The Distribution of the Occupant of Cell [1,i] in a random Standard Young ta\ bleau of shape, [n, n, n, n, n, n], and its Limiting behavior as n goes to infinity for i from 2 to, 6 By Shalosh B. Ekhad --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 2], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n, n], are all the integers from, 2, to , 7 The probability distribution is 7 (-1 + n) 35 (-1 + n) (1 + n) 35 (2 + n) (-1 + n) (1 + n) [------------, -----------------------, -----------------------------------, 2 (-1 + 6 n) 6 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) 12 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) 7 (1 + n) (2 + n) (3 + n) (-1 + n) ---------------------------------------------, 6 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) 35 (-1 + n) (3 + n) (2 + n) (1 + n) (4 + n) ---------------------------------------------------------, 72 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (2 + n) (1 + n) (4 + n) (3 + n) (5 + n) ---------------------------------------------------------] 72 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) and in Maple notation [7/2/(-1+6*n)*(-1+n), 35/6*(-1+n)*(1+n)/(-1+6*n)/(-1+3*n), 35/12*(2+n)*(-1+n)*( 1+n)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n), 7/6*(1+n)*(2+n)*(3+n)*(-1+n)/(-1+6*n)/(-1+3*n) /(-1+2*n)/(-2+3*n), 35/72*(-1+n)*(3+n)*(2+n)*(1+n)*(4+n)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+ 2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n), 1/72*(2+n)*(1+n)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-\ 5+6*n)*(4+n)*(3+n)*(5+n)] `The average is` 7/72*(7*n-5)*(7*n-2)*(7*n-4)*(7*n-1)*(7*n-3)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n )/(-5+6*n) and the variance is 7/5184*(-1+n)*(7*n-2)*(7*n-4)*(7*n-1)*(7*n-3)*(1+n)*(62921*n^4-96460*n^3+50041* n^2-10010*n+600)/(-1+6*n)^2/(-1+3*n)^2/(-1+2*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+6*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[2., .5833333333], [3., .3240740741], [4., .8101851852e-1], [5., .1080246914e-\ 1], [6., .7501714678e-3], [7., .2143347051e-4]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 1/2 117649 49 440447 17444373218 440447 13443788495958027 [------, ------------, ---------------------, -----------------] 46656 46656 9505684430641 3260449759709863 and in floating-point [2.521626372, .6970042174, 1.217920121, 4.123292640] Here is a plot +H + HH + HH 0.5 HH + HH + H 0.4 HH + HH + HH + HH 0.3 HH + H + HH 0.2 HH + HH + HH + HH 0.1 HHH + HHHHH + HHHHHH ++--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-+--+-********************************- 0 2 3 4 5 6 7 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 3], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n, n], are all the integers from, 3, to , 13 The probability distribution is 14 (-2 + n) (-1 + n) 35 (1 + n) (-2 + n) (-1 + n) [-----------------------, ----------------------------------, 3 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) 3 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) 7 (1 + n) (-2 + n) (-1 + n) (11 n + 12) ---------------------------------------------, 3 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) 140 (1 + n) (2 + n) (-2 + n) (-1 + n) (5 n + 3) --------------------------------------------------------, 9 (-5 + 6 n) (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) 2 5 (1 + n) (2 + n) (-2 + n) (103 n + 259 n + 60) ---------------------------------------------------------, 18 (-5 + 6 n) (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) 2 7 (-2 + n) (2 + n) (1 + n) (3 + n) (481 n + 889 n + 60) --------------------------------------------------------------------, 35 n 72 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) 2 (-2 + n) (1 + n) (2 + n) (3 + n) (29 n + 133 n + 124)/(36 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n)), 7 2 (1 + n) (2 + n) (3 + n) (4 + n) (-2 + n) n (19 + 7 n)/(6 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) 2 2 (-3 + 2 n)), 35 (4 + n) (1 + n) (2 + n) (3 + n) (-2 + n) n (21 + 5 n)/(72 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) 2 2 (-4 + 3 n) (-3 + 2 n) (-5 + 3 n)), 385 n (-2 + n) (4 + n) (3 + n) (2 + n) 2 (1 + n) (5 + n)/(432 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n) (-5 + 3 n) (-11 + 6 n)), 11 n 2 2 2 2 (3 + n) (2 + n) (1 + n) (4 + n) (5 + n)/(432 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n) (-5 + 3 n) (-11 + 6 n))] and in Maple notation [14/3*(-2+n)*(-1+n)/(-1+6*n)/(-1+3*n), 35/3*(1+n)*(-2+n)*(-1+n)/(-1+6*n)/(-1+3* n)/(-1+2*n), 7/3*(1+n)*(-2+n)*(-1+n)*(11*n+12)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3 *n), 140/9*(1+n)*(2+n)*(-2+n)*(-1+n)*(5*n+3)/(-5+6*n)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n )/(-2+3*n), 5/18*(1+n)*(2+n)*(-2+n)*(103*n^2+259*n+60)/(-5+6*n)/(-1+6*n)/(-1+3* n)/(-1+2*n)/(-2+3*n), 7/72*(-2+n)*(2+n)*(1+n)*(3+n)*(481*n^2+889*n+60)/(-1+6*n) /(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n), 35/36*n*(-2+n)*(1+n)*(2+n)*(3+n) *(29*n^2+133*n+124)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3 *n), 7/6*(1+n)^2*(2+n)*(3+n)*(4+n)*(-2+n)*n*(19+7*n)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n) /(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n), 35/72*(4+n)*(1+n)^2*(2+n)^2*(3+n )*(-2+n)*n*(21+5*n)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3 *n)/(-3+2*n)/(-5+3*n), 385/432*n*(-2+n)*(4+n)*(3+n)^2*(2+n)^2*(1+n)^2*(5+n)/(-1 +6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n)/(-5+3*n)/( -11+6*n), 11/432*n*(3+n)^2*(2+n)^2*(1+n)^2/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/ (-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n)/(-5+3*n)/(-11+6*n)*(4+n)^2*(5+n)] `The average is` 5/432*(160119283*n^10-1491066947*n^9+5999591550*n^8-13664061618*n^7+19387553103 *n^6-17780646735*n^5+10588088000*n^4-4004525692*n^3+910065024*n^2-110507328*n+ 5322240)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n )/(-5+3*n)/(-11+6*n) and the variance is 5/186624*(1+n)*(-2+n)*(9679228335027379*n^18-158728195572022611*n^17+ 1206365182926717282*n^16-5638196610532926180*n^15+18130710483125814222*n^14-\ 42525113731580869758*n^13+75249927842151934756*n^12-102501752919920814240*n^11+ 108700467783097308159*n^10-90182296335188141271*n^9+58506100779751619202*n^8-\ 29518383066661594260*n^7+11457290535573536440*n^6-3362143247845508160*n^5+ 726521746823156160*n^4-111047280006769920*n^3+11251362298752000*n^2-\ 671259430195200*n+17703899136000)/(-1+6*n)^2/(-1+3*n)^2/(-1+2*n)^2/(-2+3*n)^2/( -5+6*n)^2/(-7+6*n)^2/(-4+3*n)^2/(-3+2*n)^2/(-5+3*n)^2/(-11+6*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[3., .2592592593], [4., .3240740741], [5., .2376543210], [6., .1200274348], [7\ ., .4415294925e-1], [8., .1202774920e-1], [9., .2417219174e-2], [10., .