###################################################################### ##qTSPP: Save this file as qTSPP To use it, stay in the # ##same directory, get into Maple (by typing: maple ) # ##and then type: read qTSPP : # ##Then follow the instructions given there # ## # ## Written by Manuel Kauers (RISC-Linz) # ## Christoph Koutschan (RISC-Linz) # ## and Doron Zeilberger (Rutgers University) # ###################################################################### #Created: Aug. 2, 2008 print(`Created: Aug. 2, 2008.`): print(` This is qTSPP `): print(`to semi-rigorously prove the q-TSPP conjecture posed`): print(` (independently) by David Robbins, zikhrono libracha, and `): print(` George Andrews, yivadel lechayim arucim amen.`): print(`It accompanies the paper `): print(` "A Proof of George Andrews' and Dave Robbins' q-TSPP Conjecture`): print(` (modulo a finite amount of routine calculations)" `): print(`by Manuel Kauers, Christoph Koutschan, and Doron Zeilberger`): print(` available from each of their websites.`): print(``): print(`Please report bugs to zeilberg at math dot rutgers dot edu`): print(``): print(`The most current version of this package and paper`): print(` are available from`): print(`http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/ .`): print(`For a list of the procedures type ezra();, for help with`): print(`a specific procedure, type ezra(procedure_name); .`): print(``): with(combinat): ezra1:=proc() if args=NULL then print(` The supporting procedures are:`): print( ` `): else ezra(args): fi: end: ezra:=proc() if args=NULL then print(`The main procedures are: qB, CheckqTSPP, qbin, qOkada `): print(` `): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=qB then print(`qB(n,j,q): inputs non-negative integers n and j `): print(`and a variable (or number) q, and outputs the value`): print(`of the holonomic function qB(n,j) described in the article`): print(`with base q. q can be symbolic, or numeric. It is he promised`): print(`full holonomic description of qB(n,j) that we claim equals the `): print(`normalized co-factor of the (n,j)-entry of the q-Okada matrix. `): print(`For example, try: qB(10,3,q); `); elif nops([args])=1 and op(1,[args])=CheckqTSPP then print(`CheckqTSPP(N0,q): does both CheckqTSPPa and CheckqTSPPb`): print(`in other words:`): print(`Given a pos. integer N0, and a symbol`): print(`(or number) q, checks the validity of our claimed identities`): print(`(Soichi) and (Okada) for all n <=n0. In the paper we prove that`): print(`that there exists an N0 such that if CheckqTSPP(N0,q) returns true`): print(`(for symbolic q), then we have a fully rigorous proof of the q-TSPP`): print(`conjecture. Due to compuational limitations, at present, we don't `): print(`know its value, but it is very likely that N0=400 suffices.