n) (-3 + 2 n)), 143 n (-7 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-4 + n) (1 + n) 4 3 2 (122671 n + 83558 n - 124327 n - 10622 n + 13392)/(1024 (-11 + 4 n) (-7 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-5 + 4 n) (-1 + 4 n) (-3 + 2 n) (4 n - 13)), 2145 n (-1 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) 4 3 2 (1 + n) (16781 n + 18214 n - 20025 n - 4690 n + 3376)/(1024 (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n)), 225225 (-1 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (3 n - 4) (2 + n) (1 + n) 3 2 (395 n - 136 n - 221 n + 94) n/(2048 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n)), 75075 (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) 3 2 (-7 + n) (3 n - 4) (3 n - 5) (2 + n) (1 + n) (83 n + 36 n - 137 n + 54) n /(512 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n)), 60775 n (-1 + n) (n - 2) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 + n) 4 3 2 2 (11255 n - 28692 n - 17099 n + 99720 n - 74592) (1 + n) /(2048 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) (-17 + 4 n)), 21879 (-1 + n) (n - 2) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 + n) 5 4 3 2 2 (43121 n - 155717 n - 88817 n + 787133 n - 450648 n - 493920) (1 + n) n/(2048 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) 2 (-17 + 4 n) (-9 + 2 n)), 138567 n (-1 + n) (n - 2) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (2 + n) 5 4 3 2 (33821 n - 160673 n - 50555 n + 1060145 n - 763686 n - 1001052) 2 (1 + n) /(4096 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) 2 (-1 + 4 n) (-17 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n)), 230945 n (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-6 + n) (-7 + n) (2 + n) 5 4 3 2 2 (11267 n - 33531 n - 93685 n + 257715 n + 148478 n - 113844) (1 + n) /( 4096 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) (-17 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n)), 692835 (n - 2) (n - 3) (-6 + n) (-7 + n) (2 + n) 5 4 3 2 (59107 n - 195114 n - 677279 n + 1804086 n + 1936024 n - 876480) 2 2 2 (-1 + n) (1 + n) n /(32768 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) 2 (-1 + 4 n) (-17 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 21)), 17782765 n (n - 2) (n - 3) (-6 + n) (-7 + n) (3 + n) (2 + n) 5 4 3 2 2 (1981 n - 15342 n + 25303 n + 35898 n - 73688 n + 8640) (-1 + n) 2 (1 + n) /(32768 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) (-17 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 21) (2 n - 11)), 245402157 (n - 3) (-4 + n) (3 n - 4) (-6 + n) (-7 + n) (3 + n) 2 2 2 2 2 2 (283 n - 1132 n - 335) (-1 + n) (n - 2) (2 + n) (1 + n) n /(131072 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) (-17 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 21) (2 n - 11) (4 n - 23)), 105172353 (n - 3) 2 2 2 (-4 + n) (-7 + n) (3 + n) (307 n - 2181 n + 3500) (n - 2) (2 + n) 3 3 2 (-1 + n) (1 + n) n /(65536 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) (-17 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 21) (2 n - 11) 3 (4 n - 23)), 292145425 n (-4 + n) (-7 + n) (3 + n) 2 2 2 2 2 3 (443 n - 3147 n + 4804) (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (2 + n) (1 + n) /( 262144 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) (-17 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 21) (2 n - 11) (4 n - 23) (4 n - 25)), 3797890525 (13 n - 44) (-4 + n) (-5 + n) (-7 + n) (3 + n) 2 2 2 3 3 3 (n - 2) (n - 3) (2 + n) (-1 + n) (1 + n) n /(262144 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n) (-17 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 21) (2 n - 11) (4 n - 23) (4 n - 25) (2 n - 13)), 3 2 2 2 102543044175 n (-5 + n) (-7 + n) (3 + n) (n - 3) (-4 + n) (2 + n) 3 3 3 (-1 + n) (n - 2) (1 + n) /(1048576 (4 n - 27) (2 n - 13) (4 n - 25) (4 n - 23) (2 n - 11) (4 n - 21) (-19 + 4 n) (-9 + 2 n) (-17 + 4 n) (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n) (4 n - 13) (2 n - 7) (4 n - 15)), 3 2 2 3 3 6836202945 n (3 + n) (-5 + n) (2 + n) (-4 + n) (-1 + n) (n - 2) 3 3 (n - 3) (1 + n) /(1048576 (4 n - 27) (2 n - 13) (4 n - 25) (4 n - 23) (2 n - 11) (4 n - 21) (-19 + 4 n) (-9 + 2 n) (-17 + 4 n) (-1 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (2 n - 5) (-11 + 4 n) (4 n - 13) (2 n - 7) (4 n - 15))] and in Maple notation [165/64*(n-2)*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+ 4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n), 385/32*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(1+n)/(-7+4*n) /(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n), 693/128*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+ n)*(-7+n)*(23*n+16)*(1+n)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n) /(-1+4*n), 15/128*(-4+n)*(n-3)*(-6+n)*(-5+n)*(-7+n)*(1+n)*(4007*n^2+4393*n+1008 )/(-7+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-5+4*n)/(-1+4*n)/(-3+2*n), 55/ 512*n*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(1+n)*(26689*n^2+32421*n+7586)/(-11+4*n )/(-7+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-5+4*n)/(-1+4*n)/(-3+2*n), 165/ 512*n*(-7+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-4+n)*(1+n)*(11593*n^3+12386*n^2-1477*n-1334)/(-11+ 4*n)/(-7+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-5+4*n)/(-1+4*n)/(-3+2*n), 143/1024*n*(-7+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-4+n)*(1+n)*(122671*n^4+83558*n^3-124327*n^2-\ 10622*n+13392)/(-11+4*n)/(-7+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-5+4*n)/( -1+4*n)/(-3+2*n)/(4*n-13), 2145/1024*n*(-1+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(1+n) *(16781*n^4+18214*n^3-20025*n^2-4690*n+3376)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5) /(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n), 225225/2048*(-\ 1+n)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(3*n-4)*(2+n)*(1+n)*(395*n^3-136*n^2-221*n+94) *n/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4 *n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n), 75075/512*(-1+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(3*n-4)*( 3*n-5)*(2+n)*(1+n)*(83*n^3+36*n^2-137*n+54)*n/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4* n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n), 60775/2048*n*(-1+n)*(n-2)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(2+n)*(11255*n^4-28692*n^3-17099 *n^2+99720*n-74592)*(1+n)^2/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n )/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/(-17+4*n), 21879/2048*( -1+n)*(n-2)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(2+n)*(43121*n^5-155717*n^4-88817*n^3+787133*n ^2-450648*n-493920)*(1+n)^2*n/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4 *n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/(-17+4*n)/(-9+2*n), 138567/4096*n^2*(-1+n)*(n-2)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(2+n)*(33821*n^5-160673*n^4-\ 50555*n^3+1060145*n^2-763686*n-1001052)*(1+n)^2/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+ 4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/(-\ 17+4*n)/(-9+2*n)/(-19+4*n), 230945/4096*n^2*(-1+n)*(n-2)*(n-3)*(-6+n)*(-7+n)*(2 +n)*(11267*n^5-33531*n^4-93685*n^3+257715*n^2+148478*n-113844)*(1+n)^2/(4*n-15) /(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n )/(-1+2*n)/(-1+4*n)/(-17+4*n)/(-9+2*n)/(-19+4*n), 692835/32768*(n-2)*(n-3)*(-6+ n)*(-7+n)*(2+n)*(59107*n^5-195114*n^4-677279*n^3+1804086*n^2+1936024*n-876480)* (-1+n)^2*(1+n)^2*n^2/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4 *n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/(-17+4*n)/(-9+2*n)/(-19+4*n)/( 4*n-21), 17782765/32768*n^2*(n-2)*(n-3)*(-6+n)*(-7+n)*(3+n)*(2+n)*(1981*n^5-\ 15342*n^4+25303*n^3+35898*n^2-73688*n+8640)*(-1+n)^2*(1+n)^2/(4*n-15)/(2*n-7)/( 4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n) /(-1+4*n)/(-17+4*n)/(-9+2*n)/(-19+4*n)/(4*n-21)/(2*n-11), 245402157/131072*(n-3 )*(-4+n)*(3*n-4)*(-6+n)*(-7+n)*(3+n)*(283*n^2-1132*n-335)*(-1+n)^2*(n-2)^2*(2+n )^2*(1+n)^2*n^2/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/( -3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/(-17+4*n)/(-9+2*n)/(-19+4*n)/(4*n-\ 21)/(2*n-11)/(4*n-23), 