\ 3500800183e-3], [11., .3473016054e-4], [12., .2122398700e-5], [13., .6063996286\ e-7]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 800596415 48396141675136895 [---------, --------------------, 181398528 181398528 1/2 1666914712443085790919398 48396141675136895 ----------------------------------------------, 468437305807984437050843398048205 315416227326374286382874563764357 ---------------------------------] 93687461161596887410168679609641 and in floating-point [4.413466988, 1.212750915, .7828296655, 3.366685610] Here is a plot + HH 0.3 HH HH + HH H + HH HH +HH H 0.25 HH + H + H 0.2 H + HH + H 0.15 H + H + HH 0.1 HH + H + HH 0.05 HH + HHH + HHHHHH +--+--+--+--+--+--+-+--+--+--+--+--+--+--***********************************+ 0 4 6 8 10 12 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 4], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n, n], are all the integers from, 4, to , 19 The probability distribution is 7 (-3 + n) (-2 + n) (-1 + n) [----------------------------------, 2 (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n) 21 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (1 + n) -------------------------------------------, (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n) 35 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (1 + n) (17 n + 16) --------------------------------------------------------, 4 (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n) 2 5 (1 + n) (-3 + n) (-2 + n) (313 n + 599 n + 240) ---------------------------------------------------------, 12 (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n) 35 (-3 + n) (-2 + n) (2 + n) (1 + n) (83 n + 60) (3 n + 1) --------------------------------------------------------------------, 7 16 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) 3 2 (1 + n) (2 + n) (-3 + n) (-2 + n) (4771 n + 11532 n + 3557 n + 420)/(36 (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 7 (1 + n) (2 + n) (-2 + n) (-3 + n) n 3 2 (4471 n + 17913 n + 15314 n - 3378)/(36 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n)), 35 n (-2 + n) 3 2 (-3 + n) (2 + n) (1 + n) (3 + n) (347 n + 981 n + 298 n - 486)/(12 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) 2 (-4 + 3 n) (-3 + 2 n) (-5 + 3 n)), 55 n (-2 + n) (-3 + n) (2 + n) (1 + n) 3 2 (3 + n) (1699 n + 6583 n + 2048 n - 6040)/(48 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n) 2 (-5 + 3 n) (-11 + 6 n)), 385 n (-3 + n) (3 + n) (2 + n) (1 + n) 4 3 2 (287 n + 1762 n + 2371 n - 1480 n - 2040)/(216 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n) (-5 + 3 n) (-11 + 6 n)), 143 n (-3 + n) (4 + n) (3 + n) 3 2 2 2 (5251 n + 13692 n - 10843 n - 7260) (2 + n) (1 + n) /(1152 (-1 + 6 n) (-3 + 2 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-1 + 2 n) (-5 + 3 n) (-5 + 6 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n)), 1001 (-1 + n) (-3 + n) 3 2 2 2 (4 + n) (3 + n) (1133 n + 7092 n + 10459 n + 1500) (2 + n) (1 + n) n/( 3456 (-1 + 6 n) (-3 + 2 n) (-1 + 3 n) (-2 + 3 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-1 + 2 n) (-5 + 3 n) (-5 + 6 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n)), 5005 2 2 2 2 n (4 + n) (-3 + n) (-1 + n) (29 n + 176 n + 197) (3 + n) (2 + n) 2 (1 + n) /(1728 (-1 + 6 n) (-3 + 2 n) (-1 + 3 n) (-5 + 2 n) (-2 + 3 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-1 + 2 n) (-5 + 3 n) (-5 + 6 n) 2 (-4 + 3 n) (-7 + 6 n)), 5005 (-1 + n) (-3 + n) (5 + n) (4 + n) (2 + n) 3 3 2 (3 + n) (1 + n) n /(216 (-1 + 6 n) (-3 + 2 n) (-1 + 3 n) (-5 + 2 n) (-8 + 3 n) (-2 + 3 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-1 + 2 n) 2 (-5 + 3 n) (-5 + 6 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n)), 85085 n (5 + n) (-3 + n) 2 2 3 3 (-1 + n) (4 + n) (3 + n) (2 + n) (1 + n) /(10368 (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-5 + 6 n) (-5 + 3 n) (-1 + 2 n) (-11 + 6 n) (-13 + 6 n) (-7 + 3 n) (-2 + 3 n) (-8 + 3 n) (-17 + 6 n) (-5 + 2 n) (-1 + 3 n) (-3 + 2 n) 2 2 3 3 3 (-1 + 6 n)), 2431 n (5 + n) (-1 + n) (4 + n) (3 + n) (2 + n) (1 + n) /( 10368 (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-5 + 6 n) (-5 + 3 n) (-1 + 2 n) (-11 + 6 n) (-13 + 6 n) (-7 + 3 n) (-2 + 3 n) (-8 + 3 n) (-17 + 6 n) (-5 + 2 n) (-1 + 3 n) (-3 + 2 n) (-1 + 6 n))] and in Maple notation [7/2*(-3+n)*(-2+n)*(-1+n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 21*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*( 1+n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 35/4*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(1+n)*(17*n +16)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 5/12*(1+n)*(-3+n)*(-2+n)*( 313*n^2+599*n+240)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 35/16*(-3+n)*( -2+n)*(2+n)*(1+n)*(83*n+60)*(3*n+1)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n )/(-7+6*n), 7/36*(1+n)*(2+n)*(-3+n)*(-2+n)*(4771*n^3+11532*n^2+3557*n+420)/(-4+ 3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 7/36*(1+n)*(2+n)*(-\ 2+n)*(-3+n)*n*(4471*n^3+17913*n^2+15314*n-3378)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+ 3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n), 35/12*n*(-2+n)*(-3+n)*(2+n)*(1+n)*(3+ n)*(347*n^3+981*n^2+298*n-486)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7 +6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n)/(-5+3*n), 55/48*n*(-2+n)*(-3+n)*(2+n)*(1+n)^2*(3+n)*( 1699*n^3+6583*n^2+2048*n-6040)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7 +6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n)/(-5+3*n)/(-11+6*n), 385/216*n*(-3+n)*(3+n)*(2+n)*(1+n)^ 2*(287*n^4+1762*n^3+2371*n^2-1480*n-2040)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/( -5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n)/(-5+3*n)/(-11+6*n), 143/1152*n*(-3+n)*(4+n)* (3+n)*(5251*n^3+13692*n^2-10843*n-7260)*(2+n)^2*(1+n)^2/(-1+6*n)/(-3+2*n)/(-1+3 *n)/(-2+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-1+2*n)/(-5+3*n)/(-5+6*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n), 1001/3456*(-1+n)*(-3+n)*(4+n)*(3+n)*(1133*n^3+7092*n^2+10459*n+1500)*(2+n)^2*(1 +n)^2*n/(-1+6*n)/(-3+2*n)/(-1+3*n)/(-2+3*n)/(-7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-1+2* n)/(-5+3*n)/(-5+6*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n), 