`): print(`For example, try: `): print(`CheckqTSPP(7,q);`): print(`CheckqTSPP(16,3);`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=CheckqTSPPa then print(`CheckqTSPPa(N0,q): Given a pos. integer N0, and a symbol`): print(`(or number) q, checks the validity of our claimed identity`): print(`(Soichi) for all 0<= n <=n0. `): print(`For example, try: `): print(`CheckqTSPPa(7,q);`): print(`CheckqTSPPa(16,3);`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=CheckqTSPPb then print(`CheckqTSPPb(N0,q): Given a pos. integer N0, and a symbol`): print(`(or number) q, checks the validity of our claimed identity`): print(`(Okada) for all 0<=n <=n0. `): print(`For example, try: `): print(`CheckqTSPPb(7,q);`): print(`CheckqTSPPb(16,3);`): elif nops([args])=1 and op(1,[args])=qbin then print(`qbin(a,b,q): inputs non-negative integers a and b `): print(`and a variable (or number) q, and outputs the q-analog of the`): print(`binomial coeff. (a.k.a. as Gaussian polynomial`): print(`(1-q^a)*(1-q^(a-1))*...(1-q^(a-b+1))/((1-q)*...(1-q^b)`): print(`For example, try: qbin(4,3,q); `); elif nops([args])=1 and op(1,[args])=qOkada then print(`qOkada(i,j,q): The (i,j)-entry of the q-Okada matrix,`): print(`whose determinant equals to the generating function `): print(`of the q-enumeration of Totally Symmetric Plane Partitions`): print(`For example, try: qOkada(4,3,q); `); else print(`There is no ezra for`,args): fi: end: ez:=proc(): print(`qB(n,j,q) , CheckqTSPPa(n0,q)`): print(`CheckqTSPPb(n0,q), CheckqTSPP(n0,q)`): print(`qOKAr(q,n) `): end: qB:=proc(n,j,q) option remember: if j<0 or n<0 or j>n then RETURN(0): elif j=n then RETURN(1): elif j=n-1 then if n=1 then RETURN(0): elif n=2 then RETURN(-q^2*(1 + q + q^2)/(1 + q)^2 ): elif n=3 then RETURN(-((q^3*(1 + q)*(1 + q + 3*q^2 + 3*q^3 + 3*q^4 + 2*q^5 + 2*q^6 + q^7))/(1 + q + q^2 + q^3 + q^4)^2)): elif n=4 then RETURN(-((q^4*(1 + 2*q + 5*q^2 + 9*q^3 + 14*q^4 + 19*q^5 + 23*q^6 + 26*q^7 + 27*q^8 + 26*q^9 + 23*q^10 + 19*q^11 + 15*q^12 + 10*q^13 + 6*q^14 + 3*q^15 + q^16))/((1 + q)^4*(1 + q^2)^2*(1 - q + q^2)^2*(1 + q^4)))) else normal( (-(q^2*(q^4 + q^n)*(-q^7 + q^(2*n))*(-q^4 + q^(3*n))* (-q^8 + q^(3*n))*(q^4 + q^(2*n) + q^(2 + n))* (q^15 + q^17 - q^(8*n) + q^(10*n) - q^(14 + n) - q^(15 + n) - q^(16 + n) - q^(9 + 2*n) - q^(11 + 2*n) - q^(12 + 2*n) - 3*q^(13 + 2*n) - 2*q^(14 + 2*n) - q^(15 + 2*n) + q^(8 + 3*n) + q^(9 + 3*n) + q^(10 + 3*n) - q^(11 + 3*n) - q^(12 + 3*n) + q^(14 + 3*n) + q^(15 + 3*n) - q^(5 + 4*n) + q^(6 + 4*n) + q^(7 + 4*n) + 3*q^(8 + 4*n) + q^(10 + 4*n) + 2*q^(12 + 4*n) + q^(13 + 4*n) + q^(14 + 4*n) + 2*q^(5 + 5*n) + 3*q^(6 + 5*n) + 3*q^(7 + 5*n) + 3*q^(8 + 5*n) + q^(9 + 5*n) + 3*q^(10 + 5*n) + q^(11 + 5*n) + 2*q^(12 + 5*n) - q^(2 + 6*n) - q^(4 + 6*n) - q^(5 + 6*n) - 2*q^(6 + 6*n) - 2*q^(7 + 6*n) - 2*q^(8 + 6*n) - 2*q^(9 + 6*n) - q^(10 + 6*n) - q^(2 + 7*n) - q^(3 + 7*n) - q^(4 + 7*n) - q^(5 + 7*n) - q^(6 + 7*n) - 2*q^(7 + 7*n) - q^(8 + 7*n) - q^(9 + 7*n) - q^(1 + 8*n) - 2*q^(2 + 8*n) - q^(4 + 8*n) - q^(5 + 8*n) - 2*q^(6 + 8*n) - q^(7 + 8*n) + 2*q^(1 + 9*n) + 2*q^(2 + 9*n) + 2*q^(3 + 9*n) + q^(4 + 9*n) + q^(1 + 10*n) + q^(2 + 10*n))*qB(-3 + n, n-4,q)) + q^2*(q^3 + q^n)*(-q^5 + q^(2*n))*(-q + q^(3*n))* (-q^5 + q^(3*n))*(q^2 + q^(2*n) + q^(1 + n))* (q^25 + q^27 + q^(10*n) - q^(23 + n) - q^(24 + n) - q^(25 + n) - q^(17 + 2*n) - q^(19 + 2*n) - q^(20 + 2*n) - 3*q^(21 + 2*n) - 2*q^(22 + 2*n) - q^(23 + 2*n) + q^(15 + 3*n) + q^(16 + 3*n) + q^(17 + 3*n) - q^(18 + 3*n) - q^(19 + 3*n) + q^(21 + 3*n) + q^(22 + 3*n) - q^(11 + 4*n) + q^(12 + 4*n) + q^(13 + 4*n) + 3*q^(14 + 4*n) + q^(16 + 4*n) + 2*q^(18 + 4*n) + q^(19 + 4*n) + q^(20 + 4*n) + 2*q^(10 + 5*n) + 3*q^(11 + 5*n) + 3*q^(12 + 5*n) + 3*q^(13 + 5*n) + q^(14 + 5*n) + 3*q^(15 + 5*n) + q^(16 + 5*n) + 2*q^(17 + 5*n) - q^(6 + 6*n) - q^(8 + 6*n) - q^(9 + 6*n) - 2*q^(10 + 6*n) - 2*q^(11 + 6*n) - 2*q^(12 + 6*n) - 2*q^(13 + 6*n) - q^(14 + 6*n) - q^(5 + 7*n) - q^(6 + 7*n) - q^(7 + 7*n) - q^(8 + 7*n) - q^(9 + 7*n) - 2*q^(10 + 7*n) - q^(11 + 7*n) - q^(12 + 7*n) - q^(2 + 8*n) - q^(3 + 8*n) - 2*q^(4 + 8*n) - q^(6 + 8*n) - q^(7 + 8*n) - 2*q^(8 + 8*n) - q^(9 + 8*n) + 2*q^(2 + 9*n) + 2*q^(3 + 9*n) + 2*q^(4 + 9*n) + q^(5 + 9*n) + q^(1 + 10*n) + q^(2 + 10*n))*qB(-2 + n,n-3,q) + (q^2 + q^n)*(-q^3 + q^(2*n))*(-q^7 + q^(3*n))* (-q^11 + q^(3*n))*(q^6 + q^(2*n) + q^(3 + n))* (q^15 + q^17 - q^(8*n) + q^(10*n) - q^(14 + n) - q^(15 + n) - q^(16 + n) - q^(9 + 2*n) - q^(11 + 2*n) - q^(12 + 2*n) - 3*q^(13 + 2*n) - 2*q^(14 + 2*n) - q^(15 + 2*n) + q^(8 + 3*n) + q^(9 + 3*n) + q^(10 + 3*n) - q^(11 + 3*n) - q^(12 + 3*n) + q^(14 + 3*n) + q^(15 + 3*n) - q^(5 + 4*n) + q^(6 + 4*n) + q^(7 + 4*n) + 3*q^(8 + 4*n) + q^(10 + 4*n) + 2*q^(12 + 4*n) + q^(13 + 4*n) + q^(14 + 4*n) + 2*q^(5 + 5*n) + 3*q^(6 + 5*n) + 3*q^(7 + 5*n) + 3*q^(8 + 5*n) + q^(9 + 5*n) + 3*q^(10 + 5*n) + q^(11 + 5*n) + 2*q^(12 + 5*n) - q^(2 + 6*n) - q^(4 + 6*n) - q^(5 + 6*n) - 2*q^(6 + 6*n) - 2*q^(7 + 6*n) - 2*q^(8 + 6*n) - 2*q^(9 + 6*n) - q^(10 + 6*n) - q^(2 + 7*n) - q^(3 + 7*n) - q^(4 + 7*n) - q^(5 + 7*n) - q^(6 + 7*n) - 2*q^(7 + 7*n) - q^(8 + 7*n) - q^(9 + 7*n) - q^(1 + 8*n) - 2*q^(2 + 8*n) - q^(4 + 8*n) - q^(5 + 8*n) - 2*q^(6 + 8*n) - q^(7 + 8*n) + 2*q^(1 + 9*n) + 2*q^(2 + 9*n) + 2*q^(3 + 9*n) + q^(4 + 9*n) + q^(1 + 10*n) + q^(2 + 10*n))*qB(-1 + n,n-2,q))/ ((q + q^n)*(-q + q^(2*n))*(-q^4 + q^(3*n))* (-q^8 + q^(3*n))*(q^4 + q^(2*n) + q^(2 + n))* (q^25 + q^27 + q^(10*n) - q^(23 + n) - q^(24 + n) - q^(25 + n) - q^(17 + 2*n) - q^(19 + 2*n) - q^(20 + 2*n) - 3*q^(21 + 2*n) - 2*q^(22 + 2*n) - q^(23 + 2*n) + q^(15 + 3*n) + q^(16 + 3*n) + q^(17 + 3*n) - q^(18 + 3*n) - q^(19 + 3*n) + q^(21 + 3*n) + q^(22 + 3*n) - q^(11 + 4*n) + q^(12 + 4*n) + q^(13 + 4*n) + 3*q^(14 + 4*n) + q^(16 + 4*n) + 2*q^(18 + 