On the coefficients of Psi(x,0) of the unique solution of the functional equ\ ation, 2 2 2 y Psi(x, y) + (2 x Psi(x, 0) y - y + x - y) Psi(x, y) + y - x Psi(x, 0) = 0 By Shalosh B. Ekhad Let's g(x)=Psi(x,0). The first, 80, (for the sake of the OEIS) are [2, 10, 68, 542, 4764, 44756, 441288, 4513910, 47527084, 512242828, 5628397112, 62852980972, 711636877592, 8153768485032, 94397803845776, 1102874959937190, 12989786547198156, 154103503082751452, 1840090016915599576, 22100879250670527428, 266863820175914704840, 3237996545474943712920, 39463199994789166863600, 482927304796374598576572, 5932084140879053662932984, 73121809593061047284644216, 904257005660010778921809968, 11216174791936032882761246360, 139514079850528523779713424816, 1739933671798315662753299987792, 21752901726149157585832127165728, 272587900631943923966645633035014, 3423273657781724728438800578583820, 43079259439938967988206427512404732, 543171334485331229141761786729542424, 6861229295151681473502987277699022036, 86820361062999829673349335139589594088, 1100416589258199211207248098606943041080, 13969240433982661173598761181542702163760, 177596923657682116995313101556483559350100, 2261071535190794144235026856152074849952040, 28825760315592728496440154617187889593526760, 367966418918562509665687452330386264498171280, 4702964173482079161831833432929006823996832360, 60179416325558857436364708020623143886969198160, 770930668271789165140055491774916184940353440560, 9886744706663124027275095647680998375873093030880, 126923724968979064241191089815449878296429017515100, 1631044409976858533996853044424420780254266264766904, 20979991387887500591731868244434444392066544753198808, 270112946519884319565350478040650456042640941949235952, 3480735376214485808684824798624845849434606139391425576, 44891890920795379636094885666633785394754270727234729680, 579458882588133513224102268570446868336635888331289302512, 7485528236699689047561499717270926841901055007100992930144, 96773249095161694483012911196874679979024966268568428365496, 1252015757504101291104264543973102232597372480093898834971248, 16209701325520469248100836155237281802502505829544328669718640, 210010331835112325232401430096558096146252818554383398178965344, 2722682070914918780730290094036534970276147321053318819158978608, 35321121867912674381871397610572650010059599220224815163135068512, 458505387817190948104143844123229604230961431680130098947524160160, 5955501238358284521778990303589405785110652451492525433908412742208, 77401260370416933329214979948554350617118784841916411309045663486918, 1006528011568554456990663191937364064416866031607989980842015496107404, 