5005/1728*n^2*(4+n)*(-3+n)*(-1+n)*(29*n ^2+176*n+197)*(3+n)^2*(2+n)^2*(1+n)^2/(-1+6*n)/(-3+2*n)/(-1+3*n)/(-5+2*n)/(-2+3 *n)/(-7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-1+2*n)/(-5+3*n)/(-5+6*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n), 5005/216*(-1+n)*(-3+n)*(5+n)*(4+n)*(2+n)^2*(3+n)^3*(1+n)^3*n^2/(-1+6*n)/(-3+2*n )/(-1+3*n)/(-5+2*n)/(-8+3*n)/(-2+3*n)/(-7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-1+2*n)/(-5 +3*n)/(-5+6*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n), 85085/10368*n^2*(5+n)*(-3+n)*(-1+n)*(4+n)^2*( 3+n)^2*(2+n)^3*(1+n)^3/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-5+6*n)/(-5+3*n)/(-1+2*n)/(-11+6*n)/( -13+6*n)/(-7+3*n)/(-2+3*n)/(-8+3*n)/(-17+6*n)/(-5+2*n)/(-1+3*n)/(-3+2*n)/(-1+6* n), 2431/10368*n^2*(5+n)*(-1+n)*(4+n)^2*(3+n)^3*(2+n)^3*(1+n)^3/(-7+6*n)/(-4+3* n)/(-5+6*n)/(-5+3*n)/(-1+2*n)/(-11+6*n)/(-13+6*n)/(-7+3*n)/(-2+3*n)/(-8+3*n)/(-\ 17+6*n)/(-5+2*n)/(-1+3*n)/(-3+2*n)/(-1+6*n)] `The average is` 1/10368*(18595085851459*n^15-399846755070270*n^14+3908176295371045*n^13-\ 22983564971443695*n^12+90724316335926163*n^11-253896052393826355*n^10+ 518676898299237035*n^9-784556367443264385*n^8+881850787222982222*n^7-\ 732523010810051955*n^6+443068253975287820*n^5-190100625103629420*n^4+ 55452077485606656*n^3-10250428039513920*n^2+1055294855193600*n-44460928512000)/ (-7+6*n)/(-4+3*n)/(-5+6*n)/(-5+3*n)/(-1+2*n)/(-11+6*n)/(-13+6*n)/(-7+3*n)/(-2+3 *n)/(-8+3*n)/(-17+6*n)/(-5+2*n)/(-1+3*n)/(-3+2*n)/(-1+6*n) and the variance is 35/107495424*(-3+n)*(1+n)*(663099319408868888960413*n^28-\ 26485644851084041869220810*n^27+503929670443786495414126605*n^26-\ 6078306781644554803780830978*n^25+52182639667206279476300396286*n^24-\ 339378311866772917778270819382*n^23+1737649285166085739036398955239*n^22-\ 7185921220876243211603813943438*n^21+24433565533327807932661585138926*n^20-\ 69180940721056713602141789130222*n^19+164594663837543310517267004447379*n^18-\ 331151019507411198765873634557198*n^17+565757721141445250353629317196246*n^16-\ 822727697609092543192198114375242*n^15+1019143606947797345931715581762129*n^14-\ 1074612395019688646050191491531298*n^13+962385941802658654202195445354801*n^12-\ 729300058763688688059585392472072*n^11+465129371638529377259766491183624*n^10-\ 247837713074075925510106391591168*n^9+109269129198491671678343140188048*n^8-\ 39364685968656693542788996457472*n^7+11398796773595973606825172929024*n^6-\ 2595782233992502170786010705920*n^5+451168182716735886461250785280*n^4-\ 57328289130277318405319884800*n^3+4979917979916963582836736000*n^2-\ 262255197478234674954240000*n+6275473536981506457600000)/(-7+6*n)^2/(-4+3*n)^2/ (-5+6*n)^2/(-5+3*n)^2/(-1+2*n)^2/(-11+6*n)^2/(-13+6*n)^2/(-7+3*n)^2/(-2+3*n)^2/ (-8+3*n)^2/(-17+6*n)^2/(-5+2*n)^2/(-1+3*n)^2/(-3+2*n)^2/(-1+6*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[4., .9722222222e-1], [5., .1944444444], [6., .2295524691], [7., .2012602881], [8., .1400945216], [9., .7953484606e-1], [10., .3726685147e-1], [11., .\ 1446163885e-1], [12., .4636228360e-2], [13., .1218256854e-2], [14., .2587166115\ e-3], [15., .4341779229e-4], [16., .5556557708e-5], [17., .5109478352e-6], [18. , .3016011527e-7], [19., .8617175792e-9]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 18595085851459 23208476179310411113614455 [--------------, -----------------------------, 2821109907456 2821109907456 1/2 1859685467576988477180166538005832146 23208476179310411113614455 -------------------------------------------------------------------, 15389524759017679368946635370702578745435839569915 9575520259141094692585947729772055823443372777475 -------------------------------------------------] 3077904951803535873789327074140515749087167913983 and in floating-point [6.591407801, 1.707667477, .5821536194, 3.111051319] Here is a plot + HHH + HH HH + H HHH 0.2 HH H + H H + H HH + HH H 0.15 H H + H H + H H + H H 0.1 H H +H H + H + H + H 0.05 HH + HH + HHH + HHHH ++-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-++-************************************- 0 4 6 8 10 12 14 16 18 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 5], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n, n], are all the integers from, 5, to , 25 The probability distribution is 7 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n - 4) [---------------------------------------------, 2 (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n) 175 (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n - 4) (1 + n) --------------------------------------------------------, 3 (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n) 5 (-2 + n) (-3 + n) (n - 4) (113 n + 100) (1 + n) --------------------------------------------------------, 6 (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n) 2 35 (1 + n) (n - 4) (-2 + n) (-3 + n) (39 n + 66 n + 25) -------------------------------------------------------------------, 35 2 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) 3 2 (n - 4) (-3 + n) (-2 + n) (1 + n) (6239 n + 15453 n + 10528 n + 2100)/( 108 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n)), 7 (n - 4) (-3 + n) (-2 + n) (1 + n) (2 + n) 3 2 (8719 n + 11433 n + 3848 n + 420)/(18 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n)), 25 (-2 + n) 2 2 (-3 + n) (n - 4) (1 + n) (10616 n + 2627 n + 537) (2 + n) n/(36 (-5 + 6 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-4 + 3 n) (-1 + 3 n) (-7 + 6 n) (-1 + 6 n)), 1925 n (-2 + n) (n - 4) (-3 + n) (2 + n) 4 3 2 (1 + n) (784 n + 2596 n + 1145 n - 1282 n + 501)/(54 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n) (-5 + 3 n) (-11 + 6 n)), 1925 n (-3 + n) (n - 4) (1 + n) (2 + n) 5 4 3 2 (13871 n + 62595 n + 51119 n - 65643 n - 38206 n + 43944)/(1728 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n) (-5 + 3 n) (-11 + 6 n)), 3575 (-3 + n) (n - 4) 4 3 2 2 (3 + n) (2 + n) (10847 n + 20116 n - 28949 n - 26998 n + 30024) (1 + n) n/(864 (-11 + 6 n) (-5 + 6 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-4 + 3 n) (-1 + 3 n) (-13 + 6 n) (-7 + 6 n) (-1 + 6 n)), 1001 n (-3 + n) (n - 4) (3 + n) (2 + n) 5 4 3 2 (884987 n + 2951676 n - 1879921 n - 7928574 n + 1735112 n + 4413120) 2 (1 + n) /(15552 (-11 + 6 n) (-5 + 6 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-7 + 3 n) (-4 + 3 n) (-1 + 3 n) (-13 + 6 n) (-7 + 6 n) (-1 + 6 n)), 25025 (-1 + n) (-3 + n) (n - 4) (3 + n) (2 + n) 5 4 3 2 (52135 n + 310194 n + 356101 n - 597126 n - 1025024 n - 319200) 2 (1 + n) n/(31104 (-11 + 6 n) (-5 + 