105172353/65536*(n-3)*(-4+n)*(-7+n)*(3+n)*(307*n^2-2181* n+3500)*(n-2)^2*(2+n)^2*(-1+n)^3*(1+n)^3*n^2/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n )/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/(-17+4 *n)/(-9+2*n)/(-19+4*n)/(4*n-21)/(2*n-11)/(4*n-23), 292145425/262144*n^3*(-4+n)* (-7+n)*(3+n)*(443*n^2-3147*n+4804)*(-1+n)^2*(n-2)^2*(n-3)^2*(2+n)^2*(1+n)^3/(4* n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-\ 3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/(-17+4*n)/(-9+2*n)/(-19+4*n)/(4*n-21)/(2*n-11)/(4*n-23 )/(4*n-25), 3797890525/262144*(13*n-44)*(-4+n)*(-5+n)*(-7+n)*(3+n)*(n-2)^2*(n-3 )^2*(2+n)^2*(-1+n)^3*(1+n)^3*n^3/(4*n-15)/(2*n-7)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-\ 9+4*n)/(-7+4*n)/(-3+2*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+2*n)/(-1+4*n)/(-17+4*n)/(-9+2*n) /(-19+4*n)/(4*n-21)/(2*n-11)/(4*n-23)/(4*n-25)/(2*n-13), 102543044175/1048576*n ^3*(-5+n)*(-7+n)*(3+n)*(n-3)^2*(-4+n)^2*(2+n)^2*(-1+n)^3*(n-2)^3*(1+n)^3/(4*n-\ 27)/(2*n-13)/(4*n-25)/(4*n-23)/(2*n-11)/(4*n-21)/(-19+4*n)/(-9+2*n)/(-17+4*n)/( -1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n) /(4*n-13)/(2*n-7)/(4*n-15), 6836202945/1048576*n^3*(3+n)*(-5+n)*(2+n)^2*(-4+n)^ 2*(-1+n)^3*(n-2)^3*(n-3)^3*(1+n)^3/(4*n-27)/(2*n-13)/(4*n-25)/(4*n-23)/(2*n-11) /(4*n-21)/(-19+4*n)/(-9+2*n)/(-17+4*n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+ 2*n)/(-7+4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13)/(2*n-7)/(4*n-15)] `The average is` 11/1048576*(49464015386054131*n^21-3553011998606879451*n^20+ 119356537139238528671*n^19-2491431945378182733729*n^18+36213011315471435372472* n^17-389255610575992139338950*n^16+3207541257579669227260462*n^15-\ 20726256161340331555576338*n^14+106540335977676107389655123*n^13-\ 439404647891884725042654519*n^12+1459950857997086923815099363*n^11-\ 3908733074443044498530220237*n^10+8403945006514272768220945714*n^9-\ 14406416728155991215056040408*n^8+19464186028646202214952031104*n^7-\ 20376906196518744834432735696*n^6+16131640720971852329472934560*n^5-\ 9324281744116069151162172672*n^4+3735351014007570844918694400*n^3-\ 955439564929529295813120000*n^2+135014180725399346122752000*n-\ 7561714896123855667200000)/(4*n-27)/(2*n-13)/(4*n-25)/(4*n-23)/(2*n-11)/(4*n-21 )/(-19+4*n)/(-9+2*n)/(-17+4*n)/(-1+4*n)/(-1+2*n)/(-3+4*n)/(-5+4*n)/(-3+2*n)/(-7 +4*n)/(-9+4*n)/(2*n-5)/(-11+4*n)/(4*n-13)/(2*n-7)/(4*n-15) and the variance is 11/1099511627776*(-7+n)*(1+n)*(962313552112488031089625942695101*n^40-\ 133153111080251002473737694951192636*n^39+8908705734677216997857675707199541394 *n^38-383943519852442167222060326882806368168*n^37+ 11980211146365992582245495714965116570433*n^36-\ 288413715749444937563398717922107239463020*n^35+ 5574533880931964004947873205079275064879420*n^34-\ 88881216861370354675813926372630680979071136*n^33+ 1192012814702943950043213972594883591792605194*n^32-\ 13643849782034555074561792375675085136240775224*n^31+ 134777271359099333736440904685590920603849219676*n^30-\ 1159025123589907873362648462559572310586385117936*n^29+ 8736515875435433481697143554901175830453033818682*n^28-\ 58036958518297174224193924641714796579604584251000*n^27+ 341229527578326923094559469534866566232350088040880*n^26-\ 1781596588400741078356138891868909741873699712348000*n^25+ 8281166844234201343854883653797250276058585117158105*n^24-\ 34331284566551457450948249240670447133638283963755020*n^23+ 127096061166364824652895534534889721524421607227531330*n^22-\ 420432830925203283136091732158161956874644265082928040*n^21+ 1242875778073087507752468419461827726199694178608912069*n^20-\ 3282016060846529373949812333355565046450147704213636124*n^19+ 7734310345607875582724044348190909293273263788285770596*n^18-\ 16241276615123784495452148207621522065385976812959765952*n^17+ 30327455268529017864947080380415919079704350271135028512*n^16-\ 50222308561770073354531363938690449511087605331560545920*n^15+ 73506715433291306618407538248290246424552839435529229440*n^14-\ 94690469059104658755547397192865268073775323917425122304*n^13+ 106809669274861191646738767144297831142153248079531335936*n^12-\ 104841961597885876115446559694147724841653216043180891136*n^11+ 88876808572477864637512505990561823433604938952671294464*n^10-\ 64468329081932573862501557436520805730986960540446654464*n^9+ 39559169663184045166016901168739069866705503432414035968*n^8-\ 20243905957552579156549131220106678721987324412868689920*n^7+ 8484212749769682352040211370272695620297232877964492800*n^6-\ 2844071792864903623283773060278331390435868684058624000*n^5+ 738680143434745363982801191339955529242868543651840000*n^4-\ 142091670546566553793080130534327758205582363852800000*n^3+ 18889596694820162087634704655163801812508606464000000*n^2-\ 1536016020268586121886891565689692977155276800000000*n+ 57179532170261413303255857448697557155840000000000)/(4*n-27)^2/(2*n-13)^2/(4*n-\ 25)^2/(4*n-23)^2/(2*n-11)^2/(4*n-21)^2/(-19+4*n)^2/(-9+2*n)^2/(-17+4*n)^2/(-1+4 *n)^2/(-1+2*n)^2/(-3+4*n)^2/(-5+4*n)^2/(-3+2*n)^2/(-7+4*n)^2/(-9+4*n)^2/(2*n-5) ^2/(-11+4*n)^2/(4*n-13)^2/(2*n-7)^2/(4*n-15)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[8., .2517700195e-2], [9., .1174926758e-1], [10., .3040122986e-1], [11., .\ 5732059479e-1], [12., .8749336004e-1], [13., .1140144467], [14., .1306977347], [15., .1340927370], [16., .1242810977], [17., .1044590492], [18., .7963071403e-\ 1], [19., .5491568934e-1], [20., .3409858987e-1], [21., .1893245873e-1], [22., .9311269956e-2], [23., .4004920978e-2], [24., .1480390433e-2], [25., .\ 4588388318e-3], [26., .1149484270e-3], [27., .2192582863e-4], [28., .2846141216\ e-5], [29., .1897427478e-6]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 544104169246595441 10585449073237368341985885369646111 [------------------, --------------------------------------, 36028797018963968 36028797018963968 3150181375215583587777165372960315566495056992810 1/2 10585449073237368341985885369646111 / 1455217299767556627536680756625798756846757327434103258762563343173, 28308861868707339714579325542359028257489793251704957558997993302871 --------------------------------------------------------------------] 10186521098372896392756765296380591297927301292038722811337943402211 and in floating-point [15.10192441, 2.855649373, .2227216083, 2.779051022] Here is a plot + HHHHHH + H HH 0.12 HH H + H H + H HH 0.1 H H + H H + H HH 0.08 H H + H H + H H 0.06 HH H + H H + H H 0.04 H H + HH HH + H H 0.02 H HH + HH HH + HHH HHHHH +*---+--+---+--+---+--+---+--+---+--+---+--+---+--+---+*********************- 0 10 15 20 25 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 9], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 9, to , 33 The probability distribution is 55 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) [--------------------------------------------------------------------, 297 64 (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (1 + n)/(16 (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 15 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (235 n + 162) (1 + n)/ (32 (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 55 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) 2 (-8 + n) (1 + n) (551 n + 592 n + 135)/(32 (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 99 n (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (1 + n) 2 (4247 n + 4941 n + 1144)/(256 (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 2145 n (-8 + n) 3 2 (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (1 + n) (580 n + 561 n - 73 n - 60)/( 128 (4 n - 13) (-11 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 2 n) (-1 + 4 n)), 455 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (1 + n) 4 3 2 (14261 n + 7135 n - 12920 n - 652 n + 1248) n/(256 (2 n - 5) (2 n - 7) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 2925 n (-1 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (1 + n) 4 3 2 (41621 n + 32536 n - 44465 n - 5320 n + 5508)/(1024 (2 n - 5) (2 n - 7) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 2925 n (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (3 n - 4) (1 + n) 4 3 2 (29633 n + 34664 n - 36125 n - 10808 n + 7380)/(2048 (2 n - 5) (2 n - 7) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 663 (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (3 