13096174283459829602752648953082385475027960884701112953495821330364220, 170489142041108947451439347226477303926977972207358538995588208007052184, 2220628764688507533964995159324362621560350626218246207986444806330513268, 28938478903437247670977723056247396582250769097958917089063781981536191784, 377302565718863305213873989421320889131001757145947740118327832568414167672, 4921666852555105790899281708078955123650061507200706845198657362061375495600, 64229919966955936517985411315251535839558596433138174277757391752630323539940, 838609561494647144794209850144601417571512523396651025458826957982988177489480, 1095403854476729941639220192453463984491992807395437453004124770879813380803495\ 2, 1431448465034389925711720908619897721192542273099130425560855969077177637899\ 09456, 187136858049303318277672829694317856577737501910340444747935615263013106\ 1825739080, 2447487407256291458776514861148472849935887511582724404925573831849\ 8227974744259088, 3202245635019735507409654679066417127809305281447009410352931\ 19385930974399271540336, 419138502993375878125472510171057349586296652987373298\ 8092362941559987908776708537440, 5488138551816044420598619412036072194483480282\ 2265437499397246831368096078500997887860] g=g(x) satisfies the following algebraic equation 2 2 2 2 2 4 3 4 4 6 1/16 g + x - 5/4 x g + 3 x g + 1/2 x g + 3 x g + x g - 1/16 = 0 and in Maple notation 1/16*g^2+x-5/4*x*g^2+3*x^2*g^2+1/2*x^2*g^4+3*x^3*g^4+x^4*g^6-1/16 = 0 More generally, psi=Psi(x,y) satisisfies the algebraic equation 12 12 11 12 11 10 11 11 10 12 16 psi y - 96 psi y + 96 psi x y - 96 psi y + 240 psi y 10 10 10 11 9 12 10 2 8 - 288 psi x y + 576 psi y - 320 psi y + 240 psi x y 10 9 10 10 9 10 9 11 - 480 psi x y + 272 psi y + 192 psi x y - 1440 psi y 8 12 9 2 8 9 9 9 10 + 240 psi y - 192 psi x y + 1440 psi x y - 1568 psi y 8 10 8 11 7 12 9 3 6 + 192 psi x y + 1920 psi y - 96 psi y + 320 psi x y 9 2 7 9 8 9 9 8 2 8 - 960 psi x y + 1088 psi x y - 480 psi y - 96 psi x y 8 9 8 10 7 10 7 11 - 960 psi x y + 3792 psi y - 288 psi x y - 1440 psi y 6 12 8 3 6 8 2 7 8 8 + 16 psi y + 192 psi x y + 768 psi x y - 3536 psi x y 8 9 7 2 8 7 9 7 10 + 2560 psi y - 192 psi x y - 960 psi x y - 4928 psi y 6 10 6 11 8 4 4 8 3 5 + 96 psi x y + 576 psi y + 240 psi x y - 960 psi x y 8 2 6 8 7 8 8 7 3 6 + 1632 psi x y - 1472 psi x y + 584 psi y + 192 psi x y 7 2 7 7 8 7 9 6 2 8 + 384 psi x y + 2752 psi x y - 5760 psi y + 240 psi x y 6 9 6 10 5 11 7 4 4 + 1440 psi x y + 3632 psi y - 96 psi y + 288 psi x y 7 3 5 7 2 6 7 7 7 8 - 576 psi x y - 1984 psi x y + 5504 psi x y - 2784 