6 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 2 n) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-7 + 3 n) (-4 + 3 n) (-1 + 3 n) (-13 + 6 n) (-7 + 6 n) (-1 + 6 n)), 5005 n (3 + n) (n - 4) (-3 + n) (-1 + n) 5 4 3 2 (124493 n + 708374 n + 408367 n - 2306714 n - 1722960 n - 252000) 2 2 (2 + n) (1 + n) /(15552 (-11 + 6 n) (-5 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 2 n) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-7 + 3 n) (-4 + 3 n) (-1 + 3 n) (-13 + 6 n) (-7 + 6 n) (-1 + 6 n)), 12155 (-1 + n) (-3 + n) 4 3 2 (n - 4) (4 + n) (3 + n) (20976 n + 74363 n - 62346 n - 256523 n - 29070) 2 2 2 (2 + n) (1 + n) n /(3888 (-17 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 2 n) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-7 + 3 n) (-4 + 3 n) (-1 + 3 n) (-13 + 6 n) (-7 + 6 n) (-1 + 6 n)), 85085 (-1 + n) (n - 4) (4 + n) (3 + n) 5 4 3 2 2 2 2 (461 n + 2536 n + 593 n - 10876 n - 8254 n + 4140) (2 + n) (1 + n) n /(2592 (-17 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 2 n) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-7 + 3 n) (-4 + 3 n) (-1 + 3 n) 2 (-13 + 6 n) (-7 + 6 n) (-1 + 6 n)), 1616615 n (4 + n) (n - 4) (-1 + n) 4 3 2 2 2 3 (335 n + 1186 n - 2447 n - 4162 n + 3432) (3 + n) (2 + n) (1 + n) /( 31104 (-17 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 2 n) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-7 + 3 n) (-4 + 3 n) (-1 + 3 n) (-19 + 6 n) (-13 + 6 n) (-7 + 6 n) (-1 + 6 n)), 1154725 (-1 + n) (-2 + n) 4 3 2 2 (n - 4) (4 + n) (2623 n + 20042 n + 33833 n - 15698 n - 28200) (3 + n) 2 3 2 (2 + n) (1 + n) n /(373248 (-17 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-5 + 2 n) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-10 + 3 n) (-7 + 3 n) (-4 + 3 n) (-1 + 3 n) (-19 + 6 n) (-13 + 6 n) (-7 + 6 n) 2 (-1 + 6 n)), 1616615 n (-2 + n) (n - 4) (5 + n) (4 + n) 2 2 2 3 3 (227 n + 857 n + 300) (3 + n) (-1 + n) (2 + n) (1 + n) /(186624 (-17 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-10 + 3 n) (-7 + 3 n) (-4 + 3 n) (-1 + 3 n) (-19 + 6 n) (-13 + 6 n) (-7 + 6 n) (-1 + 6 n)), 2 2 2 17782765 (-2 + n) (n - 4) (11 n + 21) (5 + n) (-1 + n) (4 + n) (3 + n) 3 3 3 (2 + n) (1 + n) n /(373248 (-17 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 6 n) (-11 + 3 n) (-8 + 3 n) (-5 + 3 n) (-2 + 3 n) (-7 + 2 n) (-5 + 2 n) (-3 + 2 n) (-1 + 2 n) (-10 + 3 n) (-7 + 3 n) (-4 + 3 n) (-1 + 3 n) (-19 + 6 n) 3 (-13 + 6 n) (-7 + 6 n) (-1 + 6 n)), 409003595 n (5 + n) (-2 + n) (n - 4) 2 2 3 3 4 (4 + n) (-1 + n) (3 + n) (2 + n) (1 + n) /(2239488 (-1 + 6 n) (-7 + 6 n) (-13 + 6 n) (-19 + 6 n) (-1 + 3 n) (-4 + 3 n) (-7 + 3 n) (-10 + 3 n) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-8 + 3 n) (-11 + 3 n) (-5 + 6 n) (-11 + 6 n) (-17 + 6 n) 3 2 2 3 (-23 + 6 n)), 11685817 n (5 + n) (-2 + n) (4 + n) (-1 + n) (3 + n) 4 4 (2 + n) (1 + n) /(2239488 (-1 + 6 n) (-7 + 6 n) (-13 + 6 n) (-19 + 6 n) (-1 + 3 n) (-4 + 3 n) (-7 + 3 n) (-10 + 3 n) (-1 + 2 n) (-3 + 2 n) (-5 + 2 n) (-7 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 3 n) (-8 + 3 n) (-11 + 3 n) (-5 + 6 n) (-11 + 6 n) (-17 + 6 n) (-23 + 6 n))] and in Maple notation [7/2*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(n-4)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 175/3*(-1+ n)*(-2+n)*(-3+n)*(n-4)*(1+n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 5/6* (-2+n)*(-3+n)*(n-4)*(113*n+100)*(1+n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6 *n), 35/2*(1+n)*(n-4)*(-2+n)*(-3+n)*(39*n^2+66*n+25)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n) /(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n), 35/108*(n-4)*(-3+n)*(-2+n)*(1+n)*(6239*n^3+15453*n ^2+10528*n+2100)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n) , 7/18*(n-4)*(-3+n)*(-2+n)*(1+n)*(2+n)*(8719*n^3+11433*n^2+3848*n+420)/(-1+6*n) /(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n), 25/36*(-2+n)*( -3+n)*(n-4)*(1+n)*(10616*n^2+2627*n+537)*(2+n)^2*n/(-5+6*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/( -3+2*n)/(-1+2*n)/(-4+3*n)/(-1+3*n)/(-7+6*n)/(-1+6*n), 1925/54*n*(-2+n)*(n-4)*(-\ 3+n)*(2+n)*(1+n)*(784*n^4+2596*n^3+1145*n^2-1282*n+501)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2 *n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n)/(-5+3*n)/(-11+6*n), 1925/1728* n*(-3+n)*(n-4)*(1+n)*(2+n)*(13871*n^5+62595*n^4+51119*n^3-65643*n^2-38206*n+ 43944)/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n)/ (-5+3*n)/(-11+6*n), 3575/864*(-3+n)*(n-4)*(3+n)*(2+n)*(10847*n^4+20116*n^3-\ 28949*n^2-26998*n+30024)*(1+n)^2*n/(-11+6*n)/(-5+6*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/(-3+2*n )/(-1+2*n)/(-4+3*n)/(-1+3*n)/(-13+6*n)/(-7+6*n)/(-1+6*n), 1001/15552*n*(-3+n)*( n-4)*(3+n)*(2+n)*(884987*n^5+2951676*n^4-1879921*n^3-7928574*n^2+1735112*n+ 4413120)*(1+n)^2/(-11+6*n)/(-5+6*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/(-3+2*n)/(-1+2*n)/(-7+3*n )/(-4+3*n)/(-1+3*n)/(-13+6*n)/(-7+6*n)/(-1+6*n), 25025/31104*(-1+n)*(-3+n)*(n-4 )*(3+n)*(2+n)*(52135*n^5+310194*n^4+356101*n^3-597126*n^2-1025024*n-319200)*(1+ n)^2*n/(-11+6*n)/(-5+6*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/(-5+2*n)/(-3+2*n)/(-1+2*n)/(-7+3*n) /(-4+3*n)/(-1+3*n)/(-13+6*n)/(-7+6*n)/(-1+6*n), 5005/15552*n*(3+n)*(n-4)*(-3+n) *(-1+n)*(124493*n^5+708374*n^4+408367*n^3-2306714*n^2-1722960*n-252000)*(2+n)^2 *(1+n)^2/(-11+6*n)/(-5+6*n)/(-8+3*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/(-5+2*n)/(-3+2*n)/(-1+2* n)/(-7+3*n)/(-4+3*n)/(-1+3*n)/(-13+6*n)/(-7+6*n)/(-1+6*n), 12155/3888*(-1+n)*(-\ 3+n)*(n-4)*(4+n)*(3+n)*(20976*n^4+74363*n^3-62346*n^2-256523*n-29070)*(2+n)^2*( 1+n)^2*n^2/(-17+6*n)/(-11+6*n)/(-5+6*n)/(-8+3*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/(-5+2*n)/(-3 +2*n)/(-1+2*n)/(-7+3*n)/(-4+3*n)/(-1+3*n)/(-13+6*n)/(-7+6*n)/(-1+6*n), 85085/ 2592*(-1+n)*(n-4)*(4+n)*(3+n)*(461*n^5+2536*n^4+593*n^3-10876*n^2-8254*n+4140)* (2+n)^2*(1+n)^2*n^2/(-17+6*n)/(-11+6*n)/(-5+6*n)/(-8+3*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/(-5 +2*n)/(-3+2*n)/(-1+2*n)/(-7+3*n)/(-4+3*n)/(-1+3*n)/(-13+6*n)/(-7+6*n)/(-1+6*n), 1616615/31104*n^2*(4+n)*(n-4)*(-1+n)*(335*n^4+1186*n^3-2447*n^2-4162*n+3432)*(3 +n)^2*(2+n)^2*(1+n)^3/(-17+6*n)/(-11+6*n)/(-5+6*n)/(-8+3*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/( -5+2*n)/(-3+2*n)/(-1+2*n)/(-7+3*n)/(-4+3*n)/(-1+3*n)/(-19+6*n)/(-13+6*n)/(-7+6* n)/(-1+6*n), 1154725/373248*(-1+n)*(-2+n)*(n-4)*(4+n)*(2623*n^4+20042*n^3+33833 *n^2-15698*n-28200)*(3+n)^2*(2+n)^2*(1+n)^3*n^2/(-17+6*n)/(-11+6*n)/(-5+6*n)/(-\ 