n - 4) (3 n - 5) (2 + n) (1 + n) 3 2 (21352 n - 6495 n - 13651 n + 5946) n/(256 (2 n - 5) (2 n - 7) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-17 + 4 n)), 89505 (-1 + n) (n - 2) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (3 n - 4) (3 n - 5) (2 + n) (1 + n) 3 2 (571 n + 225 n - 946 n + 390) n/(512 (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-17 + 4 n)), 62985 n (-1 + n) (n - 2) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) 5 4 3 2 2 (24305 n - 122454 n + 127414 n + 277542 n - 689427 n + 428652) (1 + n) /(512 (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n)), 104975 n (-1 + n) (n - 2) (-6 + n) 6 5 4 3 (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) (89381 n - 588089 n + 846823 n + 1894433 n 2 2 - 5661756 n + 2118888 n + 3048192) (1 + n) /(4096 (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n)), 6613425 (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) 5 4 3 2 (2 + n) (1996 n - 10419 n + 1222 n + 63237 n - 59756 n - 62808) 2 2 (1 + n) n /(2048 (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 21)), 138567 (-1 + n) 6 5 (n - 2) (n - 3) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) (245041 n - 1705314 n 4 3 2 2 + 1324045 n + 11997480 n - 19277396 n - 11441376 n + 8485200) (1 + n) 2 n /(4096 (2 n - 11) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) 2 (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 21)), 15935205 n (n - 2) (n - 3) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (2 + n) 6 5 4 3 2 (4981 n - 38876 n + 29864 n + 351934 n - 544227 n - 571520 n + 293340) 2 2 (-1 + n) (1 + n) /(4096 (2 n - 11) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) 2 (4 n - 21) (4 n - 23)), 47805615 n (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (-7 + n) 6 5 4 3 2 (-8 + n) (2 + n) (28001 n - 161529 n - 175249 n + 1771605 n - 291736 n 2 2 - 2766180 n + 682992) (-1 + n) (1 + n) /(131072 (2 n - 11) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 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(2 n - 13) (4 n - 27) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 21) (4 n - 23) (4 n - 25)), 21751554825 (-5 + n) (3 + n) (-8 + n) 3 2 2 2 2 (-4 + n) (167 n - 1875 n + 6472 n - 6864) (-1 + n) (n - 2) (n - 3) 2 3 3 (2 + n) (1 + n) n /(524288 (2 n - 11) (2 n - 13) (4 n - 27) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-19 + 4 n) 3 (-17 + 4 n) (4 n - 21) (4 n - 23) (4 n - 25)), 6007572285 n (-8 + n) 2 2 2 2 (3 + n) (-5 + n) (298 n - 2729 n + 5736) (n - 2) (n - 3) (-4 + n) 2 3 3 (2 + n) (-1 + n) (1 + n) /(262144 (-29 + 4 n) (4 n - 27) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 21) (4 n - 23) (4 n - 25)), 2 270340752825 (5 n - 22) (-5 + n) (-6 + n) (-8 + n) (3 + n) (n - 3) 2 2 3 3 3 3 (-4 + n) (2 + n) (-1 + n) (n - 2) (1 + n) n /(524288 (-29 + 4 n) (4 n - 27) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (-15 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) 3 (4 n - 21) (4 n - 23) (4 n - 25)), 2793521112525 n (-6 + n) (3 + n) 2 2 2 3 3 3 3 (-8 + n) (-5 + n) (2 + n) (-4 + n) (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (1 + n) / (2097152 (4 n - 25) (4 n - 23) (4 n - 21) (-17 + 4 n) (-19 + 4 n) (-1 + 4 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (-11 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 15) (-15 + 2 n) (-31 + 4 n) (-29 + 4 n) (4 n - 27) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (2 n - 11) (2 n - 13)) 3 2 2 3 3 , 186234740835 n (3 + n) (-6 + n) (2 + n) (-5 + n) (-1 + n) (n - 2) 3 3 3 (n - 3) (-4 + n) (1 + n) /(2097152 (4 n - 25) (4 n - 23) (4 n - 21) (-17 + 4 n) (-19 + 4 n) (-1 + 4 n) (-3 + 4 n) (-5 + 4 n) (-7 + 4 n) (-9 + 4 n) (-11 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 15) (-15 + 2 n) (-31 + 4 n) (-29 + 4 n) (4 n - 27) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (2 n - 5) (2 n - 7) (-9 + 2 n) (2 n - 11) (2 n - 13))] and in Maple notation [55/64*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)/(-1+2*n)/(-3+2*n)/(-7+4*n)/(-5+ 4*n)/(-3+4*n)/(-1+4*n), 297/16*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(1+n)/( -1+2*n)/(-3+2*n)/(-9+4*n)/(-7+4*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+4*n), 15/32*(n-3)*(-4+ n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8+n)*(235*n+162)*(1+n)/(2*n-5)/(-1+2*n)/(-3+2*n)/(-9+ 4*n)/(-7+4*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+4*n), 55/32*(n-3)*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+ n)*(-8+n)*(1+n)*(551*n^2+592*n+135)/(2*n-5)/(-1+2*n)/(-3+2*n)/(-11+4*n)/(-9+4*n )/(-7+4*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+4*n), 99/256*n*(-4+n)*(-5+n)*(-6+n)*(-7+n)*(-8 +n)*(1+n)*(4247*n^2+4941*n+1144)/(2*n-5)/(-1+2*n)/(-3+2*n)/(-11+4*n)/(-9+4*n)/( -7+4*n)/(-5+4*n)/(-3+4*n)/(-1+4*n), 2145/128*n*(-8+n)*(-7+n)*(-6+n)*(-5+n)*(-4+ n)*(1+n)*(580*n^3+561*n^2-73*n-60)/(4*n-13)/(-11+4*n)/(2*n-5)/(-9+4*n)/(-7+4*n) 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180303249971704880230883515373533587899313305037269596421722275840*n^14-\ 208954719243848329488096655928961359215679079501437222912672839680*n^13+ 213520505966323565593906697502543126190693693773256190141199618048*n^12-\ 191120647431155401165512485260102769778953825806514128257207177216*n^11+ 148673324473023398628271407551056384722994760672990301235633618944*n^10-\ 99559212074168041490478933711791844100211219270509083359660605440*n^9+ 56728608837254058675823642627307347458382831547117627471010201600*n^8-\ 27110180147018348438937049631552421665349482733966536154415104000*n^7+ 10669734503050868469504907217531748709463200504841418430218240000*n^6-\ 3377461329413788078576830785275969705566092948523662809497600000*n^5+ 832963462954923181971371290125892539906434014216445755392000000*n^4-\ 153002404299280948164288853808325470412679929967253913600000000*n^3+ 19533744685284113095465600260116772039710042693094604800000000*n^2-\ 1534126582335184112106534897187933793343811155394560000000000*n+ 55455066095444933391725624695073777269088452608000000000000)/(4*n-25)^2/(4*n-23 )^2/(4*n-21)^2/(-17+4*n)^2/(-19+4*n)^2/(-1+4*n)^2/(-3+4*n)^2/(-5+4*n)^2/(-7+4*n )^2/(-9+4*n)^2/(-11+4*n)^2/(4*n-13)^2/(4*n-15)^2/(-15+2*n)^2/(-31+4*n)^2/(-29+4 *n)^2/(4*n-27)^2/(-1+2*n)^2/(-3+2*n)^2/(2*n-5)^2/(2*n-7)^2/(-9+2*n)^2/(2*n-11)^ 2/(2*n-13)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[9., .8392333984e-3], [10., .4531860352e-2], [11., .1344680786e-1], [12., .\ 2890110016e-1], [13., .5012190342e-1], [14., .7415413856e-1], [15., .9668998420\ e-1], [16., .1133805374], [17., .1210857066], [18., .1186573729], [19., .107094\ 2252], [20., .8910722245e-1], [21., .6826864028e-1], [22., .4802276198e-1], [23\ ., .3088152539e-1], [24., .1804738897e-1], [25., .9511360770e-2], [26., .\ 4475275102e-2], [27., .1855262423e-2], [28., .6656865565e-3], [29., .2016447929\ e-3], [30., .4968960079e-4], [31., .9379329009e-5], [32., .1211496664e-5], [33. , .8076644424e-7]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 40530040029143095059 3 5927531702347140024739149402314266527 [--------------------, ------------------------------------------, 2305843009213693952 2305843009213693952 2639870487506262534163335006420661176515341532871697442 1/2 5927531702347140024739149402314266527 / 35135632082330383807469250922240231270404140022391890731100097157992641729, 292398936381958652106221208934542292970516494913305935890866571326091093303 / / / 105406896246991151422407752766720693811212420067175672193300291473977925187 ] and in floating-point [17.57710298, 3.167586343, .1829244646, 2.774001956] Here is a plot 0.12 HHHHH + HH H + H HH 0.1 HH H + H H + H HH + HH H 0.08 H HH + H H + HH H 0.06 H HH + H H + H H 0.04 HH H + H H + H HH + H H 0.02 HH HHH + HH HH + HHH HHHH +***-+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-*********************- 0 10 15 20 25 30 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 10], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 10, to , 37 The probability distribution is [143 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n)/(128 (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 1755 (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (n - 3) (-9 + n) (1 + n)/(128 (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 