4*n) + q^(19 + 4*n) + q^(20 + 4*n) + 2*q^(10 + 5*n) + 3*q^(11 + 5*n) + 3*q^(12 + 5*n) + 3*q^(13 + 5*n) + q^(14 + 5*n) + 3*q^(15 + 5*n) + q^(16 + 5*n) + 2*q^(17 + 5*n) - q^(6 + 6*n) - q^(8 + 6*n) - q^(9 + 6*n) - 2*q^(10 + 6*n) - 2*q^(11 + 6*n) - 2*q^(12 + 6*n) - 2*q^(13 + 6*n) - q^(14 + 6*n) - q^(5 + 7*n) - q^(6 + 7*n) - q^(7 + 7*n) - q^(8 + 7*n) - q^(9 + 7*n) - 2*q^(10 + 7*n) - q^(11 + 7*n) - q^(12 + 7*n) - q^(2 + 8*n) - q^(3 + 8*n) - 2*q^(4 + 8*n) - q^(6 + 8*n) - q^(7 + 8*n) - 2*q^(8 + 8*n) - q^(9 + 8*n) + 2*q^(2 + 9*n) + 2*q^(3 + 9*n) + 2*q^(4 + 9*n) + q^(5 + 9*n) + q^(1 + 10*n) + q^(2 + 10*n)))): fi: else RETURN( normal ( (q^28*(-q^(1 + j) + q^n)*(-1 + q^(1 + j + n))*(-q^(2 + j) - q^(3 + j) - q^(4 + j) - q^(5 + j) - 2*q^(6 + j) - q^(7 + j) - q^(3 + 2*j) - q^(4 + 2*j) - q^(6 + 2*j) + q^(8 + 2*j) + q^(9 + 2*j) + 2*q^(10 + 2*j) + q^(11 + 2*j) + q^(6 + 3*j) + q^(8 + 3*j) + q^(9 + 3*j) + q^(10 + 3*j) + q^(11 + 3*j) + q^(12 + 3*j) - q^(10 + 4*j) + q^n + q^(1 + n) + q^(2 + n) + q^(3 + n) + q^(4 + n) + q^(5 + n) + q^(6 + n) + q^(1 + j + n) + q^(2 + j + n) + q^(4 + j + n) - q^(8 + j + n) - q^(9 + j + n) - q^(10 + j + n) - 2*q^(10 + 2*j + n) - q^(11 + 2*j + n) + q^(5 + 3*j + n) + q^(6 + 3*j + n) + q^(8 + 3*j + n) - q^(10 + 3*j + n) - q^(11 + 3*j + n) - q^(12 + 3*j + n) - q^(13 + 3*j + n) + q^(7 + 4*j + n) - q^(10 + 4*j + n) - q^(11 + 4*j + n) - q^(14 + 4*j + n) - q^(11 + 5*j + n) - q^(2 + j + 2*n) - q^(3 + j + 2*n) - q^(4 + j + 2*n) - q^(5 + j + 2*n) - 2*q^(6 + j + 2*n) - q^(7 + j + 2*n) - q^(3 + 2*j + 2*n) - q^(4 + 2*j + 2*n) - q^(6 + 2*j + 2*n) + q^(8 + 2*j + 2*n) + q^(9 + 2*j + 2*n) + 2*q^(10 + 2*j + 2*n) + q^(11 + 2*j + 2*n) + q^(6 + 3*j + 2*n) + q^(8 + 3*j + 2*n) + q^(9 + 3*j + 2*n) + q^(10 + 3*j + 2*n) + q^(11 + 3*j + 2*n) + q^(12 + 3*j + 2*n) - q^(10 + 4*j + 2*n))*qB(n, 1 + j,q) + q^23*(q^(5 + 2*j) + q^(6 + 2*j) + 2*q^(7 + 2*j) + 3*q^(8 + 2*j) + 4*q^(9 + 2*j) + 3*q^(10 + 2*j) + 3*q^(11 + 2*j) + 2*q^(12 + 2*j) + 2*q^(13 + 2*j) + q^(7 + 3*j) + q^(9 + 3*j) + 2*q^(10 + 3*j) - q^(11 + 3*j) - q^(12 + 3*j) - 3*q^(13 + 3*j) - 3*q^(14 + 3*j) - 2*q^(15 + 3*j) - 2*q^(16 + 3*j) - 2*q^(17 + 3*j) - q^(10 + 4*j) - q^(11 + 4*j) - 3*q^(13 + 4*j) - 2*q^(14 + 4*j) - 3*q^(15 + 4*j) - 2*q^(16 + 4*j) - q^(17 + 4*j) - q^(18 + 4*j) - q^(19 + 4*j) + q^(16 + 5*j) + q^(17 + 5*j) + q^(19 + 5*j) + q^(19 + 6*j) + q^(2*n) - q^(2 + j + n) - 2*q^(3 + j + n) - 3*q^(4 + j + n) - 4*q^(5 + j + n) - 6*q^(6 + j + n) - 7*q^(7 + j + n) - 6*q^(8 + j + n) - 5*q^(9 + j + n) - 4*q^(10 + j + n) - 3*q^(11 + j + n) - q^(12 + j + n) - q^(4 + 2*j + n) - q^(5 + 2*j + n) - q^(6 + 2*j + n) - 3*q^(7 + 2*j + n) - 3*q^(8 + 2*j + n) + 2*q^(10 + 2*j + n) + 3*q^(11 + 2*j + n) + 4*q^(12 + 2*j + n) + 3*q^(13 + 2*j + n) + 3*q^(14 + 2*j + n) + 3*q^(15 + 2*j + n) + q^(16 + 2*j + n) + q^(8 + 3*j + n) - 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