8+3*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/(-5+2*n)/(-3+2*n)/(-1+2*n)/(-10+3*n)/(-7+3*n)/(-4+3*n) /(-1+3*n)/(-19+6*n)/(-13+6*n)/(-7+6*n)/(-1+6*n), 1616615/186624*n^2*(-2+n)*(n-4 )*(5+n)*(4+n)*(227*n^2+857*n+300)*(3+n)^2*(-1+n)^2*(2+n)^3*(1+n)^3/(-17+6*n)/(-\ 11+6*n)/(-5+6*n)/(-8+3*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/(-7+2*n)/(-5+2*n)/(-3+2*n)/(-1+2*n) /(-10+3*n)/(-7+3*n)/(-4+3*n)/(-1+3*n)/(-19+6*n)/(-13+6*n)/(-7+6*n)/(-1+6*n), 17782765/373248*(-2+n)*(n-4)*(11*n+21)*(5+n)*(-1+n)^2*(4+n)^2*(3+n)^2*(2+n)^3*( 1+n)^3*n^3/(-17+6*n)/(-11+6*n)/(-5+6*n)/(-11+3*n)/(-8+3*n)/(-5+3*n)/(-2+3*n)/(-\ 7+2*n)/(-5+2*n)/(-3+2*n)/(-1+2*n)/(-10+3*n)/(-7+3*n)/(-4+3*n)/(-1+3*n)/(-19+6*n )/(-13+6*n)/(-7+6*n)/(-1+6*n), 409003595/2239488*n^3*(5+n)*(-2+n)*(n-4)*(4+n)^2 *(-1+n)^2*(3+n)^3*(2+n)^3*(1+n)^4/(-1+6*n)/(-7+6*n)/(-13+6*n)/(-19+6*n)/(-1+3*n )/(-4+3*n)/(-7+3*n)/(-10+3*n)/(-1+2*n)/(-3+2*n)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-2+3*n)/(-5+ 3*n)/(-8+3*n)/(-11+3*n)/(-5+6*n)/(-11+6*n)/(-17+6*n)/(-23+6*n), 11685817/ 2239488*n^3*(5+n)*(-2+n)*(4+n)^2*(-1+n)^2*(3+n)^3*(2+n)^4*(1+n)^4/(-1+6*n)/(-7+ 6*n)/(-13+6*n)/(-19+6*n)/(-1+3*n)/(-4+3*n)/(-7+3*n)/(-10+3*n)/(-1+2*n)/(-3+2*n) /(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-2+3*n)/(-5+3*n)/(-8+3*n)/(-11+3*n)/(-5+6*n)/(-11+6*n)/(-17 +6*n)/(-23+6*n)] `The average is` 25/2239488*(142162254552468253*n^20-5503234719455686224*n^19+ 99273945944497532699*n^18-1108350518680858852452*n^17+8578411718383301777994*n^ 16-48858278006540346396048*n^15+212136634772131522264438*n^14-\ 717738941394237467315736*n^13+1917983217490203626601137*n^12-\ 4078539249134048802225408*n^11+6920694335638732820427087*n^10-\ 9357981526790797473550692*n^9+10028653310400350179877272*n^8-\ 8434536654610021788065664*n^7+5483908247756347133377136*n^6-\ 2696573799204514323625920*n^5+971588235745933942777344*n^4-\ 244741639163110761747456*n^3+40016620468799991152640*n^2-3718135967121141350400 *n+143622315216027648000)/(-1+6*n)/(-7+6*n)/(-13+6*n)/(-19+6*n)/(-1+3*n)/(-4+3* n)/(-7+3*n)/(-10+3*n)/(-1+2*n)/(-3+2*n)/(-5+2*n)/(-7+2*n)/(-2+3*n)/(-5+3*n)/(-8 +3*n)/(-11+3*n)/(-5+6*n)/(-11+6*n)/(-17+6*n)/(-23+6*n) and the variance is 25/5015306502144*(n-4)*(1+n)*(29785932649734779169739267747438559*n^38-\ 2191396800052767329729130644396617539*n^37+ 77797440447908329139474708012603043781*n^36-\ 1775229455362350225285781319049341005173*n^35+ 29261001417155078048073851571808562309088*n^34-\ 371210734556210859576428103283392283754748*n^33+ 3771132366371154871280869359463707645735268*n^32-\ 31516747429543852293943596431069673386755428*n^31+ 220909732196422865251447890875638999694480978*n^30-\ 1317424081741006435945013090296940757698930298*n^29+ 6758065597076394970272383733256840547884416966*n^28-\ 30073178384538141624109224823036907500483039014*n^27+ 116858555745973665839786467093171067704772194980*n^26-\ 398563653550742666839560910345526884765740399900*n^25+ 1197877822819277470421061241450850249855729225940*n^24-\ 3182016076212019211709874893732634287224450061780*n^23+ 7486878293564598480400457549526591777171263504295*n^22-\ 15624990894070691364451222746419704868333240981595*n^21+ 28945327479056081263108328195165529442010924497885*n^20-\ 47601506803592084993806645315453619738742028450125*n^19+ 69458207091542736342438484104040604661459603223076*n^18-\ 89825089952338383152567300340470168848586924761296*n^17+ 102773052855232800600813536415378017075435959638624*n^16-\ 103780107831510219899297665807207712318867806678752*n^15+ 92200186496575441122834050680043476649487424380032*n^14-\ 71780858805703253240468915756527330255472780662272*n^13+ 48732251925296432780204972083922083174303417906432*n^12-\ 28678227023798798187512908947404833484274365521152*n^11+ 14522516978207463261623670382426303165409317020672*n^10-\ 6271997318022449639297911773673202793986210660352*n^9+ 2284911662698302468785268487269107858590133551104*n^8-\ 692602494501995228621375840441374056371610648576*n^7+ 171673753085849324653852524366362689891966648320*n^6-\ 34017815820446937568069275207815132843999232000*n^5+ 5226684425963570507728134713319046967721984000*n^4-\ 596152727752720031977664788632455180451840000*n^3+ 47186192464309792502642382532099493068800000*n^2-\ 2297761574038347556145578745895321600000000*n+ 51568423570030017165495461751029760000000)/(-1+6*n)^2/(-7+6*n)^2/(-13+6*n)^2/(-\ 19+6*n)^2/(-1+3*n)^2/(-4+3*n)^2/(-7+3*n)^2/(-10+3*n)^2/(-1+2*n)^2/(-3+2*n)^2/(-\ 5+2*n)^2/(-7+2*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+3*n)^2/(-8+3*n)^2/(-11+3*n)^2/(-5+6*n)^2/(-\ 11+6*n)^2/(-17+6*n)^2/(-23+6*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[5., .3240740741e-1], [6., .9002057613e-1], [7., .1453189300], [8., .175540123\ 5], [9., .1733451773], [10., .1453498895], [11., .1053415384], [12., .\ 6655842323e-1], [13., .3679974046e-1], [14., .1781437875e-1], [15., .7536369863\ e-2], [16., .2774819311e-2], [17., .8834642895e-3], [18., .2410051725e-3], [19. , .5561525256e-4], [20., .1066495187e-4], [21., .1656844869e-5], [22., .\ 2007416314e-6], [23., .1783387474e-7], [24., .1035805856e-8], [25., .2959445304\ e-10]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 3554056363811706325 5 29785932649734779169739267747438559 [-------------------, ----------------------------------------, 394865111526801408 394865111526801408 11809542285792732959302110228081010941916418992038122 1/2 29785932649734779169739267747438559 / 4436008919072681614625119182299242244615174556617789115284527399982405, 66352998030342982191503211230014445091619807658558207355696307028426997 -----------------------------------------------------------------------] 22180044595363408073125595911496211223075872783088945576422636999912025 and in floating-point [9.000684690, 2.185379388, .4594584641, 2.991562877] Here is a plot + HHHHH + H HH 0.16 H H + HH HH 0.14 H H + H H 0.12 H H + HH H + H H 0.1 H H + H H 0.08 H H + H HH 0.06 H H + H HH 0.04H H +H HH + H 0.02 HHH + HHH ++---+---+--+---+---+--+---+---+--+---+-************************************- 0 5 10 15 20 25 --------------------------------------------- The occupants of cell, [1, 6], in a standard Young tableau of shape, [n, n, n, n, n, n], are all the integers from, 6, to , 31 The probability distribution is 77 (n - 5) (-1 + n) (-2 + n) (-3 + n) (n - 4) [---------------------------------------------------------, 12 (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n) 275 (-2 + n) (-3 + n) (n - 4) (n - 5) (1 + n) ---------------------------------------------------------, 12 (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n) 1925 (-2 + n) (-3 + n) (n - 4) (n - 5) (6 + 7 n) (1 + n) --------------------------------------------------------------------, 385 48 (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n) 2 (-2 + n) (-3 + n) (n - 4) (n - 5) (1 + n) (359 n + 571 n + 210)/(108 (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 55 (n - 4) (-3 + n) (-2 + n) (n - 5) (1 + n) 3 2 (2090 n + 4653 n + 3004 n + 588)/(36 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n)), 7 (-2 + n) (-3 + n) (n - 4) (n - 5) (4 n + 1) (1 + n) 3 2 (13223 n + 33715 n + 22368 n + 3780)/(36 (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 385 (n - 5) (n - 4) (-3 + n) (-2 + n) n (1 + n) (2 + n) 3 2 (262343 n + 355458 n + 109165 n + 14034)/(1728 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n) (-5 + 3 n) (-11 + 6 n)), 385 (-3 + n) (n - 4) (n - 5) (2 + n) (1 + n) 4 3 2 (111095 n + 214811 n - 1349 n + 5125 n - 3282) n/(864 (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 715 n (-3 + n) (n - 4) (n - 5) (2 + n) (1 + n) 5 4 3 2 (3285095 n + 8430635 n - 1463741 n - 5824331 n + 5750070 n - 2147328)/( 10368 (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 5005 (-3 + n) 6 5 4 (n - 4) (n - 5) (2 + n) (1 + n) (2911531 n + 9525882 n - 1965338 n 3 2 - 18009144 n + 9124015 n + 12970878 n - 10324224) n/(31104 (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 5005 n (2 + n) 6 5 4 (n - 5) (n - 4) (-3 + n) (3632669 n + 11113839 n - 12766861 n 3 2 2 - 36359139 n + 36582824 n + 34799340 n - 36155952) (1 + n) /(31104 (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 3575 (-1 + n) (-3 + n) (n - 4) (n - 5) (3 + n) (2 + n) 5 4 3 2 (1076483 n + 2080844 n - 4664135 n - 6215900 n + 7006044 n + 6413904) 2 (1 + n) n/(3888 (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 425425 n (-1 + n) (-3 + n) (n - 4) 6 5 4 3 (n - 5) (3 + n) (2 + n) (664279 n + 1921548 n - 3544007 n - 9575832 n 2 2 + 4979428 n + 13668048 n + 4507776) (1 + n) /(93312 (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 425425 n (-1 + n) (n - 4) (n - 5) (3 + n) (2 + n) ( 7 6 5 4 3 2 101749 n + 400477 n - 547025 n - 2796305 n + 259588 n + 4876876 n 2 + 2783664 n + 395136) (1 + n) /(31104 (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 1616615 6 5 4 (-1 + n) (n - 4) (n - 5) (3 + n) (44183 n + 135111 n - 455279 n 3 2 2 2 2 - 1054475 n + 1391392 n + 1503804 n + 177264) (2 + n) (1 + n) n /( 20736 (-19 + 6 n) (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) 2 (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 46189 n (-1 + n) (n - 4) 7 6 5 4 (n - 5) (3 + n) (2564283 n + 10903536 n - 25685374 n - 113417260 n 3 2 2 2 + 77231647 n + 273733804 n - 42787356 n - 11720880) (2 + n) (1 + n) /( 31104 (-10 + 3 n) (-19 + 6 n) (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 1616615 (-1 + n) (-2 + n) (n - 4) (n - 5) (4 + n) (3 + n) ( 6 5 4 3 2 47922 n + 168183 n - 342575 n - 1264875 n - 3277 n + 920292 n - 290070 2 2 2 ) (2 + n) (1 + n) n /(31104 (-7 + 2 n) (-10 + 3 n) (-19 + 6 n) (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) 2 (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 17782765 n (-1 + n) (-2 + n) (n - 4) 6 5 4 3 (n - 5) (4 + n) (3 + n) (33860 n + 129331 n - 334487 n - 1180663 n 2 2 3 + 619053 n + 1518516 n - 962010) (2 + n) (1 + n) /(279936 (-11 + 3 n) (-7 + 2 n) (-10 + 3 n) (-19 + 6 n) (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 58429085 (-2 + n) (n - 4) (n - 5) (4 + n) 5 4 3 2 (743965 n + 2357870 n - 8598919 n - 18673244 n + 11540988 n + 15487920) 2 2 2 3 2 (-1 + n) (3 + n) (2 + n) (1 + n) n /(13436928 (-23 + 6 n) (-11 + 3 n) (-7 + 2 n) (-10 + 3 n) (-19 + 6 n) (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 409003595 (-2 + n) (n - 5) (4 + n) 6 5 4 3 2 (5719 n + 25983 n - 60695 n - 271971 n + 69880 n + 421164 n + 126000) 2 2 2 3 2 (-1 + n) (3 + n) (2 + n) (1 + n) n /(3359232 (-23 + 6 n) (-11 + 3 n) (-7 + 2 n) (-10 + 3 n) (-19 + 6 n) (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 3 409003595 n (-2 + n) (n - 5) (4 + n) 5 4 3 2 (24893 n + 97655 n - 383735 n - 1035935 n + 1553562 n + 1125000) 2 2 3 3 (3 + n) (-1 + n) (2 + n) (1 + n) /(13436928 (-25 + 6 n) (-23 + 6 n) (-11 + 3 n) (-7 + 2 n) (-10 + 3 n) (-19 + 6 n) (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 26585233675 (-2 + n) (-3 + n) (n - 5) (5 + n) (4 + n) 4 3 2 2 2 3 (171 n + 562 n - 779 n - 1962 n + 408) (3 + n) (-1 + n) (2 + n) 3 3 (1 + n) n /(13436928 (-13 + 3 n) (-25 + 6 n) (-23 + 6 n) (-11 + 3 n) (-7 + 2 n) (-10 + 3 n) (-19 + 6 n) (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 3 2 2 3797890525 n (-3 + n) (n - 5) (5 + n) (125 n + 201 n - 186) (-1 + n) 2 2 2 3 4 (-2 + n) (4 + n) (3 + n) (2 + n) (1 + n) /(5971968 (-9 + 2 n) (-13 + 3 n) (-25 + 6 n) (-23 + 6 n) (-11 + 3 n) (-7 + 2 n) (-10 + 3 n) (-19 + 6 n) (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) (-1 + 6 n)), 26585233675 (-3 + n) (n - 5) 2 2 3 3 3 4 (5 + n) (6 + 7 n) (4 + n) (-2 + n) (-1 + n) (3 + n) (2 + n) (1 + n) 3 n /(8957952 (-14 + 3 n) (-9 + 2 n) (-13 + 3 n) (-25 + 6 n) (-23 + 6 n) (-11 + 3 n) (-7 + 2 n) (-10 + 3 n) (-19 + 6 n) (-17 + 6 n) (-8 + 3 n) (-5 + 2 n) (-7 + 3 n) (-13 + 6 n) (-11 + 6 n) (-5 + 3 n) (-3 + 2 n) (-4 + 3 n) (-7 + 6 n) (-5 + 6 n) (-2 + 3 n) (-1 + 2 n) (-1 + 3 n) 4 2 2 (-1 + 6 n)), 770971776575 n (-3 + n) (n - 5) (5 + n) (4 + n) (-2 + n) 3 3 4 4 (3 + n) (-1 + n) (2 + n) (1 + n) /(107495424 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n) (-5 + 3 n) (-11 + 6 n) (-13 + 6 n) (-7 + 3 n) (-5 + 2 n) (-8 + 3 n) (-17 + 6 n) (-19 + 6 n) (-10 + 3 n) (-7 + 2 n) (-11 + 3 n) (-23 + 6 n) 4 (-25 + 6 n) (-13 + 3 n) (-29 + 6 n) (-9 + 2 n) (-14 + 3 n)), 22027765045 n 2 2 3 3 4 5 (5 + n) (-3 + n) (4 + n) (-2 + n) (3 + n) (-1 + n) (2 + n) (1 + n) /( 107495424 (-1 + 6 n) (-1 + 3 n) (-1 + 2 n) (-2 + 3 n) (-5 + 6 n) (-7 + 6 n) (-4 + 3 n) (-3 + 2 n) (-5 + 3 n) (-11 + 6 n) (-13 + 6 n) (-7 + 3 n) (-5 + 2 n) (-8 + 3 n) (-17 + 6 n) (-19 + 6 n) (-10 + 3 n) (-7 + 2 n) (-11 + 3 n) (-23 + 6 n) (-25 + 6 n) (-13 + 3 n) (-29 + 6 n) (-9 + 2 n) (-14 + 3 n))] and in Maple notation [77/12*(n-5)*(-1+n)*(-2+n)*(-3+n)*(n-4)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1 +6*n), 275/12*(-2+n)*(-3+n)*(n-4)*(n-5)*(1+n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3* n)/(-1+6*n), 1925/48*(-2+n)*(-3+n)*(n-4)*(n-5)*(6+7*n)*(1+n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/ (-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 385/108*(-2+n)*(-3+n)*(n-4)*(n-5)*(1+n)*( 359*n^2+571*n+210)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6* n), 55/36*(n-4)*(-3+n)*(-2+n)*(n-5)*(1+n)*(2090*n^3+4653*n^2+3004*n+588)/(-1+6* n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n), 7/36*(-2+n)* (-3+n)*(n-4)*(n-5)*(4*n+1)*(1+n)*(13223*n^3+33715*n^2+22368*n+3780)/(-5+3*n)/(-\ 3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 385/1728 *(n-5)*(n-4)*(-3+n)*(-2+n)*n*(1+n)*(2+n)*(262343*n^3+355458*n^2+109165*n+14034) /(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n)/(-5+3* n)/(-11+6*n), 385/864*(-3+n)*(n-4)*(n-5)*(2+n)*(1+n)*(111095*n^4+214811*n^3-\ 1349*n^2+5125*n-3282)*n/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/ (-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 715/10368*n*(-3+n)*(n-4)*(n-5)*(2+n)*(1+n) *(3285095*n^5+8430635*n^4-1463741*n^3-5824331*n^2+5750070*n-2147328)/(-13+6*n)/ (-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3* n)/(-1+6*n), 5005/31104*(-3+n)*(n-4)*(n-5)*(2+n)*(1+n)*(2911531*n^6+9525882*n^5 -1965338*n^4-18009144*n^3+9124015*n^2+12970878*n-10324224)*n/(-7+3*n)/(-13+6*n) /(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3 *n)/(-1+6*n), 5005/31104*n*(2+n)*(n-5)*(n-4)*(-3+n)*(3632669*n^6+11113839*n^5-\ 12766861*n^4-36359139*n^3+36582824*n^2+34799340*n-36155952)*(1+n)^2/(-5+2*n)/(-\ 7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n )/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 3575/3888*(-1+n)*(-3+n)*(n-4)*(n-5)*(3+n)*(2+n)*( 1076483*n^5+2080844*n^4-4664135*n^3-6215900*n^2+7006044*n+6413904)*(1+n)^2*n/(-\ 8+3*n)/(-5+2*n)/(-7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n )/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 425425/93312*n*(-1+n)*(-3+n)*(n -4)*(n-5)*(3+n)*(2+n)*(664279*n^6+1921548*n^5-3544007*n^4-9575832*n^3+4979428*n ^2+13668048*n+4507776)*(1+n)^2/(-17+6*n)/(-8+3*n)/(-5+2*n)/(-7+3*n)/(-13+6*n)/( -11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n )/(-1+6*n), 425425/31104*n*(-1+n)*(n-4)*(n-5)*(3+n)*(2+n)*(101749*n^7+400477*n^ 6-547025*n^5-2796305*n^4+259588*n^3+4876876*n^2+2783664*n+395136)*(1+n)^2/(-17+ 6*n)/(-8+3*n)/(-5+2*n)/(-7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/ (-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 1616615/20736*(-1+n)*(n-\ 4)*(n-5)*(3+n)*(44183*n^6+135111*n^5-455279*n^4-1054475*n^3+1391392*n^2+1503804 *n+177264)*(2+n)^2*(1+n)^2*n^2/(-19+6*n)/(-17+6*n)/(-8+3*n)/(-5+2*n)/(-7+3*n)/( -13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2* n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 46189/31104*n^2*(-1+n)*(n-4)*(n-5)*(3+n)*(2564283*n^7+ 10903536*n^6-25685374*n^5-113417260*n^4+77231647*n^3+273733804*n^2-42787356*n-\ 11720880)*(2+n)^2*(1+n)^2/(-10+3*n)/(-19+6*n)/(-17+6*n)/(-8+3*n)/(-5+2*n)/(-7+3 *n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/( -1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 1616615/31104*(-1+n)*(-2+n)*(n-4)*(n-5)*(4+n)*(3+n)* (47922*n^6+168183*n^5-342575*n^4-1264875*n^3-3277*n^2+920292*n-290070)*(2+n)^2* (1+n)^2*n^2/(-7+2*n)/(-10+3*n)/(-19+6*n)/(-17+6*n)/(-8+3*n)/(-5+2*n)/(-7+3*n)/( -13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2* n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 17782765/279936*n^2*(-1+n)*(-2+n)*(n-4)*(n-5)*(4+n)*(3+n) *(33860*n^6+129331*n^5-334487*n^4-1180663*n^3+619053*n^2+1518516*n-962010)*(2+n )^2*(1+n)^3/(-11+3*n)/(-7+2*n)/(-10+3*n)/(-19+6*n)/(-17+6*n)/(-8+3*n)/(-5+2*n)/ (-7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3 *n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 58429085/13436928*(-2+n)*(n-4)*(n-5)*(4+n)*( 743965*n^5+2357870*n^4-8598919*n^3-18673244*n^2+11540988*n+15487920)*(-1+n)^2*( 3+n)^2*(2+n)^2*(1+n)^3*n^2/(-23+6*n)/(-11+3*n)/(-7+2*n)/(-10+3*n)/(-19+6*n)/(-\ 17+6*n)/(-8+3*n)/(-5+2*n)/(-7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3* n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 409003595/3359232*(-2 +n)*(n-5)*(4+n)*(5719*n^6+25983*n^5-60695*n^4-271971*n^3+69880*n^2+421164*n+ 126000)*(-1+n)^2*(3+n)^2*(2+n)^2*(1+n)^3*n^2/(-23+6*n)/(-11+3*n)/(-7+2*n)/(-10+ 3*n)/(-19+6*n)/(-17+6*n)/(-8+3*n)/(-5+2*n)/(-7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n )/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 409003595/13436928*n^3*(-2+n)*(n-5)*(4+n)*(24893*n^5+97655*n^4-383735*n^3-\ 1035935*n^2+1553562*n+1125000)*(3+n)^2*(-1+n)^2*(2+n)^3*(1+n)^3/(-25+6*n)/(-23+ 6*n)/(-11+3*n)/(-7+2*n)/(-10+3*n)/(-19+6*n)/(-17+6*n)/(-8+3*n)/(-5+2*n)/(-7+3*n )/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1 +2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 26585233675/13436928*(-2+n)*(-3+n)*(n-5)*(5+n)*(4+n)*( 171*n^4+562*n^3-779*n^2-1962*n+408)*(3+n)^2*(-1+n)^2*(2+n)^3*(1+n)^3*n^3/(-13+3 *n)/(-25+6*n)/(-23+6*n)/(-11+3*n)/(-7+2*n)/(-10+3*n)/(-19+6*n)/(-17+6*n)/(-8+3* n)/(-5+2*n)/(-7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-\ 5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 3797890525/5971968*n^3*(-3+n)*(n-5) *(5+n)*(125*n^2+201*n-186)*(-1+n)^2*(-2+n)^2*(4+n)^2*(3+n)^2*(2+n)^3*(1+n)^4/(-\ 9+2*n)/(-13+3*n)/(-25+6*n)/(-23+6*n)/(-11+3*n)/(-7+2*n)/(-10+3*n)/(-19+6*n)/(-\ 17+6*n)/(-8+3*n)/(-5+2*n)/(-7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3+2*n)/(-4+3* n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 26585233675/8957952*( -3+n)*(n-5)*(5+n)*(6+7*n)*(4+n)^2*(-2+n)^2*(-1+n)^3*(3+n)^3*(2+n)^3*(1+n)^4*n^3 /(-14+3*n)/(-9+2*n)/(-13+3*n)/(-25+6*n)/(-23+6*n)/(-11+3*n)/(-7+2*n)/(-10+3*n)/ (-19+6*n)/(-17+6*n)/(-8+3*n)/(-5+2*n)/(-7+3*n)/(-13+6*n)/(-11+6*n)/(-5+3*n)/(-3 +2*n)/(-4+3*n)/(-7+6*n)/(-5+6*n)/(-2+3*n)/(-1+2*n)/(-1+3*n)/(-1+6*n), 770971776575/107495424*n^4*(-3+n)*(n-5)*(5+n)*(4+n)^2*(-2+n)^2*(3+n)^3*(-1+n)^3 *(2+n)^4*(1+n)^4/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n) /(-3+2*n)/(-5+3*n)/(-11+6*n)/(-13+6*n)/(-7+3*n)/(-5+2*n)/(-8+3*n)/(-17+6*n)/(-\ 19+6*n)/(-10+3*n)/(-7+2*n)/(-11+3*n)/(-23+6*n)/(-25+6*n)/(-13+3*n)/(-29+6*n)/(-\ 9+2*n)/(-14+3*n), 22027765045/107495424*n^4*(5+n)*(-3+n)*(4+n)^2*(-2+n)^2*(3+n) ^3*(-1+n)^3*(2+n)^4*(1+n)^5/(-1+6*n)/(-1+3*n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6* n)/(-4+3*n)/(-3+2*n)/(-5+3*n)/(-11+6*n)/(-13+6*n)/(-7+3*n)/(-5+2*n)/(-8+3*n)/(-\ 17+6*n)/(-19+6*n)/(-10+3*n)/(-7+2*n)/(-11+3*n)/(-23+6*n)/(-25+6*n)/(-13+3*n)/(-\ 29+6*n)/(-9+2*n)/(-14+3*n)] `The average is` 11/107495424*(12954782562841286964047*n^25-789385170564681668423065*n^24+ 22745227661540358550550690*n^23-412209882982402444797714110*n^22+ 