1287 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (73 n + 50) (1 + n)/(512 (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 55 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 2 (1 + n) (4117 n + 4361 n + 990)/(512 (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 195 n (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (1 + n) 2 (17999 n + 20315 n + 4670)/(1024 (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 1365 n (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) 3 2 (1 + n) (8483 n + 7638 n - 1047 n - 818)/(1024 (2 n - 5) (2 n - 7) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 2275 n (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (1 + n) 4 3 2 (29588 n + 11353 n - 24551 n - 826 n + 2256)/(1024 (2 n - 5) (2 n - 7) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 39 (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (1 + n) 4 3 2 (564734 n + 333529 n - 544241 n - 38206 n + 57360) n/(256 (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 3315 n (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (3 n - 4) (1 + n) 4 3 2 (169511 n + 147448 n - 188651 n - 29848 n + 27180)/(4096 (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 9945 (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (3 n - 4) (3 n - 5) 4 3 2 (1 + n) (41567 n + 51592 n - 51539 n - 18712 n + 12492) n/(4096 (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 113373 n (-1 + n) (n - 2) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (3 n - 4) (3 n - 5) (2 + n) (1 + n) 3 2 (59767 n - 16194 n - 42487 n + 18954)/(16384 (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-19 + 4 n)), 566865 n (-1 + n) (n - 2) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (3 n - 4) (3 n - 7) (3 n - 5) (2 + n) (1 + n) 3 2 (3803 n + 1374 n - 6323 n + 2706)/(16384 (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (-19 + 4 n)), 29393 6 (-1 + n) (n - 2) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (2 + n) (7053577 n 5 4 3 2 - 55260295 n + 139190945 n - 38182145 n - 403448562 n + 692280720 n 2 - 376488000) (1 + n) n/(16384 (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 21) (-19 + 4 n)), 4849845 n (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 6 5 4 3 2 (2 + n) (71011 n - 485333 n + 794571 n + 1319693 n - 4776022 n 2 + 2272560 n + 2721600) (1 + n) /(16384 (2 n - 11) (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 21) (-19 + 4 n)), 15935205 (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-6 + n) 6 5 4 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (2 + n) (66859 n - 598860 n + 1429193 n 3 2 2 2 + 1527614 n - 9585342 n + 6202816 n + 7625640) (1 + n) n /(16384 (2 n - 11) (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 21) (-19 + 4 n) (4 n - 23)), 96577 (-1 + n) 7 (n - 2) (n - 3) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (2 + n) (3961273 n 6 5 4 3 2 - 44344549 n + 145171831 n + 53608835 n - 1052586668 n + 1208257694 n 2 2 + 751196424 n - 531831240) (1 + n) n /(8192 (2 n - 11) (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) 2 (4 n - 21) (-19 + 4 n) (4 n - 23)), 7243275 n (n - 2) (n - 3) (-4 + n) 6 5 4 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (2 + n) (4490879 n - 38385663 n + 50258585 n 3 2 2 + 303141075 n - 616781824 n - 454542012 n + 283486320) (-1 + n) 2 (1 + n) /(262144 (2 n - 11) (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 21) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 25)), 18832515 (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (-7 + n) (-8 + n) 7 6 5 4 (-9 + n) (2 + n) (2111899 n - 23277808 n + 57292210 n + 160899980 n 3 2 2 - 695199089 n + 109172948 n + 901078980 n - 280443600) (-1 + n) 2 2 (1 + n) n /(262144 (2 n - 13) (2 n - 11) (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 21) 2 (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 25)), 282487725 n (n - 3) (-4 + n) (-7 + n) 7 6 5 (-8 + n) (-9 + n) (2 + n) (1259359 n - 14645484 n + 34427770 n 4 3 2 + 137499660 n - 507121349 n - 155444976 n + 883658700 n - 124664400) 2 2 2 (-1 + n) (n - 2) (1 + n) /(1048576 (4 n - 27) (2 n - 13) (2 n - 11) (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) 2 (-1 + 4 n) (4 n - 21) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 25)), 17796726675 n (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (3 n - 4) (-8 + n) (-9 + n) (3 + n) (2 + n) 5 4 3 2 2 (3379 n - 37337 n + 100149 n + 93917 n - 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2239116473438993411224909074988835822979043245242*n^48-\ 93666247754266966118256778015515779501335071351624*n^47+ 3175473115544522638750003544449995181451233100769778*n^46-\ 89686704890567157181599800504453821078858685742307160*n^45+ 2152914110525830878998913659260781550537818637914039847*n^44-\ 44592494546133693477814767549548481073072479119749872724*n^43+ 806368622046795375684183671628905673982283429939480357033*n^42-\ 12849873301958011310657865036175802264327154674091863788860*n^41+ 181818819632318314491115927287924684588681482745761192401552*n^40-\ 2298485285480033375245548511280511018606608343618047782395344*n^39+ 26093353247155595119210205956318588872692837915705814596848668*n^38-\ 267147862066190497568345925320172927223827407536116034611130960*n^37+ 2475421220864586768356365918813064360138835043308594916566859787*n^36-\ 20821322778448847846654516898593006075796564124310591329132572804*n^35+ 159366966160952578642520225457141517312429166690567680782034706693*n^34-\ 1112244939048645102365409459981687143141465884257211048367590063660*n^33+ 7089757044838024028542651468379763323995517888945891432884779461346*n^32-\ 41329550506063417724846217897580114304147940922801720508384721531464*n^31+ 220558962941215284117027535724848170918937195269071152937426071336162*n^30-\ 1078292911519507694348479713364164094677385878545966144247762184502040*n^29+ 4831642430815914153832617842425477486624638918740252048520297068530433*n^28-\ 19846631731820440233847727277650071687773666849378749530326688193169676*n^27+ 74729846895402012143100194560562745479989244644845392904467533019240847*n^26-\ 257865097204388906975719223543440729555201009553779437290817393960514340*n^25+ 814990230674929760800825245848267086302925935056368225925344819088055028*n^24-\ 2357413809733181647539731506945108008327403035431315772795372467290745376*n^23+ 6234375832653515913238319225346250098984500512917390220860655723536330992*n^22-\ 15054136774417884411594305819180673997957455959714804573343990022620936640*n^21 +33138274070823747743166802105336316054752654593770677591125405416374218048*n^ 20-66371696205635462866116379110251746249683537591132260078736249712265747456*n ^19+120678825799313516592167308260201675529460666263874819696404745955061349632 *n^18-\ 198664736353754941635761929770106701679934121514596683270913296779230551040*n^ 17+295192982975434435841010931360687518039110540898602332350462969208566463488* n^16-\ 394475078841594275762350699428164589342781984218141818478571290029466525696*n^ 15+472102535219473111280812046799684473869235297366614751954581884409629560832* n^14-\ 503531259313914141308756073323454189194285079397228360622815856282654883840*n^ 13+475876592408174255627224867659251281686609769327845609978302840285846224896* n^12-\ 395821019107847248993436258249683360278921026150469099291958115816054194176*n^ 11+287439331199180431396365975036301075558209089887760296647970150685383065600* n^10-\ 180486263087977920390835357989010230217254415121105040373416493821670195200*n^9 +96849635341090575435385579676375366889435558662336953676599451513782272000*n^8 -43773960586613664930162044659335303690924026336168501001218557036462080000*n^7 +16363128874797312347262104536153223108730224092896769861246646432563200000*n^6 -4940595880992820235026994012552917631631672143588714494953126887424000000*n^5+ 1167243445441432346208022263816424032863509136541462603556611686400000000*n^4-\ 206295183331194802307986767565458987877576732772260778241687552000000000*n^3+ 25455528890680646534831950250520127601057471601640699840167936000000000*n^2-\ 1941010572054633697005589754014484165362046107532341228339200000000000*n+ 68415265517968137537350938892260591883146764621510082560000000000000)/(-35+4*n) ^2/(-17+2*n)^2/(4*n-25)^2/(4*n-23)^2/(-19+4*n)^2/(4*n-21)^2/(-1+4*n)^2/(-3+4*n) ^2/(-5+4*n)^2/(-7+4*n)^2/(-9+4*n)^2/(-11+4*n)^2/(4*n-13)^2/(4*n-15)^2/(-17+4*n) ^2/(-29+4*n)^2/(-33+4*n)^2/(-1+2*n)^2/(-3+2*n)^2/(2*n-5)^2/(2*n-7)^2/(-9+2*n)^2 /(2*n-11)^2/(2*n-13)^2/(-15+2*n)^2/(4*n-27)^2/(-31+4*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[10., .2727508545e-3], [11., .1673698425e-2], [12., .5599915981e-2], [13., .