psi y 6 3 6 6 2 7 6 8 6 9 + 320 psi x y + 768 psi x y + 1760 psi x y + 7040 psi y 5 9 5 10 7 5 2 7 4 3 - 480 psi x y - 1440 psi y + 96 psi x y - 480 psi x y 7 3 4 7 2 5 7 6 7 7 + 1088 psi x y - 1536 psi x y + 1312 psi x y - 512 psi y 6 4 4 6 3 5 6 7 6 8 + 240 psi x y - 576 psi x y - 5248 psi x y + 5584 psi y 5 2 7 5 8 5 9 4 10 - 960 psi x y - 3072 psi x y - 4960 psi y + 240 psi y 6 5 2 6 4 3 6 3 4 6 2 5 + 96 psi x y - 576 psi x y + 416 psi x y + 3264 psi x y 6 6 6 7 5 3 5 5 2 6 - 5664 psi x y + 2112 psi y - 960 psi x y - 1344 psi x y 5 7 5 8 4 8 4 9 - 1280 psi x y - 6112 psi y + 1008 psi x y + 1920 psi y 6 6 6 5 6 4 2 6 3 3 + 16 psi x - 96 psi x y + 272 psi x y - 576 psi x y 6 2 4 6 5 6 6 5 4 3 + 880 psi x y - 800 psi x y + 328 psi y - 480 psi x y 5 3 4 5 2 5 5 6 5 7 + 768 psi x y - 1344 psi x y + 6368 psi x y - 3616 psi y 4 2 6 4 7 4 8 3 9 + 1632 psi x y + 3648 psi x y + 3928 psi y - 320 psi y 5 5 5 4 2 5 3 3 5 2 4 - 96 psi x y + 480 psi x y + 128 psi x y - 3104 psi x y 5 5 5 6 4 3 4 4 2 5 + 3776 psi x y - 1136 psi y + 1248 psi x y + 1344 psi x y 4 6 4 7 3 7 3 8 - 192 psi x y + 3328 psi y - 1152 psi x y - 1440 psi y 5 4 5 3 2 5 2 3 5 4 - 32 psi x y + 160 psi x y - 320 psi x y + 336 psi x y 5 5 4 4 2 4 3 3 4 2 4 - 152 psi y + 432 psi x y - 576 psi x y + 2000 psi x y 4 5 4 6 3 2 5 3 6 - 4768 psi x y + 1592 psi y - 1536 psi x y - 2592 psi x y 3 7 2 8 4 5 4 4 4 3 2 - 1792 psi y + 240 psi y + 48 psi x - 192 psi x y - 352 psi x y 4 2 3 4 4 4 5 3 3 3 + 1664 psi x y - 1556 psi x y + 432 psi y - 896 psi x y 3 2 4 3 5 3 6 2 6 - 864 psi x y + 1024 psi x y - 1152 psi y + 768 psi x y 2 7 4 4 4 3 4 2 2 4 3 + 576 psi y + 8 psi x - 32 psi x y + 72 psi x y - 96 psi x y 4 4 3 4 3 3 2 3 2 3 + 49 psi y - 192 psi x y + 288 psi x y - 1312 psi x y 3 4 3 5 2 2 4 2 5 + 2120 psi x y - 472 psi y + 864 psi x y + 1056 psi x y 2 6 7 3 3 3 2 2 3 3 + 448 psi y - 96 psi y + 192 psi x y - 456 psi x y + 360 psi x y 3 4 2 3 2 2 2 3 2 4 - 114 psi y + 384 psi x y + 384 psi x y - 756 psi x y 2 5 5 6 3 2 3 2 + 256 psi y - 288 psi x y - 96 psi y - 8 psi x y + 18 psi x y 3 3 2 4 2 3 2 2 2 2 3 - 10 psi y + 48 psi x - 96 psi x y + 396 psi x y - 496 psi x y 2 4 2 3 4 5 6 + 89 psi y - 288 psi x y - 192 psi x y - 64 psi y + 16 y 2 3 2 2 2 2 2 3 3 - 20 psi x + 40 psi x y - 38 psi x y + 20 psi y - 96 psi x y 2 2 3 4 4 2 2 2 - 96 psi x y + 232 psi x y - 32 psi y + 48 x y + psi x - 2 psi x y 2 2 2 2 3 2 2 4 + psi y - 28 psi x y + 40 psi x y - 10 psi y + 48 x y + 8 y 2 3 2 2 2 + 2 psi x y - 2 psi y + 16 x - 20 x y - x + y = 0 and in Maple notation 16*psi^12*y^12-96*psi^11*y^12+96*psi^11*x*y^10-96*psi^11*y^11+240*psi^10*y^12-\ 