5272037162419934893761198865*n^21-50611128906534876596050065015*n^20+ 378682709931520461223777698240*n^19-2263534960140327243800856267760*n^18+ 10991573618649509470465731794945*n^17-43859850847395723343375420014215*n^16+ 144915488420807590320888904208890*n^15-398301902884961321052594660098310*n^14+ 912617749311873578659582164540255*n^13-1743037362482181102807526645371865*n^12+ 2768850156343935290124212058084740*n^11-3642040885015225135005358117703660*n^10 +3939754017475476134480941820188960*n^9-3471121569364292207856174050328240*n^8+ 2458238126279832230438729520677440*n^7-1374738192848930691862065744356160*n^6+ 592640827888983703479953188892928*n^5-190456133095313251539671305497600*n^4+ 43463881789403403537687098880000*n^3-6529075116613211535805071360000*n^2+ 564200184722679869721477120000*n-20467041652175236005888000000)/(-1+6*n)/(-1+3* n)/(-1+2*n)/(-2+3*n)/(-5+6*n)/(-7+6*n)/(-4+3*n)/(-3+2*n)/(-5+3*n)/(-11+6*n)/(-\ 13+6*n)/(-7+3*n)/(-5+2*n)/(-8+3*n)/(-17+6*n)/(-19+6*n)/(-10+3*n)/(-7+2*n)/(-11+ 3*n)/(-23+6*n)/(-25+6*n)/(-13+3*n)/(-29+6*n)/(-9+2*n)/(-14+3*n) and the variance is 55/11555266180939776*(n-5)*(1+n)*(19217128806784280032044287171454479006947217* n^48-2253644663926178008716921675076576542536080074*n^47+ 128489887028113853799888126513948590289410468746*n^46-\ 4745845880006631159947292472008110376701392449074*n^45+ 127672251388276920107927134591609878681609791499432*n^44-\ 2666605082589432072450875992456344300190010682464214*n^43+ 45012005902208388373307095295928282786910363983157846*n^42-\ 631139720115675271656635860669641875337361394221873614*n^41+ 7498521971030156229526495297684453050133053252665329737*n^40-\ 76625442115091067859865393933152311922236558609075691604*n^39+ 681318380020509295413754628527571229394719590346580331756*n^38-\ 5319746299414527506546274115892128280587661442171878750004*n^37+ 36745041477180341320636525762071336547817286652898538383592*n^36-\ 225879928647801567808450208025096817430597420895243396656364*n^35+ 1241821875353712610913931222295569144480628310697643587038156*n^34-\ 6130474519378790754862269051169637292536295943242978703726364*n^33+ 27265771424649893771743835600228675068778833047959982197652787*n^32-\ 109547218355572704196171088611936084542920814607157996985949074*n^31+ 398463332599704219498209254021126864921861824218436503652220066*n^30-\ 1314387400638852888474758104774628821569712654569835034035121274*n^29+ 3937072958789275468161232655580761363973691104156600788146618208*n^28-\ 10718750490309923694604025953306853675894276431375649047051717726*n^27+ 26539413937364624739622263523904496903443168787514711880524542654*n^26-\ 59776324304500229551548229133144318002469912242279607200617516726*n^25+ 122471616509768800329470300755085422782608883033990417753348785843*n^24-\ 228167262157016504387342458530420741085462756773875194551720578736*n^23+ 386270287893715937899160769353135355665423842081572849816538372104*n^22-\ 593635622111355157261131859419715517603226044867378948526495838336*n^21+ 827115663510220300536290276474111536169573661692033005449081809488*n^20-\ 1043049263997991512692032286229284223616162759896215498676809920896*n^19+ 1188080821610639798783128294057034797746332651352911199663555961344*n^18-\ 1219325902093881305556132027673441182135768964012311574843414058496*n^17+ 1124230779977381424168635923244879551835765365578670715505636990208*n^16-\ 928014798506035314208193419631587496129061896911600349178974887936*n^15+ 683059872545155453231734350748990567690843255221511464460287289344*n^14-\ 446172599335590880652396209842876348268847830164022298360585895936*n^13+ 257194399688634649520420973851746814695813138011553612534090149888*n^12-\ 129978837616372422248122917250008277003815035489739676436758757376*n^11+ 57139735437000678292980967924113997874180445991008421371842985984*n^10-\ 21646476404431843073990242957239422208781773459303156520426930176*n^9+ 6986879083609314203478628151318087494626700989243960634087833600*n^8-\ 1894717983409592622248535968163952895021021002980037462327296000*n^7+ 424150019644977599763351043787553270068188361097354393157632000*n^6-\ 76613680778868130759781889835974895558048131855155032227840000*n^5+ 10828973943290011062065230105074447432761796099632529408000000*n^4-\ 1146647593549838640696132377915351646351985296990535680000000*n^3+ 85024300226110244104477476134267419239029790348410880000000*n^2-\ 3914036827702790154254031022454057837057512833024000000000*n+ 83779958798375202873382066830342315834133708800000000000)/(-1+6*n)^2/(-1+3*n)^2 /(-1+2*n)^2/(-2+3*n)^2/(-5+6*n)^2/(-7+6*n)^2/(-4+3*n)^2/(-3+2*n)^2/(-5+3*n)^2/( -11+6*n)^2/(-13+6*n)^2/(-7+3*n)^2/(-5+2*n)^2/(-8+3*n)^2/(-17+6*n)^2/(-19+6*n)^2 /(-10+3*n)^2/(-7+2*n)^2/(-11+3*n)^2/(-23+6*n)^2/(-25+6*n)^2/(-13+3*n)^2/(-29+6* n)^2/(-9+2*n)^2/(-14+3*n)^2 as n goes to infinity, the distribution is [[6., .9902263374e-2], [7., .3536522634e-1], [8., .7220400377e-1], [9., .109719\ 5232], [10., .1368765242], [11., .1469558121], [12., .1391991105], [13., .11789\ 39418], [14., .8992029528e-1], [15., .6198501923e-1], [16., .3866884086e-1], [ 17., .2182645470e-1], [18., .1113040623e-1], [19., .5114602614e-2], [20., .\ 2109893591e-2], [21., .7774827230e-3], [22., .2542715540e-3], [23., .7319454532\ e-4], [24., .1834769771e-4], [25., .3949182462e-5], [26., .7162309773e-6], [27. , .1066016861e-6], [28., .1252369432e-7], [29., .1090952927e-8], [30., .\ 6277308511e-10], [31., .1793516717e-11]] The limiting average, standard deviation up to the, 4, -th scaled-moment are 1/2 142502608191254156604517 1056942084373135401762435794429996345382096935 [------------------------, -------------------------------------------------, 12281884428929630994432 12281884428929630994432 233900362425449102749412081172296854992248132365726139154571689878 1/2 1056942084373135401762435794429996345382096935 /2031139217670960135354\ 8406382008840584821153958023476405928788128824406838498240322479895, 5405\ 588938434643722104948859323397498574340227350920711119033050501073122612\ / 645659467281 / 1846490197882691032140764216546258234983741268911225127\ / 811708011711309712590749120225445] and in floating-point [11.60266643, 2.647040516, .3743835846, 2.927493980] Here is a plot + HHHH 0.14 HHH HH + H H + H H 0.12 H H + H HH 0.1 H H + H H + HH H 0.08 H HH + H H + H H 0.06 H H + H H + H H 0.04 H H + H HH 0.02 H H + H HH +H HHHH ++--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+-+-***********************************- 0 10 15 20 25 30 ---------------------------------------------