\ 1349657774e-1], [14., .2615008503e-1], [15., .4313623533e-1], [16., .6268983707\ e-1], [17., .8204812556e-1], [18., .9812571196e-1], [19., .1082794722], [20., .\ 1109286619], [21., .1058765794], [22., .9428085321e-1], [23., .7830575289e-1], [24., .6056165325e-1], [25., .4349293050e-1], [26., .2889126413e-1], [27., .\ 1766248019e-1], [28., .9874142028e-2], [29., .5007256229e-2], [30., .2279671496\ e-2], [31., .9193684613e-3], [32., .3225885207e-3], [33., .9603864461e-4], [34. , .2337178980e-4], [35., .4376531697e-5], [36., .5631566522e-6], [37., .\ 3754377682e-7]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 11875252092431978264885 11 34630640077027085666704714474534452516735 [-----------------------, -----------------------------------------------, 590295810358705651712 590295810358705651712 6597824573661488537789417667171258588984121079050923808938206 1/2 34630640077027085666704714474534452516735 /818586317940746333955217739\ 2404573094505754160113570790539373586203650480670180305, 2496707531182551\ / 67516128752674878359142337630454406434497324892322182491120970793487 / / 900444949734820967350739513164503040395632957612492786959331094482401552\ 87371983355] and in floating-point [20.11745956, 3.467793624, .1499914633, 2.772748664] Here is a plot + HHHH + HH HHH 0.1 HH H + H H + HH H + H H 0.08 H H + H HH + H H 0.06 H H + HH H + H H + H H 0.04 H H + H H + HH HH 0.02 HH H + H HH + HHH HHH + HHH HHH +*****-+--+-+--+--+-+--+--+--+-+--+--+-+--+--+-+--+--+-*********************- 0 10 15 20 25 30 35 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 11], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 11, to , 41 The probability distribution is [91 (-10 + n) (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n)/( 128 (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 5005 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (1 + n)/(256 (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 105 (355 n + 242) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (1 + n)/(512 (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 65 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (1 + n) 2 (3061 n + 3209 n + 726)/(256 (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13)), 455 n (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (1 + n) 2 (3739 n + 4128 n + 944)/(512 (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 273 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 3 2 (-10 + n) (1 + n) (90503 n + 77272 n - 10967 n - 8308) n/(1024 (2 n - 7) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 15)), 175 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (1 + n) 4 3 2 (112753 n + 34274 n - 87385 n - 2150 n + 7848) n/(512 (2 n - 7) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 15)), 8925 n (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-1 + n) (1 + n) 4 3 2 (6359 n + 2941 n - 5622 n - 256 n + 544)/(256 (2 n - 7) (2 n - 5) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 13) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n)), 16065 (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (3 n - 4) (1 + n) 4 3 2 (49571 n + 33348 n - 50251 n - 4728 n + 5900) n/(4096 (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (4 n - 15)), 101745 n (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (3 n - 4) 4 3 2 (3 n - 5) (1 + n) (25393 n + 24056 n - 29197 n - 5816 n + 4884)/(8192 (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15)), 8721 n (-1 + n) (n - 2) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (3 n - 4) (3 n - 5) (1 + n) 4 3 2 (671813 n + 874840 n - 844945 n - 358360 n + 237732)/(16384 (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15)), 915705 (-1 + n) (n - 2) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (3 n - 4) (3 n - 7) (3 n - 5) (2 + n) (1 + n) 3 2 (4531 n - 1102 n - 3511 n + 1602) n/(8192 (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 21) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15)), 3357585 n (-1 + n) (n - 2) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (3 n - 4) (3 n - 7) (3 n - 5) (3 n - 8) (2 + n) (1 + n) 3 2 (1645 n + 549 n - 2744 n + 1212)/(16384 (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 11) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 21) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15)), 260015 (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-6 + n) (-7 + n) 6 5 (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (2 + n) (25875947 n - 205529121 n 4 3 2 + 534213179 n - 207237543 n - 1434901366 n + 2656928184 n - 1558751040) 2 (1 + n) n/(65536 (-9 + 2 n) (2 n - 7) (2 n - 11) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 21) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 23)), 780045 (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 7 6 5 4 (-10 + n) (2 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- 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 21) 2 (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 23) (4 n - 25)), 136745788725 n 7 (-4 + n) (-5 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (3 + n) (2 + n) (94349 n 6 5 4 3 2 - 1819985 n + 12237641 n - 29031875 n - 13273114 n + 120600400 n 2 2 2 2 - 79843776 n - 23063040) (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (1 + n) /(2097152 (-31 + 4 n) (-15 + 2 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (4 n - 27) (2 n - 7) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 21) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 23) (4 n - 25)), 2 45581929575 n (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (-10 + n) (3 + n) ( 6 5 4 3 2 34835 n - 657397 n + 4509617 n - 13310119 n + 14389568 n + 1633376 n 2 2 2 2 2 - 6773760) (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (2 + n) (1 + n) /(524288 (-31 + 4 n) (-15 + 2 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (4 n - 27) (2 n - 7) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 21) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 23) (4 n - 25)), 2 1504203675975 n (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (-10 + n) (3 + n) 5 4 3 2 2 (937 n - 18408 n + 131359 n - 411036 n + 539068 n - 211680) (-1 + n) 2 2 2 2 3 (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (2 + n) (1 + n) /(262144 (-31 + 4 n) (-33 + 4 n) (-15 + 2 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (4 n - 27) (2 n - 7) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 21) (-19 + 4 n) (-17 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 23) (4 n - 25)), 3 5 110698971825 n (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (-10 + n) (3 + n) (160835 n 4 3 2 - 3801633 n + 34343039 n - 147003951 n + 295620230 n - 220807800) 2 2 2 2 2 3 (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (2 + n) (1 + n) /(4194304 (-17 + 2 n) (-33 + 4 n) (-31 + 4 n) (-15 + 2 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (4 n - 27) (2 n - 7) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 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70165826093991216261074385258633552627691580*n^27+10818060042215762651456517280\ 478512130877567675495893320179927571277536746869996040*n^26-3285375825140557546\ 3878806086853057087870680779664374061016034769997060234663057520*n^25+919956719\ 34252757491448481230339056000961468576430315571843672580671768041173120800*n^24 -237238136105684161126410427568874673934527155583244210829810155652244398129982\ 061760*n^23+5626381907515979072849371822545370904556631031450177996999772361668\ 44189951621614720*n^22-12251550416584897145188405459483395171830602275021410275\ 79653842593247622118561122560*n^21+24448166704587216987503853131546677976216001\ 26791195588016458169525417232061833203200*n^20-44611370152924027942830814874867\ 