288*psi^10*x*y^10+576*psi^10*y^11-320*psi^9*y^12+240*psi^10*x^2*y^8-480*psi^10* x*y^9+272*psi^10*y^10+192*psi^9*x*y^10-1440*psi^9*y^11+240*psi^8*y^12-192*psi^9 *x^2*y^8+1440*psi^9*x*y^9-1568*psi^9*y^10+192*psi^8*x*y^10+1920*psi^8*y^11-96* psi^7*y^12+320*psi^9*x^3*y^6-960*psi^9*x^2*y^7+1088*psi^9*x*y^8-480*psi^9*y^9-\ 96*psi^8*x^2*y^8-960*psi^8*x*y^9+3792*psi^8*y^10-288*psi^7*x*y^10-1440*psi^7*y^ 11+16*psi^6*y^12+192*psi^8*x^3*y^6+768*psi^8*x^2*y^7-3536*psi^8*x*y^8+2560*psi^ 8*y^9-192*psi^7*x^2*y^8-960*psi^7*x*y^9-4928*psi^7*y^10+96*psi^6*x*y^10+576*psi ^6*y^11+240*psi^8*x^4*y^4-960*psi^8*x^3*y^5+1632*psi^8*x^2*y^6-1472*psi^8*x*y^7 +584*psi^8*y^8+192*psi^7*x^3*y^6+384*psi^7*x^2*y^7+2752*psi^7*x*y^8-5760*psi^7* y^9+240*psi^6*x^2*y^8+1440*psi^6*x*y^9+3632*psi^6*y^10-96*psi^5*y^11+288*psi^7* x^4*y^4-576*psi^7*x^3*y^5-1984*psi^7*x^2*y^6+5504*psi^7*x*y^7-2784*psi^7*y^8+ 320*psi^6*x^3*y^6+768*psi^6*x^2*y^7+1760*psi^6*x*y^8+7040*psi^6*y^9-480*psi^5*x *y^9-1440*psi^5*y^10+96*psi^7*x^5*y^2-480*psi^7*x^4*y^3+1088*psi^7*x^3*y^4-1536 *psi^7*x^2*y^5+1312*psi^7*x*y^6-512*psi^7*y^7+240*psi^6*x^4*y^4-576*psi^6*x^3*y ^5-5248*psi^6*x*y^7+5584*psi^6*y^8-960*psi^5*x^2*y^7-3072*psi^5*x*y^8-4960*psi^ 5*y^9+240*psi^4*y^10+96*psi^6*x^5*y^2-576*psi^6*x^4*y^3+416*psi^6*x^3*y^4+3264* psi^6*x^2*y^5-5664*psi^6*x*y^6+2112*psi^6*y^7-960*psi^5*x^3*y^5-1344*psi^5*x^2* y^6-1280*psi^5*x*y^7-6112*psi^5*y^8+1008*psi^4*x*y^8+1920*psi^4*y^9+16*psi^6*x^ 6-96*psi^6*x^5*y+272*psi^6*x^4*y^2-576*psi^6*x^3*y^3+880*psi^6*x^2*y^4-800*psi^ 6*x*y^5+328*psi^6*y^6-480*psi^5*x^4*y^3+768*psi^5*x^3*y^4-1344*psi^5*x^2*y^5+ 6368*psi^5*x*y^6-3616*psi^5*y^7+1632*psi^4*x^2*y^6+3648*psi^4*x*y^7+3928*psi^4* y^8-320*psi^3*y^9-96*psi^5*x^5*y+480*psi^5*x^4*y^2+128*psi^5*x^3*y^3-3104*psi^5 *x^2*y^4+3776*psi^5*x*y^5-1136*psi^5*y^6+1248*psi^4*x^3*y^4+1344*psi^4*x^2*y^5-\ 192*psi^4*x*y^6+3328*psi^4*y^7-1152*psi^3*x*y^7-1440*psi^3*y^8-32*psi^5*x^4*y+ 160*psi^5*x^3*y^2-320*psi^5*x^2*y^3+336*psi^5*x*y^4-152*psi^5*y^5+432*psi^4*x^4 *y^2-576*psi^4*x^3*y^3+2000*psi^4*x^2*y^4-4768*psi^4*x*y^5+1592*psi^4*y^6-1536* psi^3*x^2*y^5-2592*psi^3*x*y^6-1792*psi^3*y^7+240*psi^2*y^8+48*psi^4*x^5-192* psi^4*x^4*y-352*psi^4*x^3*y^2+1664*psi^4*x^2*y^3-1556*psi^4*x*y^4+432*psi^4*y^5 -896*psi^3*x^3*y^3-864*psi^3*x^2*y^4+1024*psi^3*x*y^5-1152*psi^3*y^6+768*psi^2* x*y^6+576*psi^2*y^7+8*psi^4*x^4-32*psi^4*x^3*y+72*psi^4*x^2*y^2-96*psi^4*x*y^3+ 49*psi^4*y^4-192*psi^3*x^4*y+288*psi^3*x^3*y^2-1312*psi^3*x^2*y^3+2120*psi^3*x* y^4-472*psi^3*y^5+864*psi^2*x^2*y^4+1056*psi^2*x*y^5+448*psi^2*y^6-96*psi*y^7+ 