40446238460454676434337193503727161652427751478113280*n^19+74250352393777465917\ 74928217734902716553441555354054062159193170497739848188896843776*n^18-11239707\ 047450924475159828679537984495080218840112128127987853994547613513811154751488* n^17+15423446991249760758287165725411683195674546151968232425587187013383185845\ 236880138240*n^16-1911312055493492155966554419643323047385368499484158571613658\ 9662750323262727108050944*n^15+212965556185393085656958636044355048738294242923\ 86892261284514588494139291368709586944*n^14-21228613683235371540681741131783673\ 872785656643141106845679136713747040777193835200512*n^13+1881989840451276934510\ 3204989750346562249226898382112756469461105073575619928276336640*n^12-147369390\ 19959395729053903770505791039086350741435883360025525190441375224146172051456*n ^11+101101640249147183366430386819056948320418794542167190333765294530590857953\ 31816816640*n^10-60179257520723553542564254997711330276149876994009613716558574\ 92403665767680599654400*n^9+307154620891997566827349098745122749874225807881643\ 4253860244743826583209914662912000*n^8-1324910331290948762038035374763396705128\ 158366733846637390142212685808039834419200000*n^7+47424796930867020753493108005\ 7843314388304278231085966845695765939493383910195200000*n^6-1375812237288501877\ 85569190399778507609027155842872171405202648862413704658944000000*n^5+313388895\ 35915817821918485667278438205063748968421906114329432134842046218240000000*n^4-\ 5359155911250377868784896466628579864017243333815921733370380161056872857600000\ 000*n^3+64218672454873158226564261915333845456521578812619326450181848741760204\ 8000000000*n^2-4772961202356803072613127710981036781760633312086775503864404388\ 0857600000000000*n+164567040555641704791242032997910181737282108040260108774631\ 5386880000000000000)/(4*n-25)^2/(4*n-23)^2/(4*n-15)^2/(-17+4*n)^2/(-19+4*n)^2/( 4*n-21)^2/(4*n-13)^2/(-1+4*n)^2/(-3+4*n)^2/(-5+4*n)^2/(-7+4*n)^2/(-9+4*n)^2/(-\ 11+4*n)^2/(-3+2*n)^2/(-1+2*n)^2/(2*n-5)^2/(2*n-13)^2/(2*n-11)^2/(2*n-7)^2/(4*n-\ 27)^2/(-9+2*n)^2/(-29+4*n)^2/(-37+4*n)^2/(-15+2*n)^2/(-33+4*n)^2/(-17+2*n)^2/(-\ 19+2*n)^2/(-31+4*n)^2/(-35+4*n)^2/(-39+4*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[11., .8678436279e-4], [12., .5966424942e-3], [13., .2221763134e-2], [14., .\ 5929619074e-2], [15., .1267526299e-1], [16., .2301048394e-1], [17., .3675329499\ e-1], [18., .5285635125e-1], [19., .6953121469e-1], [20., .8459209153e-1], [21. , .9591518493e-1], [22., .1018857825], [23., .1017227563], [24., .9561253988e-1 ], [25., .8463293437e-1], [26., .7049246625e-1], [27., .5515205607e-1], [28., .\ 4042615197e-1], [29., .2766627606e-1], [30., .1760143684e-1], [31., .1035452080\ e-1], [32., .5595276161e-2], [33., .2754474629e-2], [34., .1222493326e-2], [35. , .4825856818e-3], [36., .1664092464e-3], [37., .4887648399e-4], [38., .\ 1177837544e-4], [39., .2191749244e-5], [40., .2811783569e-6], [41., .1874522379\ e-7]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1716316581877001334731361 80603023856098974946540277813530235795745077055 [-------------------------, --------------------------------------------------, 75557863725914323419136 75557863725914323419136 26628152432436396161366362972128917766876777731709218025990300838898 1/2 80603023856098974946540277813530235795745077055 /618747376642558139875\ 26423529311741730424965569026111737752847694596887395283271497789404505, 171628396498261311166448425211084087347166880920275131669944032843506886\ / 651110491588643201013 / 6187473766425581398752642352931174173042496556\ / 9026111737752847694596887395283271497789404505] and in floating-point [22.71526082, 3.757474110, .1221809032, 2.773804027] Here is a plot 0.1 HHHHH + HH HH + H H + HH HH 0.08 H H + H H + HH H + H H 0.06 HH HH + H H + HH H + H H 0.04 H H + HH HH + H H + H HH 0.02 HH H + H HH + HH HHH + HHH HHH +******--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-+-+--+-+--+-+--+-*********************- 0 15 20 25 30 35 40 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 12], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 12, to , 45 The probability distribution is [455 (-11 + n) (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/(512 (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 3465 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (1 + n)/(512 (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 2145 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (53 n + 36) (1 + n)/(1024 (4 n - 13) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 273 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) 2 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (1 + n) (2437 n + 2535 n + 572)/(1024 (2 n - 7) (4 n - 13) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 1575 n (-11 + n) (-10 + n) (-9 + n) (-8 + n) (-7 + n) (-6 + n) (-5 + n) (-4 + n) (1 + n) 2 (3946 n + 4285 n + 976)/(1024 (2 n - 7) (2 n - 5) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-11 + 4 n) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-5 + 4 n) (-3 + 4 n) (-1 + 4 n) (4 n - 13) (4 n - 15)), 105 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 3 2 (-10 + n) (-11 + n) (1 + n) (29272 n + 24003 n - 3493 n - 2592) n/(256 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 85 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (1 + n) 4 3 2 (2010331 n + 496490 n - 1477075 n - 28490 n + 131304)/(2048 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 2295 (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (1 + n) 4 3 2 (232723 n + 86654 n - 191791 n - 6146 n + 17736) n/(2048 (-9 + 2 n) (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 8721 n (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) 4 3 2 (3 n - 4) (1 + n) (933701 n + 500744 n - 871481 n - 52976 n + 90708)/( 16384 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 363375 n (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (3 n - 4) (3 n - 5) (1 + n) 4 3 2 (9881 n + 7384 n - 10445 n - 1264 n + 1380)/(16384 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 915705 (-1 + n) (n - 2) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (3 n - 4) (3 n - 5) (1 + n) 4 3 2 (38737 n + 39350 n - 45745 n - 11030 n + 8808) n/(32768 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 915705 n (-1 + n) (n - 2) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (3 n - 4) (3 n - 7) (3 n - 5) (1 + n) 4 3 2 (29959 n + 40590 n - 38155 n - 18370 n + 12216)/(32768 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 77224455 (-1 + n) (n - 2) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (3 n - 4) (3 n - 7) 2 2 (3 n - 5) (3 n - 8) (2 + n) (1037 n - 1265 n + 402) (1 + n) n/(65536 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 19857717 (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (3 n - 4) (3 n - 7) (3 n - 5) (3 n - 8) (2 + n) (1 + n) 3 2 (2089 n + 648 n - 3495 n + 1586) n/(32768 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 2785875 n (-1 + n) (n - 2) (n - 3) 7 (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 + n) (18954589 n 6 5 4 3 - 215472423 n + 913936705 n - 1550946345 n - 360127694 n 2 2 + 5408196768 n - 8025265440 n + 4271097600) (1 + n) /(131072 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 7243275 (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) 8 7 6 (-11 + n) (2 + n) (13586627 n - 193380496 n + 1045697204 n 5 4 3 2 - 2364471610 n + 97028393 n + 9856287626 n - 16456008384 n 2 + 4062803040 n + 8049888000) (1 + n) n/(131072 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) 2 (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 195568425 n (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) 7 6 5 (-11 + n) (2 + n) (14232391 n - 188818918 n + 888915712 n 4 3 2 - 1299071470 n - 2658338291 n + 10223854868 n - 5874084612 n 2 - 7253876880) (1 + n) /(1048576 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) 2 (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 105306075 n (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) 8 7 6 5 (2 + n) (22136007 n - 364221407 n + 2200118362 n - 4908175022 n 4 3 2 - 4244175137 n + 35884340257 n - 38492953712 n - 19830779028 n 2 + 15097549680) (1 + n) /(1048576 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 