192*psi^3*x^3*y-456*psi^3*x^2*y^2+360*psi^3*x*y^3-114*psi^3*y^4+384*psi^2*x^3*y ^2+384*psi^2*x^2*y^3-756*psi^2*x*y^4+256*psi^2*y^5-288*psi*x*y^5-96*psi*y^6-8* psi^3*x^2*y+18*psi^3*x*y^2-10*psi^3*y^3+48*psi^2*x^4-96*psi^2*x^3*y+396*psi^2*x ^2*y^2-496*psi^2*x*y^3+89*psi^2*y^4-288*psi*x^2*y^3-192*psi*x*y^4-64*psi*y^5+16 *y^6-20*psi^2*x^3+40*psi^2*x^2*y-38*psi^2*x*y^2+20*psi^2*y^3-96*psi*x^3*y-96* psi*x^2*y^2+232*psi*x*y^3-32*psi*y^4+48*x*y^4+psi^2*x^2-2*psi^2*x*y+psi^2*y^2-\ 28*psi*x^2*y+40*psi*x*y^2-10*psi*y^3+48*x^2*y^2+8*y^4+2*psi*x*y-2*psi*y^2+16*x^ 3-20*x*y^2-x^2+y^2 = 0 writing Psi(x,0)=g(x) as a Taylor series around x=0 infinity ----- \ n g(x) = ) a[n] x / ----- n = 0 The coefficients, a[n], satisfy the folllowing linear recurrence equation wi\ th polynomial coefficients of order, 2 6 (6 n + 5) (5 n + 12) (2 n + 1) (6 n + 7) a(n) ----------------------------------------------- (5 n + 7) (2 n + 5) (n + 3) (n + 2) 3 2 (295 n + 1458 n + 2294 n + 1155) a(n + 1) - ------------------------------------------- + a(n + 2) = 0 (n + 3) (2 n + 5) (5 n + 7) and in Maple notation 6*(6*n+5)*(5*n+12)*(2*n+1)*(6*n+7)/(5*n+7)/(2*n+5)/(n+3)/(n+2)*a(n)-(295*n^3+ 1458*n^2+2294*n+1155)/(n+3)/(2*n+5)/(5*n+7)*a(n+1)+a(n+2) = 0 subject to the initial conditions a(1) = 2, a(2) = 10 Finally, just for fun here is , a(1000) a(1000) = 860064269808869432340957074213208771888183569047235407429567229985192\ 5902386077472993106281263204380605388241929868835442493633714990741478270388426\ 6993429536989696922321661514632155875505319353181525383928240786931257212584418\ 4645420059763867888012107841278316832337192494546744269862407249236897115312325\ 2518003707938393156987048682119045995907681966030643613455701268328231231854414\ 5657795842651692324952492358103356301092848382789138947218420108562153852452042\ 8170272711143011043702906986151225815439103935889656455510713623591290771072576\ 3364006956618676350476707596076145381590258328525624766106106282808622529424838\ 3486163261291763678385453585932216510797070806059581099080273738631581698210773\ 6664653207986858997689051339540565583880956856204629826245524971382593978698656\ 9114793007317006823050415218124338744351806001335968050171512174202022646614292\ 2427323132675637960797164477751286648307227151099721304929417873005356356765884\ 4737646725300910462545909349038396637600330641077674556045798446712529377048094\ 2919004549915548407195952784659465390491571874963338595802350617957859372423425\ 525064125592695551236699200 --------------------------------------- This ends this paper that took, 82.911, seconds to generate