67863915 (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + 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22540514625 (n - 3) (-4 + n) 8 (-5 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (2 + n) (2756459 n 7 6 5 4 - 51990297 n + 330166871 n - 515065437 n - 2443154734 n 3 2 2 + 8237143662 n - 623962476 n - 10586245968 n + 3035854080) (-1 + n) 2 2 2 (n - 2) (1 + n) n /(2097152 (-31 + 4 n) (-15 + 2 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 7513504875 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-9 + n) 9 8 7 (-10 + n) (-11 + n) (2 + n) (681371 n - 15408206 n + 125162018 n 6 5 4 3 - 356344430 n - 531179875 n + 4713519856 n - 5623271898 n 2 2 2 2 - 6334265700 n + 11334110544 n - 1595946240) (-1 + n) (n - 2) (1 + n) 2 n /(262144 (-31 + 4 n) (-15 + 2 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) 2 (-1 + 4 n)), 67621543875 n (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (-10 + n) 7 6 5 (-11 + n) (3 n - 4) (2 + n) (496679 n - 8038538 n + 33691358 n 4 3 2 + 54042136 n - 498920941 n + 93362482 n + 1352115624 n + 57173760) 2 2 2 2 (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (1 + n) /(2097152 (-33 + 4 n) (-31 + 4 n) (-15 + 2 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 56201016465 (-4 + n) 8 (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (3 + n) (2 + n) (2046389 n 7 6 5 4 - 50311266 n + 465689514 n - 1896212376 n + 2361864561 n 3 2 2 + 4967361306 n - 14209638224 n + 5968062816 n + 3244631040) (-1 + n) 2 2 2 2 (n - 2) (n - 3) (1 + n) n /(2097152 (-17 + 2 n) (-33 + 4 n) (-31 + 4 n) (-15 + 2 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n 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2162565058868658231307792239781208960924052311727856978797025247636937431128003\ 896305396755070976*n^18-3055043590977080708955859581859883935337658842147434842\ 927401800165754570158153191244671785631744*n^17+3925152057777921408109598669638\ 090193929572739523195394815609593882493547457863603236441730121728*n^16-4568684\ 7029488419703221988436829841342387420734639526065347458069381726044864035088640\ 63360204800*n^15+47960255946280360770407224477783224461206909966187584195870566\ 81931912903608198346478298306969600*n^14-45174705666890373702939644932890662962\ 28559703275434430559059180851652973117606431483239344373760*n^13+37953142634478\ 9163717307466207153259306784493710050177724289154905177974022084386260395044634\ 6240*n^12-282436769897597187128695467719333684777808373394071676249790886200703\ 6037213267298395549098573824*n^11+184654393314934382302712358645844089944293539\ 0028926859844465130144954802992763755450826972200960*n^10-105032448176767560911\ 9347563619969396250948350542919616947067528020152529933198372090867718553600*n^ 9+51367407668176740153000333649060934015804617610029224588199026330457268037528\ 1864092552265728000*n^8-2128869704945598693013290405074904715615277986885937634\ 33038637474500910646644376868172595200000*n^7+734153940450942552211059497413158\ 45560477899495355769093883847812343759964017535201627340800000*n^6-205762760758\ 1575849308541713167512832915959153085798940226785836990159036493134653135257600\ 0000*n^5+4541039303143503710476132355860164671741524180131943359028841053378848\ 921945023824527360000000*n^4-75459001043007047878782924772613086064418145898895\ 2953858977967468862162866767554150400000000*n^3+8813355214551514781376040655990\ 1501894236646776452957975770844314040728915523141632000000000*n^2-6404443045135\ 266563733997969742513405054454453466775005226673780217762449614438400000000000* n+21654956033247710397621779681408346030925651111414633431859443947789082427392\ 0000000000000)/(-1+4*n)^2/(-11+4*n)^2/(-5+4*n)^2/(-3+2*n)^2/(-3+4*n)^2/(-1+2*n) ^2/(-7+4*n)^2/(-9+4*n)^2/(4*n-25)^2/(2*n-5)^2/(2*n-13)^2/(2*n-11)^2/(-17+4*n)^2 /(4*n-13)^2/(2*n-7)^2/(4*n-21)^2/(4*n-27)^2/(4*n-15)^2/(4*n-23)^2/(-19+4*n)^2/( -9+2*n)^2/(-43+4*n)^2/(-29+4*n)^2/(-37+4*n)^2/(-41+4*n)^2/(-15+2*n)^2/(-31+4*n) ^2/(-33+4*n)^2/(-35+4*n)^2/(-17+2*n)^2/(-39+4*n)^2/(-21+2*n)^2/(-19+2*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[12., .2712011337e-4], [13., .2065300941e-3], [14., .8470192552e-3], [15., .\ 2478439361e-2], [16., .5788123235e-2], [17., .1144990325e-1], [18., .1989283308\ e-1], [19., .3108867008e-1], [20., .4443503578e-1], [21., .5877987019e-1], [22. , .7258790476e-1], [23., .8420867795e-1], [24., .9218045060e-1], [25., .\ 9549991193e-1], [26., .9380072831e-1], [27., .8740712659e-1], [28., .7725504380\ e-1], [29., .6469980144e-1], [30., .5125368248e-1], [31., .3831408095e-1], [32. , .2694546166e-1], [33., .1776177930e-1], [34., .1092426956e-1], [35., .\ 6234658074e-2], [36., .3279621073e-2], [37., .1576907998e-2], [38., .6858026816\ e-3], [39., .2661390781e-3], [40., .9050297043e-4], [41., .2629481118e-4], [42. , .6286730928e-5], [43., .1163916179e-5], [44., .1489535587e-6], [45., .\ 9930237244e-8]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 490614903377384368570055535 [---------------------------, 19342813113834066795298816 1/2 4585 290145762650259869122848068765188821604695279 -----------------------------------------------------, 19342813113834066795298816 124885231027949019510626089519605160746523537563143726156458439313073499602 1/2 290145762650259869122848068765188821604695279 /21638104662680044915386\ 546396815031245947649049759079111767019022756234956907534520923652839001\ 711, 27543702431338507752811436421933446743469717998561465904335622148361\ / 2344444559772092171076755560774123 / 992107098783880059370473152293969\ / 18262669970893145377727451782219337337277421045778434948266822844935] and in floating-point [25.36419602, 4.037642104, .9831051717e-1, 2.776283172] Here is a plot + HHHH + HH HH + HH H 0.08 H H + HH H + H H + HH HH 0.06 H H + H H + H H + H H + H HH 0.04 H H + H H + HH HH + H H 0.02 HH HH + H H + HHH HHH + HHH HHHH +********-+--+-+-+-+-+--+-+-+-+-+--+-+-+-+--+-+-+-+-+--+********************- 0 15 20 25 30 35 40 45 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 13], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n], are all the integers from, 13, to , 49 The probability distribution is [35 (-11 + n) (-12 + n) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n)/(128 (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 585 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (1 + n)/( 64 (4 n - 13) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 21 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (499 n + 338) (1 + n)/(128 (2 n - 7) (4 n - 13) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 35 (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 2 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (1 + n) (30487 n + 31523 n + 7098)/(1024 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 15 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (1 + n) 2 (180077 n + 193073 n + 43838) n/(1024 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 255 n (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) 3 2 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (1 + n) (22655 n + 18003 n - 2670 n - 1952) /(256 (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 51 (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (1 + n) 4 3 2 (849454 n + 173927 n - 598363 n - 9518 n + 52968) n/(512 (-9 + 2 n) (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 2907 n (-1 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) 4 3 2 (-12 + n) (1 + n) (100393 n + 30764 n - 78151 n - 1886 n + 7056)/(512 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 14535 n (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (3 n - 4) (1 + n) 4 3 2 (164819 n + 72172 n - 143423 n - 6028 n + 13908)/(8192 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 15) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 101745 (-1 + n) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (3 n - 4) (3 n - 5) (1 + n) 4 3 2 (22357 n + 13526 n - 21859 n - 1724 n + 2484) n/(4096 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 3357585 n (-1 + n) (n - 2) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (3 n - 4) (3 n - 5) 3 2 (5 n - 2) (1 + n) (721 n + 876 n - 439 n - 294)/(8192 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 200583 (-1 + n) (n - 2) (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (3 n - 4) (3 n - 7) (3 n - 5) (1 + n) 4 3 2 (402679 n + 433532 n - 486283 n - 137588 n + 106548) n/(32768 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 200583 (-1 + n) (n - 2) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (3 n - 4) (3 n - 7) (3 n - 5) (3 n - 8) (1 + n) 4 3 2 (317567 n + 444796 n - 409059 n - 218724 n + 146484) n/(65536 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 5) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 15043725 n (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (3 n - 4) (3 n - 7) (3 n - 5) (3 n - 8) (2 + n) (1 + n) 3 2 (4754 n - 951 n - 4201 n + 1994)/(16384 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 195568425 (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (3 n - 4) (3 n - 7) (3 n - 10) (3 n - 5) (3 n - 8) (2 + n) (1 + n) 3 2 (521 n + 151 n - 874 n + 406) n/(32768 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 1671525 n (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-7 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 + n) ( 8 7 6 5 120715567 n - 1824314602 n + 11001196516 n - 32175449650 n 4 3 2 + 36995428033 n + 38423252012 n - 178362360756 n + 226359977040 n 2 - 111307996800) (1 + n) /(65536 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 7020405 n (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) 8 7 6 (-12 + n) (2 + n) (111756929 n - 1608033920 n + 8860518584 n 5 4 3 2 - 20930014610 n + 4420249151 n + 79998627730 n - 146269584504 n 2 + 45422997120 n + 74205331200) (1 + n) /(262144 (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 203591745 (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) 8 7 (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 + n) (7150516 n - 127664891 n 6 5 4 3 + 890291336 n - 2813400956 n + 2173975574 n + 10503172711 n 2 2 2 - 27346738706 n + 12160652976 n + 17525521440) (1 + n) n /(131072 (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) 2 (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 339319575 n (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (-8 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 + n) ( 9 8 7 6 15187817 n - 326419098 n + 2794734888 n - 11389321998 n 5 4 3 2 + 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4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 76637749725 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) 9 8 (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 + n) (1598908 n - 37709777 n 7 6 5 4 + 326079902 n - 1070489378 n - 684647236 n + 11797284667 n 3 2 2 - 17859034742 n - 10477536552 n + 28032340608 n - 5719956480) (-1 + n) 2 2 2 (n - 2) (1 + n) n /(524288 (-17 + 2 n) (-33 + 4 n) (-31 + 4 n) (-15 + 2 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) 2 (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 2682321240375 n (-4 + n) 9 (-5 + n) (-6 + n) (-9 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 + n) (62168 n 8 7 6 5 4 - 1553142 n + 13987031 n - 45392804 n - 53353384 n + 604590292 n 3 2 2 - 730562991 n - 980580986 n + 1577013096 n - 114226560) (-1 + n) 2 2 2 (n - 2) (n - 3) (1 + n) /(262144 (-17 + 2 n) (-35 + 4 n) (-33 + 4 n) (-31 + 4 n) (-15 + 2 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) 2 (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 894107080125 n (-4 + n) (-5 + n) (-6 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (2 + n) ( 10 9 8 7 6 3817379 n - 112767371 n + 1263786906 n - 6047598414 n + 4439831307 n 5 4 3 2 + 64556650101 n - 194786467976 n + 17310543524 n + 497477680704 n 2 2 2 2 - 380726337600 n - 55477094400) (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (1 + n) /( 8388608 (-17 + 2 n) (-35 + 4 n) (-33 + 4 n) (-31 + 4 n) (-15 + 2 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 14177983699125 (-5 + n) (-6 + n) 8 (-7 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) (3 + n) (2 + n) (288157 n 7 6 5 4 3 - 7569030 n + 74290920 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n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 15564275438595 (-6 + n) (-7 + n) (-10 + n) (-11 + n) (-12 + n) 7 6 5 4 (3 + n) (4814923 n - 165050247 n + 2289081589 n - 16410682005 n 3 2 + 64403346472 n - 134410927068 n + 130792488336 n - 39517632000) 2 2 2 2 2 2 3 2 (-1 + n) (n - 2) (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (2 + n) (1 + n) n /( 33554432 (-19 + 2 n) (-39 + 4 n) (-17 + 2 n) (-35 + 4 n) (-33 + 4 n) (-31 + 4 n) (-15 + 2 n) (-37 + 4 n) (-29 + 4 n) (-9 + 2 n) (-19 + 4 n) (4 n - 23) (4 n - 15) (4 n - 27) (4 n - 21) (2 n - 7) (4 n - 13) (-17 + 4 n) (2 n - 11) (2 n - 13) (2 n - 5) (4 n - 25) (-9 + 4 n) (-7 + 4 n) (-1 + 2 n) (-3 + 4 n) (-3 + 2 n) (-5 + 4 n) (-11 + 4 n) (-1 + 4 n)), 53876338056675 (-6 + n) (-7 + n) (-8 + n) (-11 + n) (-12 + n) 6 5 4 3 (3 + n) (1312211 n - 41462799 n + 522360893 n - 3337448685 n 2 2 2 + 11330067704 n - 19206076956 n + 12527503632) (-1 + n) (n - 2) 2 2 2 2 3 3 (n - 3) (-4 + n) (-5 + n) (2 + n) (1 + n) n 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290933785457885424327402483892167586611200000000*n^5+24973407254723303638946535\ 4725451165851649167300614936578872934489916626546559687957822413209600000000000 *n^4-40461161717793429408711169396667844348970861421095122190191969041912788337\ 242278221476150640640000000000*n^3+46195167585921613780020936669325576456719141\ 89388104407543701707586507749050551864897463910400000000000*n^2-329014622617662\ 8488367873136276111832519986038906686127555484097326598735462550035287244800000\ 00000000*n+10931819217336566370700691538075646282377628228591303637755388789359\ 258634588189097984000000000000000)/(-1+4*n)^2/(-11+4*n)^2/(-5+4*n)^2/(-3+2*n)^2 /(-3+4*n)^2/(-1+2*n)^2/(-7+4*n)^2/(-9+4*n)^2/(4*n-25)^2/(2*n-5)^2/(2*n-13)^2/(2 *n-11)^2/(-17+4*n)^2/(4*n-13)^2/(2*n-7)^2/(4*n-21)^2/(4*n-27)^2/(4*n-15)^2/(4*n -23)^2/(-19+4*n)^2/(-9+2*n)^2/(-43+4*n)^2/(-29+4*n)^2/(-37+4*n)^2/(-41+4*n)^2/( -15+2*n)^2/(-31+4*n)^2/(-33+4*n)^2/(-35+4*n)^2/(-17+2*n)^2/(-39+4*n)^2/(-21+2*n )^2/(-23+2*n)^2/(-19+2*n)^2/(-45+4*n)^2/(-47+4*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[13., .8344650269e-5], [14., .6973743439e-4], [15., .3122985363e-3], [16., .\ 9937630966e-3], [17., .2515646629e-2], [18., .5380273797e-2], [19., .1008672500\ e-1], [20., .1698746643e-1], [21., .2614590810e-1], [22., .3723910901e-1], [23. , .4953874183e-1], [24., .6198221087e-1], [25., .7332206830e-1], [26., .\ 8232273332e-1], [27., .8796358952e-1], [28., .8960791581e-1], [29., .8710575629\ e-1], [30., .8081235848e-1], [31., .7151950712e-1], [32., .6031339168e-1], [33. , .4838773850e-1], [34., .3685137433e-1], [35., .2657091368e-1], [36., .\ 1807956420e-1], [37., .1156418708e-1], [38., .6921081222e-2], [39., .3854257342\ e-2], [40., .1983666136e-2], [41., .9356686379e-3], [42., .4002458635e-3], [43. , .1531708007e-3], [44., .5149668262e-4], [45., .1482922703e-4], [46., .\ 3522506134e-5], [47., .6494211472e-6], [48., .8294237478e-7], [49., .5529491652\ e-8]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 34735402302270583252740385951 [-----------------------------, 1237940039285380274899124224 1/2 11 235179475627420957219571119265216707544570086835512695 ------------------------------------------------------------, 26159156486\ 1237940039285380274899124224 3918656163096852751266768563246882536385727729686078994487703046159222 1/2 235179475627420957219571119265216707544570086835512695 /16359287209278\ 520840112714705501950651411322584438771569594027877087389488012654873173\ 16060629555992593399695, 150060664411717302069699918919512026685812341366\ / 812816480719827493968494873266775143346007648074515753551899571 / 5398\ / 564779061911877237195852815643714965736452864794617966029199438838531044\ 1761081471430000775347755582189935] and in floating-point [28.05903453, 4.309161631, .7754594050e-1, 2.779639970] Here is a plot + HHHH + H HH 0.08 HH H + H H + HH H + H HH + H H 0.06 H HH + HH H + H H + H H 0.04 H H + H H + HH H + H H + H H 0.02 H HH + HH HH + HHH HH + HHH HHHH +*********+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-********************- 0 15 20 25 30 35 40 45